Professeure : Marie Allard Automne 2001

3-851-84 MICROÉCONOMIE
B.A.A.
Professeure : Marie Allard
Automne 2001
EXAMEN FINAL
QUESTION 1 - (7 points)
Les affirmations suivantes sont-elles VRAIES, FAUSSES ou INCERTAINES ?
brièvement chacune de vos réponses.
Justifiez
Il n’existe aucun lien entre la matrice de Slutsky qui caractérise le comportement d’un
consommateur et sa fonction de dépense.
a)

FAUX, K = Matrice hessienne (matrice des dérivés secondes) de la fonction de dépense.
 2e
Par exemple, K11 
 p12
On considère une économie fictive dans laquelle il existe autant de marchés à terme qu’il
existe de biens. Dans une telle économie, les modèles temporaire et intertemporel, qui
décrivent le choix optimal d’un consommateur en contexte temporel, donneront la même
solution.
b)

INCERTAIN, les 2 modèles donnent la même solution, en autant que les anticipations des
agents (dans le modèle temporaire) sur les prix futurs et les revenus futurs soient
parfaites.
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QUESTION 2 - (19 points)
Répondez brièvement aux quatre (4) sous-questions suivantes :
L’existence d’une fonction de bien-être social suppose l’acceptation d’un certain nombre
d’hypothèses controversées. Discutez l’une de ces hypothèses.
a)


Les utilités individuelles sont cardinales (sinon la fonction de bien-être social est mal
définie)
L’existence d’une telle fonction implique l’existence d’un TMS social, ie une mesure où
l’on compare les utilités des individus.
En contexte d’incertitude, on représente souvent les préférences d’un individu par une
fonction d’utilité de von Neumann-Morgenstern. Quelle forme aura la fonction d’utilité
d’un individu qui a de l’aversion pour le risque ? Représentez graphiquement la
fonction d’utilité de cet individu et expliquez brièvement la forme du graphique.
b)

Concave ; l’individu qui a de l’aversion pour le risque préférera toujours le revenu
certain W à une loterie comportant W1 et W2 et rapportant un gain espéré de W car :
U (W ) E (U )
La minimisation des coûts peut-elle décrire complètement le comportement d’une firme ?
Discutez brièvement à l’aide d’un exemple.
c)

Oui, exemple d’une firme dont la production est fixée de façon exogène. Les décisions se
résument à choisir les inputs qui minimisent ses coûts tout en respectant sa technologie.
Afin d’aider les gens qui ont de la difficulté à se trouver un logement à « prix
raisonnable » (dit logement social), le gouvernement envisage de subventionner le prix de
ces logements (baisse du loyer) ou de verser aux individus un montant équivalent, en
termes de bien-être, à cette baisse de loyer.
d)

Pour déterminer ce montant, le gouvernement doit-il calculer une variation compensatoire
(CV) ou une variation équivalente (EV) ? Du point de vue des gens visés par cette
politique, s’agit-il d’un montant qu’ils sont disposés à payer ou à recevoir ? Expliquez
brièvement à l’aide d’un graphique.
Il doit calculer un EV, soit le montant minimal que les gens sont disposés à recevoir (à la
place de la subvention), le montant qui permet d’atteindre U2, sans changer les prix.
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QUESTION 3 - (25 points)
Les préférences d’un consommateur sont représentées par la fonction d’utilité :
u  x11/ 5 x 42/ 5
où x1 et x2 sont respectivement les quantités consommées des biens 1 et 2. Ce consommateur
consacre son revenu R à l’achat de ces deux biens dont les prix unitaires sont respectivement
p1 et p2.
a)
Quelles sont les fonctions de comportement de ce consommateur ?

x1* 
R * 4R
x2 
5 p1
5 p2
La théorie du consommateur prédit que les fonctions de comportement, loin d’être
arbitraires, respectent certaines propriétés. Énoncez deux de ces propriétés et donnez leur
interprétation économique.
b)




c)
K = K, K est symétrique, les effets-prix compensés croisés sont égaux
Kp = 0, les fonctions de demande sont homogènes de degré 0
 ph xh R  1 , la somme des propensions marginales à consommer est égale à 1
z’Kz < 0 pour z ≠θp, la matrice de Slutsky est définie négative. En général, pour un bien
normal, la pente de la demande est négative.
On annonce au consommateur une hausse du prix p2 . Sachant que le bien 2 est normal,
comment va-t-il ajuster sa consommation de ce bien ? Illustrez graphiquement en
prenant soin de bien identifier et expliquer les différents ajustements qui ont lieu.

Rotation de la droite de contrainte budgétaire sur l’axe x2, nous obtenons donc trois
points x2 ( x2A , x2B , x2C ).



Passage de x2A à x2B : effet de substitution
Passage de x2B à x2C : effet revenu
Passage de x2A à x2C : effet prix-total
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x2
R
p2
xA2
A
R
p 2'
B
u1
xB2
C
xC2
u2
x1
Si R = 100, p1 = 10 et p2 = 5, pour quelle valeur de u les demandes compensées
(hicksiennes) seront-elles égales (i.e. prendre les mêmes valeurs) à ses demandes
classiques (marshalliennes) ?
d)

 R 

Pour u  v( p1  10, p2  5, R  100) , or v( p1 , p 2 , R)  
 5 p1 
2
100
4 *100
 2 , x1* 
 16 et u *  8 * 2 5 .
donc x1* 
5 *10
5*5
1
5
4
 4R  5

 , on obtient
 5 p2 
QUESTION 4 - (15 points)
On considère une économie d’échanges et de propriété privée dans laquelle on doit répartir
30 magazines (bien 1) et 90 livres (bien 2) entre deux groupes de consommateurs. Ces deux
groupes de consommateurs ont des préférences identiques représentées par les fonctions
d’utilité :
u i  x 1i1/ 4 x 3i 2/ 4
i  1, 2 ,
où x i h désigne la consommation en bien h des consommateurs du groupe i, avec h = 1, 2 et
i = 1, 2.
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Les magazines et les livres sont d’abord répartis entre les deux groupes de
consommateurs de la façon suivante :
a)
(w11, w12) = (10 , 50) pour le groupe 1 et (w21 , w22) = (20 , 40) pour le groupe 2.
Cette répartition initiale représente-t-elle une allocation optimale au sens de Pareto ?
Justifiez votre réponse.


b)
État réalisable? w11  w21  w1 et w12  w22  w2 →OUI
État optimal? TMS11, 2 (10,50)  TMS12, 2 (20,40) →NON
Les fonctions de demande Marshallienne des deux groupes de consommateurs sont
données par :
x i1 
Ri
4 p1
et
x i2 
3R i
4p 2
, i  1 , 2,
où Ri est le revenu des consommateurs du groupe i, p1 le prix des magazines et p2 le prix des
livres.
Pour quel(s) système(s) de prix (p1* , p*2 ) obtient-on un équilibre général des échanges ?
p
 z1  0  p1 (3w11  3w21 )  p2 ( w12  w22 )  1  1
p2

c)
p
*
1

, p * 2  (1,1), (2,2)...
Énoncez la loi de Walras. Cette loi est-elle respectée si le système de prix est
(p1 , p2 ) = (1, 2) ? Expliquez brièvement.

La somme des valeurs des demandes excédentaires (agrégées) est identiquement égale à
0.
 Oui la loi est respectée pour (p1,p2) = (1,2), car la loi de Walras est toujours respectée
en autant que :
1. économie de propriété privée
2. chaque consommateur respecte sa contrainte budgétaire
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QUESTION 5 - (24 points)
Une entreprise produit deux outputs y1 et y2 à partir de deux inputs, du travail y3 et du capital
(équipement) y4 , suivant une technologie qui est décrite par la fonction de production :
y12  y 22  9y3 y 4  0 .
Dans un contexte concurrentiel, l’entreprise peut vendre ses outputs aux prix p1 et p2 et acheter
ses inputs aux prix p3 et p4 . Ce faisant, elle cherchera à maximiser ses profits.
a)
Sachant que les niveaux d’inputs sont déterminés de façon exogène et fixés à y3 = –8 et
y4 = –2,
décrivez, en mots, le problème auquel l’entreprise fait face dans ce cas
particulier ;
i)

L’entreprise cherche la combinaison d’outputs ( y1* , y 2* ) qui maximise ses recettes
totales, tout en respectant sa technologie étant donné la quantité fixe d’intrants.
décrivez formellement (i.e. à l’aide d’équation(s)) le problème auquel l’entreprise
fait face dans ce cas particulier ;
ii)

Max p1y1+p2y2+cste sc y12 + y22 – 144 = 0
illustrez graphiquement la décision optimale de l’entreprise et interpétez la(les)
condition(s) d’équilibre qu’elle doit respecter ;
iii)

y 2
p
 TMT1, 2  1 , soit pente
y1
p2
transformation égale pente de la droite d’isorecettes.
À
l’équilibre :
de
la
courbe
de
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y2
(y1*,y2*)
y1
trouvez les fonctions d’offre pour les deux outputs ;
iv)
Max L  p1 y1  p2 y 2   ( y12  y 22  144)
12 p1
12 p 2
y1* 
et y 2* 
2
2
p1  p 2
p12  p 22


les fonctions d’offre obtenues en iv) sont-elles homogènes ? Si oui, indiquez leur
degré d’homogénéité et expliquez pourquoi on obtient ce résultat.
v)

b)
Homogènes de degré 0. Ce résultat vient de la condition d’équilibre
p
(TMT= 1
), si p1 et p2 sont multipliés par t la condition d’équilibre
p 2  tp1
tp2
ne change pas, donc y1* et y2* ne changent pas.
Si l’entreprise ne produit que le bien 1 (y2 = 0), trouvez sa fonction de coût.


Max L  p3 y3  p 4 y 4    y1  3 y3 2 y 4 2 


1
1
2
C=   p3 y 3*  p 4 y 4*   y1 p3 2 p 4 2
3
1
1
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QUESTION 6 - (10 points)
Dans une économie d’échanges comportant deux (2) biens et vingt-cinq (25) groupes de
consommateurs, les préférences des consommateurs du groupe 5 sont données par la fonction
d’utilité
u 5  ln x 51  ln x 52
où x 5 h représente leur consommation en bien h, h = 1, 2. Une allocation optimale au sens de
Pareto de cette économie est donnée par l’état
E*  ( x1* , x *2 , , x *5 , , x *25 )
où x *i représente le vecteur des consommations optimales des consommateurs du groupe i,
i = 1, 2, …, 25. De plus, dans cette allocation optimale de l’économie,
x *5  (x *51 , x *52 )  (12 , 4 )
Pour quel(s) système(s) de prix ( p1* , p *2 ) obtient-on un équilibre général des échanges (ou
équilibre de marché) dans cette économie ? Expliquez clairement votre raisonnement.



Tout optimum de Pareto est un équilibre de marché (théorème 2)
→ E* = (x1*, x2*, …, x5*, …, x25*) est un équilibre de marché.
Dans un équilibre de marché, chaque consommateur maximise son utilité tout en
respectant sa contrainte budgétaire, à prix donné.
Ainsi, les consommateurs du groupe 5, lorsqu’ils maximisent leur utilité sous contrainte
budgétaire résolvent le problème :
Max U 5  ln( x51 )  ln( x52 )
s.c. p1 x51  p2 x52  R5
À l’équilibre, TMS15, 2 

p1
4

p 2 12
Le système de prix qui permet cet équilibre de marché est tel que
p1 1
 et sera le même
p2 3
pour tous les consommateurs.
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