Modèle mathématique.

Intégration
Introduction :
f : x  x 2 sur 0,1 .
D : le domaine plan limité par la courbe, l’axe des
abscisses et les droites d’équation x  0 et x  1 .
Calculons l’aire de D.
L’unité pour mesurer les aires est l’aire du rectangle
construit sur le repère O, i, j .
 
On subdivise 0,1 en n intervalles de même amplitude
1
.
n
 s n est la somme des aires des « petits » rectangles situés sous la courbe.
Pour n  2
1  1 2 3
 n  1 
s n  f    f    f    ...  f 

n  n n n
 n 
1 12  2 2  32  ...  n  12 
sn  

n 
n2

Par ailleurs, pour p  IN* 12  2 2  3 2  ...  p 2 
pp  12p  1
.
6
Formule que l’on peut justifier par récurrence.
1  n n  12n  1 1  n  12n  1
Donc s n  
.
 2
n
6
n 
6n 2
 S n est la somme des aires des « grands » rectangles situés au dessus de la courbe.
Pour n  2
1  1 2 3
 n 
Sn  f    f    f    ...  f  
n  n n n
 n 
1 12  2 2  32  ...  n 2 
Sn  

n 
n2

Sn 
Sn 
1  n n  12n  1 

n 
6

n  12n  1
6n 2
Pour tout n  2 s n  A  Sn . A étant l’aire du domaine D.
On peut démontrer que s n n  2 est croissante.
On peut démontrer que S n n 2 est décroissante.
Pour n  2 S n  s n 
n  12n  1  n  12n  1  1
6n 2
1
lim S n  s n   lim    0 .
n 
n  n 
6n 2
n
Les suites s n n 2 et S n n 2 sont donc adjacentes, elles convergent vers la même limite A.
lim s n   lim S n  
1
n 
n 
3
Le procédé que l’on vient d’employer pour déterminer A peut se reprendre pour toutes
fonctions continues et positives.
I] Intégrale d’une fonction positive :
f est une fonction continue et positive sur a , b avec a  b .
On appellera domaine associé à f sur
[a,b], le domaine plan D limité par la
courbe, l’axe des abscisses et les droites
d’équation x  a et x  b .
On
peut
aussi
écrire
x
a  x  b
.
M   D  
 y
0  y  f x 
que
 
Le plan étant muni du repère orthogonal O, i, j l’unité d’aire est l’aire du rectangle bâti sur
ce repère.
Exemple :
D est le domaine associé à f : x  x 2 sur 0,1 .
1
AD   (en unité d'aire).
3
1) Définition :
Soit f une fonction continue et positive sur a , b avec a  b . On appelle intégrale de a à b de
la fonction f, l’aire du domaine associé à f sur a , b (en unité d'aire).
Ce nombre est noté
b
a f ( x )dx .
Remarques :

a et b sont les bornes de l’intégrale et

x est une variable muette :
Exemples :
1)
5
Calculer I1   3dx
1
b
a
a
a f (x )dx  0
b
b
a
a
f ( x )dx   f ( t )dt   f (u )du  ...
Soit D1 le domaine limité par f : x  3 , l’axe
des abscisses, et les droites d’équation x  1 et
x 5.
Donc
3
I1   3dx  3  5  1  3  4  12 unité
5
1
d'aire.
1
2)
Calculer I 2  
3
1 2
5
(2x  1)dx
f définie sur IR par f ( x )  2 x  1.
Soit D 2 le domaine limité par g : x  2x  1 , l’axe des
1
abscisses et les droites d’équation x   et x  3 .
2

1


f est continue et positive sur  ,3
 2 
  1 
 3       2  3  1
3
 2 
I 2   2x  1dx  
1 2
2
Donc
7
7
49
2
I2 

 12,25
2
4
3

3)
5
Calculer I 3   ( x  2)dx
0
h définie sur IR par h ( x )  x  2
Soit D 3 le domaine limité par h : x  x  2 ,
l’axe des abscisses et les droites d’équation
x  0 et x  5 .
h est continue et positive sur 0,5 .
5
5   2 7  2  2
I3   ( x  2)dx 
0
2
2
Donc
77
49
I3 
2 
 2  24,5  2  22,5
2
2
1
2
1
Calculer I 4  
4)
1
1  x 2 dx
i est définie sur  1,1 par i( x )  1  x 2
C la courbe qui représente i dans un repère
orthonormal.
x
M   C  y  1  x 2 avec  1  x  1
 y
 y2  1  x 2 avec  1  x  1 et y  0
 y2  x 2  12 avec  1  x  1 et y  0
C est le demi disque de centre O et de rayon 1 situé dans le demi plan défini par y  0 .
i est continue et positive sur  1,1 .
1
Donc I 4  
1
Donc I 4 
1  x 2 dx est l’aire du domaine associé à i sur  1,1

2
2) Valeur moyenne :
f est continue et positive sur a , b avec a  b .
1 b
f ( x )dx .  est un réel positive qui vérifie
La valeur moyenne de f sur a , b est  
b  a a
  b  a    f ( x )dx .
b
a
f est continue sur
b
a f ( x )dx
a, b ,
donc
est l’aire du domaine
associée à f sur a , b en unité
d'aire.
  b  a  est l’aire du rectangle
hachuré en rouge.

3) Extension aux fonctions de signe quelconque :
f est continue et négative sur a , b avec a  b .
Le domaine associé ) f sur a , b est le
domaine plan D limité par la courbe, l’axe
des abscisses et les droites d’équation x  a
et x  b .
x
a  x  b
Par ailleurs M   D  
.
 y
f ( x )  y  0
Par définition
b
a f (x )dx  aire (D)
Exemple : Calculer
52
1  x  1dx
f est définie sur IR par f ( x )   x  1 .
 5
f est constante et négative sur 1, 
 2
Donc
52
1
f ( x )dx est l’opposé de l’aire du
 5
domaine associé à f sur 1,  (en unité d'aire).
 2

f est continue et de signe quelconque sur a , b avec a  b .
Dans ce cas
b
 a f (x )dx
 aire E 1   aire E 2   aire E 3  .
Exemple :
Calculer
0 3  x dx
4
f définie sur IR par f ( x )  3  x
f change de signe en 3.
5
2
f est continue et positive sur 0,3 .
3
9
Donc aire E1    3  x dx  .
0
2
3
f est continue et négative sur 3,4 .
4
1
Donc aire E 2     (3  x )dx  .
3
2
0 (3  x)dx  aire E1   aire E 2 
E1
3
4
Donc
9 1 8
0 (3  x)dx  2  2  2  4
4
4
.
E2
4) Remarques :
Soit f une fonction continue sur a , b a  b . La valeur moyenne de f sur a , b est
1 b

f ( x )dx .
b  a a
 Extension de la notation.
f est une fonction continue sur un intervalle I.

a  I et b  I . Si a  b alors
b
a
a f (x)dx  b f (x)dx .
II] Intégrale et primitives :
f est une fonction continue, positive et croissante sur a , b a  b .
Soit F définie sur a , b par x  a, b,
x
F( x )   f ( t )dt .
a
F(x) est l’aire du domaine associé à f sur
a, x , de plus F(a )  0 .
Démontrons que F est dérivable sur a , b .
Soit x 0  a, b démontrons que F est dérivable en x 0 .
 Fx 0  h   Fx 0 
lim 

h 0 
h

BAC
Pour h>0 :
h  f x 0   Fx 0  h   Fx 0   h  f x 0  h 
Fx 0  h   Fx 0 
 f x 0  h 
h
lim f x 0  h   f x 0  car f est continue en x 0 .
f x 0  
h 0
h 0
 Fx 0  h   Fx 0 
Et donc lim 
  f x 0 
h 0 
h

h 0
Pour h<0 :
 h  f x 0  h   Fx 0   Fx 0  h   h  f x 0 
Fx 0   Fx 0  h 
 f x 0 
h
Fx 0  h   Fx 0 
f x 0  h  
 f x 0 
h
car  h  0
lim f x 0  h   f x 0 
f x 0  h  
h 0
h 0
 Fx 0  h   Fx 0 
Donc lim 
  f x 0 
h 0 
h

h 0
En conclusion :
 Fx 0  h   Fx 0 
lim 
  f x 0  autrement di F est dérivable en x 0 et F' x 0   f x 0 
h 0 
h

admettons que F est également dérivable à droite de a et à gauche de b.
F est donc dérivable sur a , b et pour x  a, b , F' ( x )  f ( x ) .
F est la primitive de f telle que F(a )  0 .
Admettons que la propriété est vraie pour une fonction continue sur a , b .
Théorème :
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a  I . La fonction  définie sur I par
x
( x )   f ( t )dt est la primitive de f telle que (a )  0
a
Exemple :
ln est la primitive sur IR * de t 
Pour x  IR * ln x  
x1
1
t
1
telle que ln 1  0 .
t
dt
x 1
x 1
x1
1
1
t
11
x1
x t dt  1
dt  ln x
x
t
dt   ln x
x 1
Conséquence :
f est une fonction continue sur un intervalle I, a  I et b  I .
F est une primitive de f sur I
b
a f (x)dx  F(b)  F(a )
Démonstration :
Soit  la primitive de f telle que (a )  0 . On sait que pour x  I F( x )  ( x )  k , k  IR .
F(b)  F(a )  (b)  k  (a )  k   (b)   f ( t )dt
b
a
III] Propriété de l’intégrale :
1) Relation de Chasles :
f est continue sur un intervalle I. a, b, c sont trois réels quelconques de I.
b
a
c
c
b
a
f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx
a f (x)dx  b f (x)dx  F(x)a  F(x)b
b
c
F es une primitive de f sur I.
b
c
 F(b)  F(a )  F(c)  F(b)
 F(c)  F(a )
 F( x )ca
c
  f ( x )dx
a
cas particuliers :
b
a
a
a
b
a
f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx  0

si c  a

cas où f est positive sur I et a  b  c
b
a
a f (x)dx  b f (x)dx
2) Linéarité :
f et g sont deux fonctions continues sur I. a, b sont deux réels de I.  un réel quelconque.
a f (x)  g(x)dx  a f (x)dx  a g(x)dx
b
b
b
b
b
a f (x)dx    a f (x)dx
Démonstration :
F est une primitive de f sur I.
G est une primitive de g sur I.
a f (x )  g(x )dx  F(x )  G(x )a
b
b
 F(b)  G (b)  F(a )  G (a ) 
a f (x )dx  a g(x )dx  F(x )a  G(x )a
b
b
 F(b)  F(a )  G (b)  G (a )
b
 F(b)  G (b)  F(a )  G (a ) 
  f ( x )  g ( x )dx
b
a
b
Exemple :
cos x dx et J   sin x dx
4
I  J   cos 2 x  sin 2 x dx
0
I
4
4
2
0

4
0
2
0
1dx

4
0
 x 


4
IJ  
4
0

4
0
cos
2

x  sin 2 x dx
cos2x dx

1
4
  sin 2 x 
2
0

1 
 1
sin  2   
2 
4 2


I  J  4
Donc on a : 
I  J  1

2
 1
 1
2I   donc I  
4 2
8 4
 1
 1
2J   donc J  
4 2
8 4
Remarque : autre méthode pour le calcul de I.
I
4
0

 41
0

cos x dx
2
2
1  cos2x dx
1 4
1  cos2x dx
2 0

1
1
4
  x  sin 2 x 
2
2
0

1 1  
1

  sin     0  sin 0  
24 2 2 
2


 1

8 4
3) Positivité :
Soit f une fonction continue sur I. Supposons que pour x  I f ( x )  0 .
a  I, b  I avec a  b , dans ces conditions
b
a f (x )dx  0 .
Démonstration 1 : Voir définition
Démonstration 2 :
F est une primitive de f sur a , b pour x  a, b F' ( x )  f ( x )  0 .
Donc F est croissante sur a , b .
a f (x)dx  F(x)a
b
b
 F(b)  F(a )  0
Car F est croissante sur a , b et a  b .
La réciproque est fausse.
2 3
 2 
0 cos x dx  0 mais la fonction cosinus n’est pas positive sur 0, 3  .
4) Conservation de l’ordre :
f et g sont deux fonctions continues sur I, a  I et b  I , on suppose a<b
Si pour tout x  a; b f x   g x 
 f xdx   g xdx
Alors
b
b
a
a
Démonstration :
Pour x  a; b g x  f x  0
 g x  f xdx  0
 g xdx   f xdx  0
et  g x dx   f x dx
b
a
b
b
a
a
b
b
a
a
Remarque :
 La réciproque est fausse
 Dans le cas où f et g sont positives sur a; b
Exemple1 :
Pour t  1, t  t  t 2
1 1 1
 
t2 t
t
1 1 1
et pour t  0;1, 2  
t
t
t
On en déduit :
2 1
21
2 1
1 t 2 dt 1 t dt  1 t dt
2
 
 1
 t   ln 2  2 t
1
2
1
1
 ln 2   2 2  2
2
5) Inégalité de la moyenne :
f, une fonction continue sur [a ;b] a<b pour tout x  a; b
m  f x  M avec m IR et M  IR
On en déduit :

b
a
mdx   f x dx   Mdx
b
b
a
a
mb  a    f x dx  M b  a 
b
a
Remarque

Valeur moyenne de f sur [a ;b]  
1 b
f  x dx
b  a a
1 b
f x dx  M
b  a a
Et donc m    M
On a donc m 
Exemple :
Soit f définie sur  1; par f  x   1  x
f est croissante sur  1;
1 x  8
donc f 1  f x  f 8
2  f x   3
En résumé, pour x  1;8 ,
On a donc :
2  f x   3
7 2   f x dx  21
8
1
Conséquences :
f continue sur [a ;b] avec a<b
Si pour tout x  a; b, f x   M ( M  IR )
Alors
 f xdx  M b  a 
b
a
En effet, pour x  a; b,  M  f x  M
 M b  a    f x dx  M b  a 
b
a
donc
 f xdx  M b  a 
b
a
6) Intégration par parties :
u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
u’ et v’ sont continus sur I.
(uv )'  u ' v  uv '
uv '  (uv )'u ' v
donc
a u (x )  v' (x)dx  a uv ' (x)dx  a u' (x)  v(x)dx .
b
b
b
a u (x )  v' (x)dx  u(x)  v(x)a  a u ' (x)  v(x)dx
b
b
b
Exemple :
Calculons
u(x)  x
v' (x)  e
1
0 xe
x
dx
u' (x)  1
x
v(x)  e x
    e dx
 xe   e   e  e  1  1
1
0 xe
x
dx  xe x
x 1
0
x 1
0
1
0
1 x
0
1
1

7) Calculs d’aires et de volumes :
1) Calculs d’aires :
f est positive sur a , b , a  b .

f est négative sur a , b , a  b .

aire d’une « boucle ».
Sur a , b C f est au dessus de C g . Pour x  a, b f ( x )  g( x ) .
Dans ces conditions l’aire A (en unité d'aire) du domaine plan D limité par C f et C g , et par
les droites d’équation x  a et x  b vaut :
A   f ( x )  g( x )dx
b
a
2) Calculs de volumes :
En unité de volume, si S est continue sur a , b alors V   S(z)dz .
b
a
Exemple 1 : volume d’une boule.
O, i, j, k est un repère orthonormal.
On considère la sphère de centre O et de rayon R.


S(z)    rz 2 et r z 2  R 2  2

S(z)   R 2  z 2



V    R 2  z 2 dz
R
V
R
 R 2  z 2 dz
R
R
R
1 

  R 2 z  z 3 
3  R


1
1
 

   R 3  R 3     R 3  R 3 
3
3
 


2 

  2R 3  R 3 
3 

4
  R3
3
4
 R 3
3
Exemple 2 :



V    sin 2 x dx
0



   sin 2 x dx
0
 
 1  cos
0
2
2x  dx


1

  x  sin 2 x 
2
2
0

 
1
1
 

    0    0   0 

2 
2  
2 


2
 
2
2