Limites de fonctions

19/04/2017 Analyse – Limite de fonctions | 1
 Limite de fonctions 
Définitions
Définition – Voisinage
Etant donné un réel a, on dit qu’une fonction f est définie au voisinage de a s’il existe un réel h > 0 tel que l’on soit dans l’un
des trois cas suivants :
voisinage à gauche : (Df  [a – h, a + h]) \ {a} = [a – h , a[ voisinage à droite : (Df  [a – h, a + h]) \ {a} = ]a, a + h]
(Df  [a – h, a + h]) \ {a} = [a – h , a + h]
Une fonction f est définie au voisinage de + s’il existe un réel A tel que [A, +[  Df
Une fonction f est définie au voisinage de - s’il existe un réel A tel que ]-, A]  Df
Définition – Limites finies
La fonction f converge vers  en a (a  ) ssi  > 0,  > 0, x  Df, |x - a| ≤  |f(x) –  | ≤ 
La fonction f converge vers  en a = + ssi  > 0, A  , x  Df, x ≥ A |f(x) –  | ≤ 
La fonction f converge vers  en a = - ssi  > 0, A  , x  Df, x ≤ A |f(x) –  | ≤ 
On dit que f admet une limite finie  en a et on écrit 
   ou 
Définition – Limites infinies
Une fonction f tend vers + en a  
 si elle est définie au voisinage de a et si l’on a :
* pour a   A ,  > 0, x  Df, |x - a| ≤   f(x) ≥ A
* pour a = + A , , x  Df, x ≥ B  f(x) ≥ A
* pour a = - A , , x  Df, x ≤ B  f(x) ≥ A
On dit que f admet + pour limite en a et on écrit 
  ou 
Théorème – Unicité de la limite
Soit f une fonction définie au voisinage de a. Si f admet une limite  en a, elle est unique.
Si f est définie en a et admet une limite en a alors 
Proposition – Retour au zéro
Soit f une fonction définie au voisinage de a 
. Soit   . Alors :
Si    alors 
Si a   alors 
Proposition – Limite et borne
Soit f une fonction définie au voisinage de a  
. Si f admet une limite finie en a alors f est bornée au voisinage de a
Proposition – Limite et signe
Soit f une fonction définie au voisinage de a  
. Si f admet une limite finie  > 0 en a, alors f est minorée par un réel
strictement positif au voisinage de a.
Définition – Limite à gauche, à droite
Soit a   et l  
. Soit f une fonction définie au voisinage de a
* On dit que f admet  pour limite à gauche en a si la restriction de f à Df ∩ ]-, a] admet  pour limite en a. Dans ce cas,
cette limite est unique et on la note 
 > 0,  > 0, x  Df, a –  ≤ x < a |f(x) –  | ≤ 
* On dit que f admet  pour limite à droite en a si la restriction de f à Df ∩ [a, +[ admet  pour limite en a. Dans ce cas,
cette limite est unique et on la note 
 > 0,  > 0, x  Df, a < x ≤ a +  |f(x) –  | ≤ 
Proposition – Lien entre limite simple, limite à droite, limite à gauche
Soit a   et l  
. Soit f une fonction définie au voisinage de a

19/04/2017 Analyse – Limite de fonctions | 2
Si f est définie en a, 
   et  
Si f n’est pas définie en a, 

19/04/2017 Analyse – Limite de fonctions | 3
Propriétés des limites
Théorème – Caractérisation séquentielle de la limite
Soit f une fonction définie au voisinage de a  
. Soit    . Les propositions suivantes sont équivalentes :
(i) 
(ii) Pour toute suite (Un) à valeurs dans Df de limite a, (f(Un)) a pour limite 
* Pour montrer qu’une fonction n’admet pas de limite en a, il suffit de trouver deux suites (Un) et (Vn) de même limite a telles
que (f(Un)) et (f(Vn)) possèdent des limites différentes
Proposition – Limite et borne supérieure/inférieure
Soit f : I  . Soit a  
Si f est majorée par M sur I et si 
   alors supI f = M
Si f est minorée par m sur I et si 
   alors infI f = m
Opérations sur les limites
somme
l
l’
l + l’
?
?
Cas indéterminés
0 x  et donc aussi 
 et 
attention 
Proposition – Composition de limites
Soient f une fonction définie au voisinage de a  
 et g une fonction définie au voisinage de b   Soit enfin l   .
Si 
   et     alors 
Passage à la limite
Si 
   et     et si f ≤ g au voisinage de a alors  ≤ ’
Si 
   et f ≤ M au voisinage de a alors  ≤ M
Si 
   et f ≥ m au voisinage de a alors  ≥ m
(attention il faut des inégalités larges)
produit
l > 0
l = 0
l < 0
l’ > 0
ll’
0
ll’
l’ = 0
0
0
0
?
?
l < 0
ll’
0
ll’
?
?

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Théorèmes d’existence des limites
Théorème d’encadrement, de minoration, de majoration
Soient a   et   . Soit f, m et M trois fonctions définies au voisinage de a
Si 
   et m  f  M au voisinage de a, alors f admet une limite en a et celle-ci vaut 
Si 
   et m  f au voisinage de a, alors f admet une limite en a et celle-ci vaut 
Si 
   et f  M au voisinage de a, alors f admet une limite en a et celle-ci vaut 
Corollaire
Soient f et  deux fonctions définies au voisinage de a  
. Si |f|   au voisinage de a et si 
   alors 
Corollaire
Soient f et  deux fonctions définies au voisinage de a  
. Si f est bornée au voisinage de a et si 
   alors 
Corollaire
Soient f et g deux fonctions définies au voisinage de a  
Si f est minorée au voisinage de a et si 
   alors 
Si f est majorée au voisinage de a et si 
   alors 
Théorème de la limite monotone
Soit f une fonction croissante sur un intervalle I. On pose m = inf I et M = sup I (avec éventuellement m =  et M = )
(i) f admet une limite à gauche et à droite en tout point a intérieur à I. De plus, 
(ii) f admet une limite en m+. Si f est minorée cette limite est finie et vaut infI f sinon elle vaut 
(iii) f admet une limite en M-. Si f est majorée, cette limite est finie et vaut supI f, sinon elle vaut 

19/04/2017 Analyse – Limite de fonctions | 5
Calcul de limites
Utiliser les développements limités (surtout en 0)
A l’infini penser aux croissance comparées
Lorsqu’il y a des arcsin arccos chercher un changement de variable y = sin x ou y = cos x
Lorsqu’il y a une partie entière, majorer ou minorer la fonction
Lorsqu’il y a des racines penser à la quantité conjuguée
Lorsqu’il y a des sin cos tan utiliser les formules trigonométriques et le développement limité de sin x / x et de tan x / x en 0