Définition de la fonction logarithme népérien

C. Jourdain
Chap. 3 – Mathématiques Terminales S.T.G.
1
Fonction logarithme Népérien
I – Définition de la fonction logarithme népérien
Activité : A la découverte d’une nouvelle fonction de référence.
1. Repérer la touche sur votre calculatrice ; elle correspond à la fonction « logarithme népérien », notée ln. Vérifier, par
exemple, que ln(12)  2,485.
2. a) Compléter le tableau suivant lorsque c’est possible (résultats arrondis à 10 – 3) :
x
 20
 5
 2,4
 1,2
 0,4
0
0,1
0,5
0,9
0,98
1
1,1
2
5
12
104
106
ln(x)
b) Quelle conjecture pouvez-vous faire sur l’ensemble de définition de la fonction ln ?
3. a) Tracer sur l’écran de la calculatrice la courbe C, représentative de la fonction ln dans le plan rapporté à un repère.
b) Confirmer ou affiner la conjecture précédente.
c) On considère les nombres m1 = 0,2 ; m2 = 0,5 ; m3 = 1 ; m4 = 2 ; m5 = 5. Successivement, pour chacune des valeurs de i,
tracer sur l’écran la droite d’équation y =
Error!
x, et constater qu’elle est parallèle à la tangente à C au point d’abscisse mi.
En déduire que, pour tout i, f ’(mi) =
Error!
. (vous pouvez retrouver une figure animée de cet exercice sur le site)
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C. Jourdain
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2
1) Définition
► On admet qu’il existe une unique fonction, appelée logarithme népérien, notée ln, telle que :
 ln est définie et dérivable sur ]0, +[ ;
 ln(1) = 0 ;
 pour tout x de ]0, +[, ln’(x) =
Error!
La fonction ln a pour dérivée la fonction inverse sur ]0, +[,
on dit alors que la fonction ln est une primitive de la fonction inverse sur ]0, +[.
2) Sens de variation, courbe représentative et signe de la fonction ln.
Puisque, pour tout x de ]0, +[, ln’(x) =
Error!
et
Error!
> 0,
► ln est croissante sur ]0, +[ : ln(a) et ln(b) sont rangés dans le même ordre que a et b.
On en déduit que, pour tout a et appartenant à ]0, +[ :
► ln(a) = ln(b) équivaut à a = b ; ln(a) > ln(b) équivaut à a > b ; ln(a) < ln(b) équivaut à a < b ;
En particulier, pour a appartenant à ]0, +[ :
► ln(a) = 0 équivaut à a = 1 ; ln(a) > 0 équivaut à a > 1 ; ln(a) < 0 équivaut à a < 1 ;
Tableau de variation et signe de la fonction ln : Courbe représentative de la fonction ln :
x
0 1 +
Signe de
ln’(x)
+
ln(x)
+
0
– 
Signe de
ln(x)
–
+
Applications :
1. Soit f la fonction définie sur ]0, +[ par : f(x) =
Error!
+ ln(x). Calculer f ’(x).
2. Soit g la fonction définie sur ]0, +[ par : g(x) = x  ln(x). Calculer g ’(x).
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Faire les exercices : n°5 p 185 – n°41, 48, 50 p188
DM 1 sur feuille en individuel : n°44 à 47 – n°51 à 55 p 188

C. Jourdain
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3
II – Propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien
Activité : Des propriétés peu banales.
1. a) f et g sont les fonctions définies sur ]0, +[ par f(x) = ln(3x) et g(x) = ln(3) + ln(x).
Tracer sur l’écran de la calculatrice les courbes représentatives de ces fonctions. Que constate-t-on ?
b) Reprendre la question précédente, en remplaçant 3 par 0,5.
2. Reprendre les questions 1. a) et 1. b), avec f(x) = ln
Error!
et g(x) = ln(3) – ln(x).
3. Reprendre les questions 1. a) et 1. b), avec f(x) = ln ( ) x3 et g(x) = 3  ln(x).
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1) Logarithme d’un produit
► Pour tous réels a et b strictement positifs, on a : ln (ab) = ln (a) + ln (b)
exemple : A = ln 6 + ln 5 + ln
Error!
= ln
Error!
= ln(1) = 0
2) Logarithme d’un inverse, d’un quotient
► Pour tout réel a strictement positif, on a : ln
Error!
= – ln (a)
► Pour tous réels a et b strictement positifs, on a : ln
Error!
= ln (a) – ln (b)
exemple : B = ln(20) – ln(10) = ln
Error!
= ln(2) ; C = ln
Error!
= – ln(3)
3) Logarithme d’une puissance, d’une racine carrée
► Pour tout réel a strictement positif, et pour tout entier relatif n, on a : ln ( ) an = n  ln (a)
► Pour tout réel a strictement positif, on a : ln ( a) =
Error!
 ln (a) = ln
Error!
exemple : D = ln(32) = ln(25) = 5  ln(2) ; E =
Error!
ln(49) = ln(
Error!
) = ln(7)
Applications :
1] Résoudre dans IR l’équation : 2 ln(x) = ln(4), d’inconnue x.
2] Résoudre dans IR l’équation : ln(x + 1) – ln(4) = ln(x), d’inconnue x.

C. Jourdain
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Faire les exercices : n°8 p 185 – n°25, 26 p 186 – n°30, 32, 33 p 187 – n°37 p 187
DM 2 sur feuille en individuel : n°14, 17 p 185 – n°32, 34 p187 – n°39 p 188
III – Fonctions x ln(ax + b)
Activité : En composant avec la fonction ln.

C. Jourdain
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5
On considère la fonction affine u, définie sur IR par : u(x) = a x + b, où a  0.
1. Dans cette question, a = 1 et b = – 1.
a) Déterminer l’intervalle I des nombres réels tels que u(x) > 0.
b) On désigne par f la fonction composée de u suivie de la fonction ln : f est donc définie sur I par f(x) = ln (u(x)) = ln(x – 1).
Tracer sur l’écran de la calculatrice la courbe C, représentative de la fonction f dans le plan rapporté à un repère.
c) En utilisant le graphique, confronter le sens de variation de f et le signe de a.
2. Reprendre la question 1., successivement avec a = – 1 et b = – 1 ; a = 0,5 et b = 2 ; a = – 0,5 et b = 2 ; a = 2 et b = – 5 ; a = –
2 et b = – 5.
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On note u la fonction affine définie sur IR par u(x) = a x + b, où a et b sont des réels, a  0.
► On sait que l’ensemble des réels x tels que u(x) > 0 est l’intervalle I, égal à :
Error!