Fonction logarithme TES 1 , on recherche une fonction F qui, x lorsqu’on la dérive, donne f x une telle fonction est appelée primitive de f, c’est-à-dire que F’ = f. Soit f la fonction définie sur ] 0 ; + [ par : f (x) = la fonction logarithme népérien, notée ln , 1 est l’unique primitive de la fonction x définie sur ] 0 ; + [ et qui s’annule en 1 . x Conséquences directes: ln 1 = 0 La fonction logarithme népérien est dérivable sur ] 0 ; + [ et pour tout x > 0 , ln’(x) = 1 x si a et b sont deux réels strictement positifs alors ln(a.b) = ln(a) + ln(b) Remarque : Cette propriété se généralise au cas d’un produit de trois, quatre, … facteurs, ln(a1×a2× … ×an) = ln(a1) + ln (a2) + … + ln(an) cette propriété sert dans les deux sens. Par exemple : ln(6) = ln(3×2) = ln(3) + ln(2) ou pour simplifier certaines expressions : ln(x + 1) + ln(2x + 1) = ln((x + 1).(2.x + 1)) = ln(2x2 + 3x +1) Si a et b sont deux réels strictement positifs et n est un entier alors : ln Error! = – ln(a) ln Error! = ln(a) – ln(b) ln(an) = n ln(a) ln( a) = Error! ln(a) En résumé, le logarithme népérien a la particularité de transformer les produits en sommes , les quotients en différences et les puissances en multiplications. Démonstrations : On a : a Error! = 1 , alors : ln Error! = ln (1) d’où ln (a) + ln Error! = 0 donc On peut écrire : ln Error! = ln Error! = ln (a) + ln Error! = ln (a) – ln (b) Soit n un entier positif.Error! ln (an) = ln(aa … a) = ln (a) + ln (a) + … + ln(a) = n ln (a) Lorsque a est un réel strictement positif, on a ainsi : ln a a ln a d’où 2ln ln Error! = – ln (a) a× a = a. a ln a donc ln a 12 ln a Exemples: Simplifier chacune des expressions suivantes : A = ln(24) B = ln( 72) C = ln(x + 3) – ln(2x + 1) D = ln (8) + ln (10) + lnError! E = ln (3x) – ln (3) F = ln Error! + ln Error! – ln Error! –3 G = ln (7 )+ 2 ln (49) H = 4 ln (25) – 2 ln 5 a) Variations 1 et qu’elle est définie sur +* , la dérivée est x positive, et la fonction est donc croissante sur cet intervalle d’où le tableau de variations suivant : Sachant que la dérivée de la fonction logarithme est x ln’(x) ln (x) + 0 + + – et la courbe de x ln x Pour tous réels a et b strictement positifs : ln a > ln b équivaut à a > b ln a = ln b équivaut à a = b Conséquences : Pour tout réel x strictement positif : ln x = 0 équivaut à x = 1 ln x < 0 équivaut à 0 < x < 1 ln x > 0 équivaut à x > 1 b) Limites les limites suivantes sont à connaître : lim ln x = + x + lim ln x = – x 0 lim x + ln x =0 x Conséquence : l’axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe représentant ln . Exemples : Etudier la limite en + de chacune des fonctions suivantes. a) Pour tout réel x > 3 , f (x) = ln(x² – 3x + 1). b) Pour tous réels x > – Error! , g(x) = ln(x + 3) – ln(2x + 1). TES Fonction ln(u) Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I alors : ln (u) est dérivable sur l'intervalle I et (ln u)’ = Error! Exemples : f est la fonction définie sur par f(x) = ln(x² + 1) le polynôme u définie par u(x) = x² + 1 est strictement positif et dérivable sur 2x donc f est dérivable sur et f ’(x) = 2 x 1 La fonction g : x ln(2x – 1) est définie pour 2x – 1 > 0, c’est à dire pour x > Error! 2 1 ; , g’(x) = alors g est dérivable sur ] Error! ; + [, et pour tout x 2x 1 2 Equations et inequations , nombre e d’après le tableau de variation de la fonction ln : Pour tout réel m , l’équation ln x = m admet une unique solution dans ] 0 ; + [. En particulier, pour m = 1, la propriété permet d’affirmer qu’il existe un seul réel dans ] 0 ; + [, tel que ln x = 1 , on obtient e 2,718. ce réel est noté e. pour tout entier relatif n , ln(en) = n ln(e) = n . Exemples : Résoudre l’équation : ln(2x – 1) = – 5 avec x > Error! e5 1 cela équivaut à résoudre : ln (2x – 1) = ln (e–5) c’est-à-dire x e , d’où : S = 2 Résoudre l’équation : (ln x)² – 3 ln x – 4 = 0 avec x >0 on pose X = ln x on obtient l’équation X² – 3X – 4 = 0 ; = 25 , les solutions sont : X1 = –1 et X2 = 4 on résout alors les équations : ln x = –1 x = e–1 et ln x = 4 x = e4 d’où : S = e 1 ; e 4 Résoudre l’inéquation : ln(1 – 5x) > 1 avec x < Error! Résoudre l’inéquation : ln(x + 1) 2 avec x > –1 Méthode de résolution d’équations et d’inéquations : ln u(x) = ln v(x) (respectivement une inéquation ln u(x) ln v(x) ) – on détermine les réels x tels que u(x) > 0 et v(x) > 0 (dans ce cas l’équation est bien définie) ; – on résout dans cet ensemble l’équation u(x) = v(x) (respectivement l’inéquation u(x) v(x) ) Pour résoudre une équation Exemples : Résoudre l’équation : ln(2x – 4) = 0 Résoudre l’équation : ln(x² – 4) = ln(3x). Résoudre l’inéquation : ln(x – 10) < 0 Résoudre l’inéquation : ln(2x + 4) ln(6 – 2x) BACCALAUREAT GENERAL SESSION 2005 MATHÉMATIQUES SERIE ES PONDICHERY exercice 3 ( 4 points ) commun à tous les candidats ln x L’objet de cet exercice est de démontrer le résultat suivant : lim 0. x x PARTIE A : ETUDE D’UNE FONCTION On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f ( x) ln x x . 2 x . 2x f sur ]0 ; +∞[ (les limites aux bornes ne sont pas 1. Calculer f ’(x) et montrer que l’on a : f '( x) 2. En déduire le tableau de variation de demandées). 3. Justifier alors que, pour tout x de ]0 ; +∞[, on a : ln x x . PARTIE B : UTILISATION DES THEOREMES DE COMPARAISON 1. Démontrer que, pour tout réel x strictement supérieur à 1, on a : 0 ln x 1 . x x 1 ln x 2. Déterminer lim . . En déduire xlim x x x On rappelle que la dérivée de la fonction x x est x 1 2 x . LOGARITHME DECIMAL La fonction logarithme décimal, notée log, est la fonction définie sur ] 0 ; + [ par : log (x) = Error!. Ainsi log(1) = 0, log(10) = 1. Pour tout entier n, log(10n) = n.