Définition de la fonction logarithme népérien

C. Jourdain
Chap. 3 – Mathématiques Terminales S.T.G.
Fonction logarithme Népérien
I – Définition de la fonction logarithme népérien
Activité : A la découverte d’une nouvelle fonction de référence.
1. Repérer la touche
sur votre calculatrice ; elle correspond à la fonction « logarithme népérien », notée ln. Vérifier, par
exemple, que ln(12)  2,485.
2. a) Compléter le tableau suivant lorsque c’est possible (résultats arrondis à 10 – 3) :
x
 20
5
 2,4
 1,2
 0,4
0
0,1
0,5
0,9
0,98
1
1,1
2
5
12
104
106
ln(x)
b) Quelle conjecture pouvez-vous faire sur l’ensemble de définition de la fonction ln ?
3. a) Tracer sur l’écran de la calculatrice la courbe C, représentative de la fonction ln dans le plan rapporté à un repère.
b) Confirmer ou affiner la conjecture précédente.
c) On considère les nombres m1 = 0,2 ; m2 = 0,5 ; m3 = 1 ; m4 = 2 ; m5 = 5. Successivement, pour chacune des valeurs de i,
tracer sur l’écran la droite d’équation y =
En déduire que, pour tout i, f ’(mi) =
Error! x, et constater qu’elle est parallèle à la tangente à C au point d’abscisse mi.
Error!. (vous pouvez retrouver une figure animée de cet exercice sur le site)
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C. Jourdain
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1)
Définition
► On admet qu’il existe une unique fonction, appelée logarithme népérien, notée ln, telle que :
 ln est définie et dérivable sur ]0, +[ ;
 pour tout x de ]0, +[, ln’(x) =
Error!
 ln(1) = 0 ;
La fonction ln a pour dérivée la fonction inverse sur ]0, +[,
on dit alors que la fonction ln est une primitive de la fonction inverse sur ]0, +[.
2)
Sens de variation, courbe représentative et signe de la fonction ln.
Puisque, pour tout x de ]0, +[, ln’(x) =
Error! et Error! > 0,
► ln est croissante sur ]0, +[ : ln(a) et ln(b) sont rangés dans le même ordre que a et b.
On en déduit que, pour tout a et appartenant à ]0, +[ :
► ln(a) = ln(b) équivaut à a = b ;
ln(a) > ln(b) équivaut à a > b ;
ln(a) < ln(b) équivaut à a < b ;
En particulier, pour a appartenant à ]0, +[ :
► ln(a) = 0 équivaut à a = 1 ;
ln(a) > 0 équivaut à a > 1 ;
Tableau de variation et signe de la fonction ln :
x
Signe de
ln’(x)
ln(x)
0
1
+
ln(a) < 0 équivaut à a < 1 ;
Courbe représentative de la fonction ln :
+
+
0
–
Signe de
ln(x)
–
+
Applications :
1. Soit f la fonction définie sur ]0, +[ par : f(x) =
Error! + ln(x). Calculer f ’(x).
2. Soit g la fonction définie sur ]0, +[ par : g(x) = x  ln(x). Calculer g ’(x).
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Faire les exercices : n°5 p 185 – n°41, 48, 50 p188
DM 1 sur feuille en individuel : n°44 à 47 – n°51 à 55 p 188
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C. Jourdain
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II – Propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien
Activité : Des propriétés peu banales.
1. a) f et g sont les fonctions définies sur ]0, +[ par f(x) = ln(3x) et g(x) = ln(3) + ln(x).
Tracer sur l’écran de la calculatrice les courbes représentatives de ces fonctions. Que constate-t-on ?
b) Reprendre la question précédente, en remplaçant 3 par 0,5.
2. Reprendre les questions 1. a) et 1. b), avec f(x) = ln
Error! et g(x) = ln(3) – ln(x).
3. Reprendre les questions 1. a) et 1. b), avec f(x) = ln (x3) et g(x) = 3  ln(x).
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1) Logarithme d’un produit
► Pour tous réels a et b strictement positifs, on a :
exemple :
ln (ab) = ln (a) + ln (b)
A = ln 6 + ln 5 + ln Error! = ln Error! = ln(1) = 0
2) Logarithme d’un inverse, d’un quotient
► Pour tout réel a strictement positif, on a :
ln Error! = – ln (a)
► Pour tous réels a et b strictement positifs, on a :
exemple :
ln Error! = ln (a) – ln (b)
B = ln(20) – ln(10) = ln Error! = ln(2)
;
C = lnError! = – ln(3)
3) Logarithme d’une puissance, d’une racine carrée
► Pour tout réel a strictement positif, et pour tout entier relatif n, on a :
ln (an) = n  ln (a)
► Pour tout réel a strictement positif, on a : ln ( a) = Error!  ln (a) = ln Error!
exemple :
D = ln(32) = ln(25) = 5  ln(2) ;
E = Error! ln(49) = ln(Error!) = ln(7)
Applications :
1] Résoudre dans IR l’équation : 2 ln(x) = ln(4), d’inconnue x.
2] Résoudre dans IR l’équation : ln(x + 1) – ln(4) = ln(x), d’inconnue x.
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C. Jourdain
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Faire les exercices : n°8 p 185 – n°25, 26 p 186 – n°30, 32, 33 p 187 – n°37 p 187
DM 2 sur feuille en individuel : n°14, 17 p 185 – n°32, 34 p187 – n°39 p 188
III – Fonctions x
ln(ax + b)
Activité : En composant avec la fonction ln.
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C. Jourdain
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On considère la fonction affine u, définie sur IR par : u(x) = a x + b, où a  0.
1. Dans cette question, a = 1 et b = – 1.
a) Déterminer l’intervalle I des nombres réels tels que u(x) > 0.
b) On désigne par f la fonction composée de u suivie de la fonction ln : f est donc définie sur I par f(x) = ln (u(x)) = ln(x – 1).
Tracer sur l’écran de la calculatrice la courbe C, représentative de la fonction f dans le plan rapporté à un repère.
c) En utilisant le graphique, confronter le sens de variation de f et le signe de a.
2. Reprendre la question 1., successivement avec a = – 1 et b = – 1 ; a = 0,5 et b = 2 ; a = – 0,5 et b = 2 ; a = 2 et b = – 5 ; a = –
2 et b = – 5.
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On note u la fonction affine définie sur IR par u(x) = a x + b, où a et b sont des réels, a  0.
► On sait que l’ensemble des réels x tels que u(x) > 0 est l’intervalle I, égal à :
Error!
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C. Jourdain
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On désigne par f la fonction composée de u suivie de la
x
fonction ln : f est définie sur I par f(x) = ln(a x + b).
u
ax+b
ln
ln(a x + b)
f
1) Dérivée de la fonction f : x
ln(a x + b)
Puisque u est dérivable sur I et ln es dérivable sur ]0, +[ , d’après le théorème de dérivation d’une fonction composée, la
fonction f est dérivable sur I et, pour tout x de I, f ’(x) = ln’(u(x))  u’(x).
Or, ln’(u(x)) =
Error! = Error! et u’(x) = a, on a :
► La fonction f : x
exemple :
ln(a x + b) est dérivable sur I et, pour tout x de I, f ’(x) =
Error!
Calculer la dérivée de f(x) = ln(2x – 6)
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2) Sens de variation de la fonction f : x
ln(a x + b)
Pour tout x de I, a x + b > 0 par définition, et f ’(x) = Error! ; le signe de f ’(x) est donc le même que celui de a.
Le sens de variation d’une fonction étant déterminé par le signe de sa dérivée, on a :
► La fonction x
ln(a x + b) est : { strictement croissante sur I lorsque a > 0 ;strictement décroissante sur I lorsque a < 0
Applications :
1] Soit f la fonction définie sur
Error! par f(x) = ln(– 3x + 4).
Etudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variation.
2] Soit g la fonction définie sur
Error! par g(x) = ln(4x – 3).
Etudier le sens de variation de g et dresser son tableau de variation.
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Faire les exercices : n° 74 p 189 – n°75, 86, 90 p 190
DM 3 sur feuille et sur Excel en individuel : n°91 p 191 – n°99 p 193
DM 4 sur feuille en individuel : n°113 p 196
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