Ebauche d`introduction de la fonction exponentielle

Voici une ébauche possible d’une introduction de la fonction exponentielle.
Prérequis : Dérivation - La méthode d’Euler
Activités préparatoires :
1) Un exemple en Physique (la radioactivité)
2) Approximation de la solution par la méthode d’Euler
I. Etude de l’équation f’ = f
On admet l’existence d’une solution f de l’équation f’ = f (on pourra la démontrer plus tard).
Première partie : On démontre que la fonction f ne s’annule jamais.
On définit la fonction g par : Pour tout réel x, g ( x)  f ( x) f ( x) .
Cette fonction est dérivable sur R, étant le produit de deux fonctions dérivables sur R.
g ' ( x)  f ' ( x) f ( x)  f ( x) f ' ( x) ; g ' ( x)  f ( x) f ( x)  f ( x) f ( x) ; g ' ( x)  0 ;
D’où : g ( x)  f ( x) f ( x) ; g ( x)  K . K étant une constante. Or : f (0)  1 et g (0)  1 .
Par conséquent, pour tout réel x : g ( x)  1 ; soit f ( x) f (x)  1 .
La fonction f ne s’annule jamais (On en déduit que : Pour tout réel x, f ( x)  0 ; f est croissante sur R).
Deuxième partie : On démontre que la fonction f est unique.
Supposons que deux fonctions f et g existent vérifiant : f '  f et f (0)  1 ; g '  g et g (0)  1 .
Nous savons que chacune de ses fonctions ne s’annule jamais.
f ( x)
Par conséquent, on peut considérer la fonction  définie par :  ( x) 
.
g ( x)
Cette fonction est dérivable sur R, étant le quotient de deux fonctions dérivables sur R.
Pour tout réel x :
f ' ( x) g ( x)  f ( x) g ' ( x)
f ( x) g ( x)  f ( x) g ( x)
 ' ( x) 
;  ' ( x) 
;  ' ( x)  0 ;
2
g ( x)
g ( x)2
f ( x)
D’où :  ( x) 
;  ( x)  K K étant une constante. Or : f (0)  1 et g (0)  1 .
g ( x)
Par conséquent, pour tout réel x :  ( x)  1 ; soit f ( x)  g ( x) .
L’équation différentielle y '  y admet une solution unique notée exp , définie sur
R vérifiant exp( 0)  1 .
1
II. Propriétés algébriques de la fonction exp .
Pour tous réels a et b : exp( a  b)  exp( a) exp( b) .
Démonstration :
exp est la fonction solution de l’équation différentielle y '  y vérifiant exp( 0)  1 .
On veut montrer que : Pour tous réels a et b : exp( a  b)  exp( a) exp( b) .
On définit la fonction f par : Pour tous réels x, f ( x) 
exp( x  b)
, b étant un réel quelconque.( exp ne
exp( b)
s’annule jamais).
Cette fonction est dérivable sur R, étant donné que exp est dérivable sur R.
exp' ( x  b)
exp( x  b)
Pour tous réels x, f ' ( x) 
; f ' ( x) 
; f ' ( x)  f ( x) .
exp( b)
exp( b)
exp( b)
De plus, on a : f (0) 
; f (0)  1 . D’après le résultat du I, on peut affirmer que :
exp( b)
exp( x  b)
f  exp soit pour tous réels x appartenant à R, exp( x) 
, b étant un réel quelconque.
exp( b)
Par conséquent, on peut affirmer que : Pour tous réels a et b : exp( a  b)  exp( a) exp( b) .
On démontre de même que :
Pour tous réels a et b : exp( a  b) 
Pour tous réels a : exp( a) 
exp( a)
.
exp( b)
1
. (On pose a  0 )
exp( a)
Pour tous réels a et tous entiers relatifs n : exp( na)  exp( a) .
n
Pour tous entiers relatifs n : exp( n)  exp(1) . (On pose a  1 )
n
Remarque : Le nombre e, notation ex .
Si l’on pose maintenant exp(1) = e, on obtient : exp(n) = en
(Exercice : recherche d’un encadrement de e…à suivre)
De façon plus générale, en notant exp(x) = ex, pour tous réels x, les propriétés établies ci-dessus s’écrivent
de la façon suivante :
1
ea
e  e e
e a  a
e  b
e
e
La fonction ainsi définie est appelée fonction exponentielle (de base e)
Notation : x Error! exp(x) = ex
a b
2
a
b
a b
III Etude de la fonction exponentielle
La fonction exponentielle est égale à sa fonction dérivée : exp   exp .
'
La fonction exponentielle est strictement croissante sur R.
En effet, la fonction exponentielle est strictement positive.
lim e x  
lim e x  0
x
x 
On montre que : Pour tout x réel, ex > x.
Démonstration : On définit la fonction f par : Pour tous réels x, f ( x)  e x  x .
Cette fonction est dérivable sur R, étant la différence de deux fonctions dérivables sur R.
Pour tous réels x, f ' ( x)  e x  1 .
La fonction f est décroissante sur  ;0 et croissante sur 0; . Or : f (0)  1 .
D’où le résultat annoncé. Et : lim e x   .
x
On sait que : Pour tous réels x , e  x 
1
.
ex
Par conséquent, on a : lim e x  0
x 
On peut ensuite effectuer le tracé de la courbe.
III. Equation y ’ = ky
Les solutions sur R de l’équation différentielle y '  ky sont les fonctions f k
définie par : f A ( x)  Ae kx où A est un réel quelconque.
Démonstration :
Première partie : On démontre que si f est une solution, sur R, de l’équation différentielle
y ’ = ky, alors on a f ( x)  Ae kx avec A appartenant à R.
Soit f une solution, sur IR, de l’équation différentielle y ’ = ky
x
On pose (si k  0) : g(x) = f . De façon immédiate : g est dérivable sur IR et g’ = g.
k
g
On pose alors A = g(0) et h = On a alors h (0) = 1 et h’ = h.
A
On obtient alors successivement : h : x Error! ex puis g : x Error! Aex et enfin f : x Error!A ekx.
On remarque que si k  0 , on a : f ( x)  A avec A appartenant à R.
Deuxième partie : On démontre que si f est une fonction définie sur R par f ( x)  Ae kx avec A
appartenant à R, alors f est solution, sur R, de l’équation différentielle y ’ = ky.
On vérifie que toute fonction f : x Error!A ekx est telle que f ’ = kf.
3
IV. Relation fonctionnelle caractéristique
Les deux propositions suivantes sont équivalentes :
* f est une fonction non nulle dérivable sur R définie par : Pour tous réels a et b :
f (a  b)  f (a) f (b) .
* f est une fonction définie sur R par : Pour tous réels x : f ( x)  e kx avec k appartenant à R.
Démonstration :
Première partie :
Si f est la fonction définie par f ( x)  e kx , alors f vérifie la propriété :
Pour tous réels a et b : f (a  b)  f (a) f (b) .
Deuxième partie : Soit f une fonction, non identiquement nulle, dérivable sur R telle que pour tous réels
a et b : f (a  b)  f (a) f (b) .
On vérifie alors que f (0)  0 ou f (0)  1 . Si f (0)  0 , alors f (a)  0 pour tous réels a , ce qui est
contraire à l’hypothèse.
Donc f (0)  1 .
En dérivant les fonctions : x  f (a  x) et x  f (a) f ( x) , on obtient :
Pour tous réels a et b, f ' (a  b)  f (a) f ' (b) .
En particulier, pour b  0 , et en posant f ’(0) = k, on obtient f ' (a)  kf (a) (pour tous réels a).
D’après le III, il existe donc un réel A tel que : Pour tous réels a f (a)  Ae ka .
Or : f (0)  1 . Donc : A  1 .
Par conséquent, on a : Pour tous réels x f ( x)  e kx .
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