Fonctions Logarithmes.
A. La fonction logarithme népérien.
finition. La fonction définie sur ] 0 ; + ∞[ par x
Error!
est dérivable sur cet
intervalle, elle admet donc des primitives sur
]0 ; [.
La fonction logarithme népérien, notée ln, est la primitive de cette fonction qui
s’annule en 1.
Conséquences immédiates de la définition.
a) La fonction logarithmepérien est définie sur
]0 ; [.
b) La fonction logarithmepérien est dérivable sur
]0 ; [
et sa fonctionrivée est
définie pour toutel x > 0 par :
1
ln'( ) .xx
Elle est donc croissante sur
]0 ; [.
c) ln(1) = 0.
Propriétés de la fonction logarithme népérien.
Pour tous réels a et b strictement positifs
(1) ln(a × b) = ln(a) + ln(b)
(2) ln
Error!
= ln(b)
(3) ln
Error!
= ln (a) ln(b)
(4) pour tout n , ln(an) = n ln (a).
(5) ln ( a ) =
Error!
ln (a)
Étude de la fonction logarithme népérien.
La fonction ln est définie, continue, dérivable et strictement croissante sur
]0 ; [.
(1) lim;x 0 + ln (x) = 
L’axe des ordonnées est asymptote à la
courbe.
(2) lim;x + ln (x) = + (admis)
(3) lim;x + Error! = 0
Branche parabolique de direction
horizontale.
Tableau de variation
x
0
ln
Tout réel admet un unique antécédent, par la fonction ln, et cet antécédent est un réel
strictement positif.
En particulier, 1 a pour antécédent le nombre noté e. la tangente au point d’abscisse e passe
par l’origine.
a et b étant deux réels positifs :
ln( ) ln( ); ln( ) ln( ).a b a b a b a b   
B. Équations et inéquations.
Exemple 1. Résoudre dans IR l’équation : x , ln (5x 1) = ln(3x + 11) ?
Exemple 2. Résoudre dans IR l’inéquation : x , ln (4x 1) < ln (e7) ?
Exemple 3. Résoudre dans IR l’équation : x , 2(ln x)2 + ln x 1 = 0?
Exemple 4. Déterminer l’entier naturel n tel que : 5n 1015
Exemple 5. Déterminer l’entier naturel n tel que : (0,7)n 10 6
C. Fonctions de la forme x ln[u(x)].
Théorème. Si une fonction est strictement positive et dérivable sur un intervalle I ouvert,
alors la fonction f : x ln[u(x)] est dérivable sur I
et, pour tout x de I, f (x) =
Error!
Exemple.terminer la dérivée de f : x ln( 2x2 + 2x + 4).
Remarque. f : x ln[u(x)] a les même variations que u. Trivial.
Application. Rechercher les extrema sur ] 0 ; 1[ de la fonction définie par
3
( ) (1 ) .u x x x
D. Calcul de Primitives.
Théorème. Si u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I ouvert,
alors une primitive sur I de la fonction x
Error!
est la fonction définie
par :
x ln[u(x)]
Exemple.terminer une primitive sur l’intervalle ] ,
Error!
[ de la fonction f : x
Error!
Théorème. Si u est une fonction strictement négative et dérivable sur un intervalle I ouvert,
alors une primitive sur I de la fonction x
Error!
est la fonction définie par :
x ln[ u(x)]
Exemple. Une primitive sur ] ; 2]de la fonction x
Error!
est la fonction x
Error!
ln(2
x)
E. Autres fonctions logarithmes.
On appelle fonction logarithme toute fonction fkfinie sur ]0 ; + ∞[ par fk (x) = kln x,k
désigne un réel.
Pour tout réels a et b strictement positifs, fk (ab) = fk (a) + fk (b) .
Conséquence : pour tout réel x strictement positif et pour tout entier n, fk (xn) = n fk (x)
Les fonctions logarithmes sont les seules fonctions définies et dérivables sur ]0 ; + ∞[ qui
transforment les produits en sommes.
On appelle fonction logarithmecimal la fonction logarithme fk telle que fk (10) = 1 ie telle
que k =
Error!
. On la note log. Ainsi pour tout x de ]0 ; + [, log x =
Error!
1 / 3 100%
La catégorie de ce document est-elle correcte?
Merci pour votre participation!

Faire une suggestion

Avez-vous trouvé des erreurs dans linterface ou les textes ? Ou savez-vous comment améliorer linterface utilisateur de StudyLib ? Nhésitez pas à envoyer vos suggestions. Cest très important pour nous !