Fonctions Logarithmes

Fonctions Logarithmes.
A. La fonction logarithme népérien.
La fonction définie sur ] 0 ; + ∞[ par x  Error! est dérivable sur cet
intervalle, elle admet donc des primitives sur ]0 ;   [.
Définition.
La fonction logarithme népérien, notée ln, est la primitive de cette fonction qui
s’annule en 1.
Conséquences immédiates de la définition.
a) La fonction logarithme népérien est définie sur ]0 ;   [.
b) La fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0 ;   [ et sa fonction dérivée est
1
définie pour tout réel x > 0 par : ln'( x)  . Elle est donc croissante sur ]0 ;   [.
x
c) ln(1) = 0.
Propriétés de la fonction logarithme népérien.
Pour tous réels a et b strictement positifs
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
ln(a × b) = ln(a) + ln(b)
ln Error! = – ln(b)
lnError! = ln (a) – ln(b)
pour tout n  , ln(an) = n ln (a).
ln ( a ) = Error! ln (a)
Étude de la fonction logarithme népérien.
La fonction ln est définie, continue, dérivable et strictement croissante sur ]0 ;   [.
(1) lim;
x
 0+
ln (x) = – 
L’axe des ordonnées est asymptote à la
courbe.
(2) lim;
x
(3) lim;
x


+ 
+ 
ln (x) = +  (admis)
Error! = 0
Branche parabolique de direction
horizontale.
Tableau de variation
x


0
ln

Tout réel admet un unique antécédent, par la fonction ln, et cet antécédent est un réel
strictement positif.
En particulier, 1 a pour antécédent le nombre noté e. la tangente au point d’abscisse e passe
par l’origine.
a et b étant deux réels positifs :
a  b  ln(a)  ln(b);
a  b  ln(a)  ln(b).
B. Équations et inéquations.
Exemple 1. Résoudre dans IR l’équation : x  , ln (5x – 1) = ln(3x + 11) ?
Exemple 2. Résoudre dans IR l’inéquation : x  , ln (4x – 1) < ln (e7) ?
Exemple 3. Résoudre dans IR l’équation : x  , 2(ln x)2 + ln x – 1 = 0?
Exemple 4. Déterminer l’entier naturel n tel que : 5n  1015
Exemple 5. Déterminer l’entier naturel n tel que : (0,7)n ≤ 10– 6
C. Fonctions de la forme x  ln[u(x)].
Théorème. Si une fonction est strictement positive et dérivable sur un intervalle I ouvert,
alors la fonction f : x  ln[u(x)] est dérivable sur I
et, pour tout x de I, f ’(x) = Error!
Exemple. Déterminer la dérivée de f : x  ln(– 2x2 + 2x + 4).
Remarque. f : x  ln[u(x)] a les même variations que u. Trivial.
Application. Rechercher les extrema sur ] 0 ; 1[ de la fonction définie par u( x)  (1  x)3
x.
D. Calcul de Primitives.
Théorème. Si u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I ouvert,
alors
par :
une primitive sur I de la fonction x  Error! est la fonction définie
x  ln[u(x)]
Exemple. Déterminer une primitive sur l’intervalle ]– ∞ , Error![ de la fonction f : x 
Error!
Théorème. Si u est une fonction strictement négative et dérivable sur un intervalle I ouvert,
alors
une primitive sur I de la fonction x  Error! est la fonction définie par :
x  ln[– u(x)]
Exemple. Une primitive sur ]– ∞ ; 2]de la fonction x  Error! est la fonction x  Error! ln(2
– x)
E. Autres fonctions logarithmes.
On appelle fonction logarithme toute fonction fk définie sur ]0 ; + ∞[ par fk (x) = kln x, où k
désigne un réel.
Pour tout réels a et b strictement positifs, fk (ab) = fk (a) + fk (b) .
Conséquence : pour tout réel x strictement positif et pour tout entier n, fk (xn) = n  fk (x)
Les fonctions logarithmes sont les seules fonctions définies et dérivables sur ]0 ; + ∞[ qui
transforment les produits en sommes.
On appelle fonction logarithme décimal la fonction logarithme fk telle que fk (10) = 1 ie telle
que k = Error!. On la note log. Ainsi pour tout x de ]0 ; + ∞[, log x = Error!