Définition de la fonction logarithme népérien

C. Jourdain

Chap. 3 – Mathématiques Terminales S.T.G.

Fonction logarithme Népérien

I – Définition de la fonction logarithme népérien

Activité : A la découverte d’une nouvelle fonction de référence.

1. Repérer la touche sur votre calculatrice ; elle correspond à la fonction « logarithme népérien », notée ln. Vérifier, par

exemple, que ln(12)  2,485.

2. a) Compléter le tableau suivant lorsque c’est possible (résultats arrondis à 10 – 3) :

 20

 5

 2,4

 1,2

 0,4

0,1

0,5

0,9

0,98

1,1

104

106

ln(x)

b) Quelle conjecture pouvez-vous faire sur l’ensemble de définition de la fonction ln ?

3. a) Tracer sur l’écran de la calculatrice la courbe C, représentative de la fonction ln dans le plan rapporté à un repère.

b) Confirmer ou affiner la conjecture précédente.

c) On considère les nombres m1 = 0,2 ; m2 = 0,5 ; m3 = 1 ; m4 = 2 ; m5 = 5. Successivement, pour chacune des valeurs de i,

tracer sur l’écran la droite d’équation y =

Error!

x, et constater qu’elle est parallèle à la tangente à C au point d’abscisse mi.

En déduire que, pour tout i, f ’(mi) =

Error!

. (vous pouvez retrouver une figure animée de cet exercice sur le site)

………………………………………………………………………………………………………………………………………

C. Jourdain

Chap. 3 – Mathématiques Terminales S.T.G.

1) Définition

► On admet qu’il existe une unique fonction, appelée logarithme népérien, notée ln, telle que :

 ln est définie et dérivable sur ]0, +[ ;

 ln(1) = 0 ;

 pour tout x de ]0, +[, ln’(x) =

Error!

La fonction ln a pour dérivée la fonction inverse sur ]0, +[,

on dit alors que la fonction ln est une primitive de la fonction inverse sur ]0, +[.

2) Sens de variation, courbe représentative et signe de la fonction ln.

Puisque, pour tout x de ]0, +[, ln’(x) =

Error!

> 0,

► ln est croissante sur ]0, +[ : ln(a) et ln(b) sont rangés dans le même ordre que a et b.

On en déduit que, pour tout a et appartenant à ]0, +[ :

► ln(a) = ln(b) équivaut à a = b ; ln(a) > ln(b) équivaut à a > b ; ln(a) < ln(b) équivaut à a < b ;

En particulier, pour a appartenant à ]0, +[ :

► ln(a) = 0 équivaut à a = 1 ; ln(a) > 0 équivaut à a > 1 ; ln(a) < 0 équivaut à a < 1 ;

Tableau de variation et signe de la fonction ln : Courbe représentative de la fonction ln :

0 1 +

Signe de

ln’(x)

ln(x)

+

– 

Signe de

ln(x)

–

Applications :

1. Soit f la fonction définie sur ]0, +[ par : f(x) =

Error!

+ ln(x). Calculer f ’(x).

2. Soit g la fonction définie sur ]0, +[ par : g(x) = x  ln(x). Calculer g ’(x).

………………………………………………………………………………………………………………………………………

Faire les exercices : n°5 p 185 – n°41, 48, 50 p188

DM 1 sur feuille en individuel : n°44 à 47 – n°51 à 55 p 188

C. Jourdain

Chap. 3 – Mathématiques Terminales S.T.G.

II – Propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien

Activité : Des propriétés peu banales.

1. a) f et g sont les fonctions définies sur ]0, +[ par f(x) = ln(3x) et g(x) = ln(3) + ln(x).

Tracer sur l’écran de la calculatrice les courbes représentatives de ces fonctions. Que constate-t-on ?

b) Reprendre la question précédente, en remplaçant 3 par 0,5.

2. Reprendre les questions 1. a) et 1. b), avec f(x) = ln

Error!

et g(x) = ln(3) – ln(x).

3. Reprendre les questions 1. a) et 1. b), avec f(x) = ln ( )

x3 et g(x) = 3  ln(x).

.……………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

1) Logarithme d’un produit

► Pour tous réels a et b strictement positifs, on a : ln (ab) = ln (a) + ln (b)

exemple : A = ln 6 + ln 5 + ln

Error!

= ln

Error!

= ln(1) = 0

2) Logarithme d’un inverse, d’un quotient

► Pour tout réel a strictement positif, on a : ln

Error!

= – ln (a)

► Pour tous réels a et b strictement positifs, on a : ln

Error!

= ln (a) – ln (b)

exemple : B = ln(20) – ln(10) = ln

Error!

= ln(2) ; C = ln

Error!

= – ln(3)

3) Logarithme d’une puissance, d’une racine carrée

► Pour tout réel a strictement positif, et pour tout entier relatif n, on a : ln ( )

an = n  ln (a)

► Pour tout réel a strictement positif, on a : ln ( a) =

Error!

 ln (a) = ln

Error!

exemple : D = ln(32) = ln(25) = 5  ln(2) ; E =

Error!

ln(49) = ln(

Error!

) = ln(7)

Applications :

1] Résoudre dans IR l’équation : 2 ln(x) = ln(4), d’inconnue x.

2] Résoudre dans IR l’équation : ln(x + 1) – ln(4) = ln(x), d’inconnue x.

C. Jourdain

Chap. 3 – Mathématiques Terminales S.T.G.

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………

Faire les exercices : n°8 p 185 – n°25, 26 p 186 – n°30, 32, 33 p 187 – n°37 p 187

DM 2 sur feuille en individuel : n°14, 17 p 185 – n°32, 34 p187 – n°39 p 188

III – Fonctions x ln(ax + b)

Activité : En composant avec la fonction ln.

C. Jourdain

Chap. 3 – Mathématiques Terminales S.T.G.

On considère la fonction affine u, définie sur IR par : u(x) = a x + b, où a  0.

1. Dans cette question, a = 1 et b = – 1.

a) Déterminer l’intervalle I des nombres réels tels que u(x) > 0.

b) On désigne par f la fonction composée de u suivie de la fonction ln : f est donc définie sur I par f(x) = ln (u(x)) = ln(x – 1).

Tracer sur l’écran de la calculatrice la courbe C, représentative de la fonction f dans le plan rapporté à un repère.

c) En utilisant le graphique, confronter le sens de variation de f et le signe de a.

2. Reprendre la question 1., successivement avec a = – 1 et b = – 1 ; a = 0,5 et b = 2 ; a = – 0,5 et b = 2 ; a = 2 et b = – 5 ; a = –

2 et b = – 5.

………………………………………………………………………………………………………………………………………

On note u la fonction affine définie sur IR par u(x) = a x + b, où a et b sont des réels, a  0.

► On sait que l’ensemble des réels x tels que u(x) > 0 est l’intervalle I, égal à :

Error!

1 / 7 100%

Définition de la fonction logarithme népérien

Téléchargement

Merci pour votre participation!

Faire une suggestion

Avez-vous trouvé des erreurs dans linterface ou les textes ? Ou savez-vous comment améliorer linterface utilisateur de StudyLib ? Nhésitez pas à envoyer vos suggestions. Cest très important pour nous !

GDPR Confidentialité Conditions d'utilisation

Définition de la fonction logarithme népérien

Définition de la fonction logarithme népérien

Documents connexes

Faire une suggestion

Produits

Assistance

Produits

Assistance

Définition de la fonction logarithme népérien

Définition de la fonction logarithme népérien

Documents connexes

Faire une suggestion

Produits

Assistance

Ajouter ce document à la (aux) collections

Ajouter ce document à enregistré

Suggérez-nous comment améliorer StudyLib