Théorème. Si une fonction est strictement positive et dérivable sur un intervalle I ouvert,
alors la fonction f : x ln[u(x)] est dérivable sur I
et, pour tout x de I, f ’(x) =
Exemple. Déterminer la dérivée de f : x ln(– 2x2 + 2x + 4).
Remarque. f : x ln[u(x)] a les même variations que u. Trivial.
Application. Rechercher les extrema sur ] 0 ; 1[ de la fonction définie par
D. Calcul de Primitives.
Théorème. Si u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I ouvert,
alors une primitive sur I de la fonction x
est la fonction définie
par :
x ln[u(x)]
Exemple. Déterminer une primitive sur l’intervalle ]– ∞ ,
[ de la fonction f : x
Théorème. Si u est une fonction strictement négative et dérivable sur un intervalle I ouvert,
alors une primitive sur I de la fonction x
est la fonction définie par :
x ln[– u(x)]
Exemple. Une primitive sur ]– ∞ ; 2]de la fonction x
est la fonction x
ln(2
– x)
E. Autres fonctions logarithmes.
On appelle fonction logarithme toute fonction fk définie sur ]0 ; + ∞[ par fk (x) = kln x, où k
désigne un réel.
Pour tout réels a et b strictement positifs, fk (ab) = fk (a) + fk (b) .
Conséquence : pour tout réel x strictement positif et pour tout entier n, fk (xn) = n fk (x)
Les fonctions logarithmes sont les seules fonctions définies et dérivables sur ]0 ; + ∞[ qui
transforment les produits en sommes.
On appelle fonction logarithme décimal la fonction logarithme fk telle que fk (10) = 1 ie telle
que k =
. On la note log. Ainsi pour tout x de ]0 ; + ∞[, log x =