Equations et inequations , nombre e d`après le tableau de variation

Fonction logarithme TES
Soit f la fonction définie sur ] 0 ; + [ par : f (x) =
1
x
, on recherche une fonction F qui,
lorsqu’on la dérive, donne f x une telle fonction est appelée primitive de f, c’est-à-dire que F’ = f.
la fonction logarithme népérien, notée ln ,
est l’unique primitive de la fonction x 
1
x
définie sur ] 0 ; + [ et qui s’annule en 1 .
Conséquences directes:
 ln 1 = 0
 La fonction logarithme népérien est dérivable sur ] 0 ; + [ et pour tout x > 0 , ln’(x) =
1
x
si a et b sont deux réels strictement positifs alors ln(a.b) = ln(a) + ln(b)
Remarque : Cette propriété se généralise au cas d’un produit de trois, quatre, … facteurs,
ln(a1×a2× … ×an) = ln(a1) + ln (a2) + … + ln(an)
cette propriété sert dans les deux sens. Par exemple : ln(6) = ln(3×2) = ln(3) + ln(2)
ou pour simplifier certaines expressions : ln(x + 1) + ln(2x + 1) = ln((x + 1).(2.x + 1)) = ln(2x2 + 3x +1)
Si a et b sont deux réels strictement positifs et n est un entier alors :
ln
Error!
= – ln(a) ln
Error!
= ln(a) – ln(b)
ln(an) = n ln(a) ln( )a =
Error!
ln(a)
En résumé, le logarithme népérien a la particularité de transformer les produits en sommes ,
les quotients en différences et les puissances en multiplications.
Démonstrations :
 On a : a
Error!
= 1 , alors : ln
Error!
= ln (1) d’où ln (a) + ln
Error!
= 0 donc ln
Error!
= – ln (a)
 On peut écrire : ln
Error!
= ln
Error!
= ln (a) + ln
Error!
= ln (a) – ln (b)
 Soit n un entier positif.
Error!
ln (an) = ln(a a … a) = ln (a) + ln (a) + … + ln(a) = n ln (a)
 Lorsque a est un réel strictement positif, on a a× a = a.
ainsi :
ln a a ln a
d’où
2ln a ln a
donc
1
ln a ln a
2
Exemples: Simplifier chacune des expressions suivantes :
A = ln(24) B = ln( ) 72
C = ln(x + 3) – ln(2x + 1) D = ln (8) + ln (10) + ln
Error!
E = ln (3x) – ln (3) F = ln
Error!
+ ln
Error!
– ln
Error!
G = ln ( ) 7–3+ 2 ln (49) H = 4 ln (25) – 2 ln 5
a) Variations
Sachant que la dérivée de la fonction logarithme est
1
x
et qu’elle est définie sur +* , la dérivée est
positive, et la fonction est donc croissante sur cet intervalle d’où le tableau de variations suivant :
x
0 +
ln’(x)
+
ln (x)
+

–
et la courbe de x ln x
Pour tous réels a et b strictement positifs :  ln a > ln b équivaut à a > b
 ln a = ln b équivaut à a = b
Conséquences :
Pour tout réel x strictement positif :  ln x = 0 équivaut à x = 1
 ln x < 0 équivaut à 0 < x < 1
 ln x > 0 équivaut à x > 1
b) Limites les limites suivantes sont à connaître :
x+
lim
ln x = + 
x0
lim
ln x = –  
x+
ln x
lim x
= 0
Conséquence : l’axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe représentant ln .
Exemples : Etudier la limite en + de chacune des fonctions suivantes.
a) Pour tout réel x > 3 , f (x) = ln(x² – 3x + 1).
b) Pour tous réels x > –
Error!
, g(x) = ln(x + 3) – ln(2x + 1).

TES
Fonction ln(u)
Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I
alors : ln (u) est dérivable sur l'intervalle I et (ln u)’ =
Error!
Exemples :
 f est la fonction définie sur  par f(x) = ln(x² + 1)
le polynôme u définie par u(x) = x² + 1 est strictement positif et dérivable sur 
donc f est dérivable sur  et f ’(x) =
2
2x
x1
 La fonction g : x  ln(2x – 1) est définie pour 2x – 1 > 0, c’est à dire pour x >
Error!
alors g est dérivable sur ]
Error!
; + [, et pour tout x
1
;
2
, g’(x) =
2
2x 1
Equations et inequations , nombre e d’après le tableau de variation de la fonction ln :
Pour tout réel m , l’équation ln x = m admet une unique solution dans ] 0 ; + [.
En particulier, pour m = 1, la propriété permet d’affirmer
qu’il existe un seul réel dans ] 0 ; + [, tel que ln x = 1 , ce réel est noté e.
on obtient e 2,718.
pour tout entier relatif n , ln(en) = n ln(e) = n .
Exemples :  Résoudre l’équation : ln(2x – 1) = – 5 avec x >
Error!
cela équivaut à résoudre : ln (2x – 1) = ln (e–5) c’est-à-dire x    e , d’où : S =
5
e1
2
 Résoudre l’équation : (ln x)² – 3 ln x – 4 = 0 avec x >0 on pose X = ln x
on obtient l’équation X² – 3X – 4 = 0 ;  = 25 , les solutions sont : X1 = –1 et X2 = 4
on résout alors les équations : ln x = –1 x = e–1 et ln x = 4 x = e4 d’où : S =
1 4
e ; e
 Résoudre l’inéquation : ln(1 – 5x) > 1 avec x <
Error!
 Résoudre l’inéquation : ln(x + 1)  2 avec x > –1
Méthode de résolution d’équations et d’inéquations :
Pour résoudre une équation ln u(x) = ln v(x) (respectivement une inéquation ln u(x)  ln v(x) )
– on détermine les réels x tels que u(x) > 0 et v(x) > 0 (dans ce cas l’équation est bien définie) ;
– on résout dans cet ensemble l’équation u(x) = v(x) (respectivement l’inéquation u(x)  v(x) )
Exemples :
 Résoudre l’équation : ln(2x – 4) = 0  Résoudre l’inéquation : ln(x – 10) < 0
 Résoudre l’équation : ln(x² – 4) = ln(3x).  Résoudre l’inéquation : ln(2x + 4)  ln(6 – 2x)

BACCALAUREAT GENERAL SESSION 2005 MATHÉMATIQUES SERIE ES
PONDICHERY
exercice 3 ( 4 points ) commun à tous les candidats
L’objet de cet exercice est de démontrer le résultat suivant :
ln
lim 0
x
x
x
.
PARTIE A : ETUDE D’UNE FONCTION
On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par
( ) lnf x x x
.
1. Calculer f ’(x) et montrer que l’on a :
2
'( ) 2x fx x
.
2. En déduire le tableau de variation de f sur ]0 ; +∞[ (les limites aux bornes ne sont pas
demandées).
3. Justifier alors que, pour tout x de ]0 ; +∞[, on a :
ln xx
.
PARTIE B : UTILISATION DES THEOREMES DE COMPARAISON
1. Démontrer que, pour tout réel x strictement supérieur à 1, on a :
ln 1
0x
xx
.
2. Déterminer
1
lim
xx
. En déduire
ln
lim
x
x
x
.
On rappelle que la dérivée de la fonction
xx
est
1
2
xx
.
LOGARITHME DECIMAL
La fonction logarithme décimal, notée log, est la fonction définie sur ] 0 ; + [ par :
log (x) =
Error!
.
Ainsi log(1) = 0, log(10) = 1.
Pour tout entier n, log(10n) = n.