CORRIGE

1
ère
S D. S. n° 3 de mathématiques Novembre 2009
CORRIGE
EXERCICE 1
Les questions de cet exercice sont, à priori, indépendantes les unes des autres mais on peut toutefois utiliser les
résultats de certaines d’entre elles pour en traiter d’autres.
1) Démontrer que le polynôme f (x) = 2x
2
– 9x – 5 a deux racines qui sont – 1
2 et 5.
2) En déduire une factorisation de f(x) en un produit de deux expressions affines.
3) Résoudre l’équation suivante : 2x
4
– 9x
2
– 5 = 0 .
4) Soit l’expression g (x) = 6x
3
– 31x
2
+ 3x + 10. Démontrer qu’il existe deux nombres a et b
tels que, pour tout x ∈ IR : g (x) = ( 2x
2
– 9x – 5 ) ( ax + b ) .
En déduire les solutions de l’équation g (x) = 0 .

EXERCICE 2
Voici les paraboles représentatives P et P’ des
fonctions f et g définies sur IR par :
f (x) = x
2
+ x + 3 et g (x) = – x
2
+ 2x + 8 .
1) Résoudre l’inéquation : f (x) < g (x) .
2) Interpréter graphiquement les solutions de cette
inéquation.
3) Résoudre l’inéquation : f (x)
g (x) < 0 .
4) Interpréter graphiquement les solutions de cette inéquation.

EXERCICE 3
ABCD est un parallélogramme tel que AB = 6 cm,
AC = 5 cm, BC = 4 cm.
On appelle I le milieu de [AD] , E le centre de
gravité du triangle ACD, K le milieu du segment
[EB], F le barycentre des 2 points (B;3), (C;1).
1) Compléter la figure ci-contre.
2) Démontrer que K est le barycentre des 4 points
(A;1), (B;3), (C;1) et (D;1).
3) En déduire que les points I, K et F sont alignés.
4) Déterminer l’ensemble (E
1
) des points M tels
que || 3
→
MB +
→
MC || = || 2
→
MA + 2
→
MD || . Construire (E
1
) sur la figure.
5) Déterminer l’ensemble (E
2
) des points M tels que le vecteur
→
MA +
→
MC +
→
MD + 3
→
MB soit
orthogonal (perpendiculaire) au vecteur
→
KF . Construire (E
2
) .
6) Démontrer que (E
1
) // (E
2
) .

EXERCICE 4
m étant un nombre réel quelconque, on considère l’équation ( E
m
) d’inconnue x
(E
m
) : ( m – 1 ) x
2
+ 2mx + ( m + 2 ) = 0 .
1) Résoudre cette équation dans les cas suivants :
a) si m = 0
b) si m = 1
c) si m = – 1 (écrire les solutions sous la forme la plus simple possible)
2) Si m ≠ 1, calculer le discriminant ∆ de l’équation ( E
m
) . En déduire les valeurs de m pour
lesquelles cette équation a deux solutions.
3) Lorsque l’équation (E
m
) a deux solutions, exprimer ces deux solutions en fonction de m.
4) Lorsque l’équation (E
m
) a deux solutions, déterminer la (ou les) valeur(s) de m pour laquelle la
somme de ces solutions est égale à 10 .