Devoir surveillé N°1.

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PCSI. 99/00.
Physique
Devoir surveillé N°1.
Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une
présentation claire et lisible est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.
Les questions sont numérotées. Les réponses à ces questions devront être données sous
forme littérale la plus simplifiée possible, encadrées, avant toute application numérique. Toute
réponse non justifiée sera considérée comme fausse.
Toutes les applications numériques seront effectuées dans le système international d’unités. Il
ne sera pas tenu compte des applications numériques ne comportant pas d’indications d’unités.
Il est choisi de représenter les vecteurs en caractères gras, non surmontés de flèches. Ainsi le
vecteur AB sera écrit AB. La valeur du vecteur AB est écrite AB.
Problème 1. Cinématique du point : Cardioïde.
Un mobile, supposé ponctuel, décrit la courbe plane dont l'équation en coordonnées polaires
( r, ) est :
r = (a/2) ( 1 + cos  )
où a désigne une longueur donnée.
1. Tracer, dans le plan xOy, la trajectoire du mobile. On prendra a = 5 cm.
2. Exprimer, en fonction de l'angle polaire , l'abscisse curviligne s du mobile, comptée à
partir du point A qui correspond à  = 0.
Pour quel angle polaire a-t-on s = a?
3. En déduire le périmètre P de la trajectoire.
On considère pour les questions suivantes que l'angle  varie avec le temps selon la loi horaire
 (t) =  t avec  = Cte.
4. Exprimer les coordonnées paramétriques cartésiennes du mobile en fonction du
temps.
5. Exprimer en fonction du temps les coordonnées paramétriques cartésiennes du
vecteur vitesse.
6. Exprimer en fonction du temps le vecteur vitesse et le vecteur accélération en
coordonnées polaires.
7. Exprimer en fonction du temps les vecteurs vitesse et accélération dans la base de
t
Frenet. On introduira le rayon de courbure Rc ainsi que la variable
.
2
8. Déterminer en fonction du temps les coordonnées cylindriques du vecteur T de la
base de Frenet.
9. Calculer en fonction du temps en tout point de la trajectoire le rayon de courbure Rc
de celle-ci. Déterminer en fonction du temps les coordonnées cylindriques du vecteur
N de la base de Frenet.
Suite au dos.
Problème 2. Conductivité métallique.
On donne les hypothèses du modèle classique de la conductivité électrique dans les métaux:
 Les porteurs de charge sont les électrons libres, en nombre n par unité de volume. Dans le
conducteur en équilibre, ces électrons ont des mouvements de directions équiprobables et
leur vitesse moyenne est nulle.
e = 1, 6 10-19 C, m= 9,1.10-31 kg.
 En présence d'un champ électrique E, les électrons libres, de charge q = - e acquièrent une
vitesse moyenne d'entraînement v(t) et le conducteur est le siège d'un courant caractérisé
par le vecteur densité de courant j.


Les collisions que subissent les porteurs de charge sont équivalentes à une force de
frottement appliquée à chaque électron et proportionnelle à sa vitesse v(t) :
m
F=  v


dv
 0.
En régime permanent chaque électron libre a la vitesse v telle que :
dt
1. En appliquant la relation fondamentale de la dynamique à un électron, établir l'équation
différentielle du mouvement d'un électron.
2. Préciser la dimension de .
3. Donner la solution, en régime permanent, de cette équation. On définit la mobilité 
des porteurs de charges par v = E. Exprimer .
4. La solution complète de l’équation différentielle déterminée en 1. est :
e
t
v(t) =  E(1 – exp  )
m

Représenter la fonction v(t).
Indiquer sur l’axe des temps la date . Justifier la position indiquée.
Donner succinctement une interprétation physique de la dénomination « temps de
relaxation » utilisée pour .
Calculer numériquement  dans le cas de l'argent pour lequel  = - 5, 25 10-3 m2.s-1.V
-1.
5. Exprimer, en régime permanent, le vecteur densité de courant j en fonction de E. En
déduire l'expression de la conductibilité électrique o du conducteur. Calculer la
conductibilité électrique de l'argent, avec : n = 7,4.1022 cm-3.
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