Equations et inequations , nombre e d`après le tableau de variation

Fonction logarithme
TES
1
, on recherche une fonction F qui,
x
lorsqu’on la dérive, donne f x une telle fonction est appelée primitive de f, c’est-à-dire que F’ = f.
Soit f la fonction définie sur ] 0 ; + [ par : f (x) =
la fonction logarithme népérien, notée ln ,
1
est l’unique primitive de la fonction x  définie sur ] 0 ; + [ et qui s’annule en 1 .
x
Conséquences directes:
 ln 1 = 0
 La fonction logarithme népérien est dérivable sur ] 0 ; + [ et pour tout x > 0 , ln’(x) =
1
x
si a et b sont deux réels strictement positifs alors ln(a.b) = ln(a) + ln(b)
Remarque : Cette propriété se généralise au cas d’un produit de trois, quatre, … facteurs,
ln(a1×a2× … ×an) = ln(a1) + ln (a2) + … + ln(an)
cette propriété sert dans les deux sens. Par exemple : ln(6) = ln(3×2) = ln(3) + ln(2)
ou pour simplifier certaines expressions : ln(x + 1) + ln(2x + 1) = ln((x + 1).(2.x + 1)) = ln(2x2
+ 3x +1)
Si a et b sont deux réels strictement positifs et n est un entier alors :
ln Error! = – ln(a)
ln Error! = ln(a) – ln(b)
ln(an) = n  ln(a)
ln( a) = Error! ln(a)
En résumé, le logarithme népérien a la particularité de transformer les produits en sommes ,
les quotients en différences et les puissances en multiplications.
Démonstrations :
 On a : a  Error! = 1 , alors : ln Error! = ln (1) d’où ln (a) + ln Error! = 0 donc
 On peut écrire : ln Error! = ln Error! = ln (a) + ln Error! = ln (a) – ln (b)
 Soit n un entier positif.Error!
ln (an) = ln(aa … a) = ln (a) + ln (a) + … + ln(a) = n  ln (a)

Lorsque a est un réel strictement positif, on a
ainsi : ln


a  a  ln  a  d’où 2ln
ln Error! = – ln (a)
a× a = a.
 a   ln a 
donc
ln
 a   12 ln  a 
Exemples: Simplifier chacune des expressions suivantes :
A = ln(24)
B = ln( 72)
C = ln(x + 3) – ln(2x + 1)
D = ln (8) + ln (10) + lnError!
E = ln (3x) – ln (3)
F = ln Error! + ln Error! – ln Error!
–3
G = ln (7 )+ 2 ln (49)
H = 4 ln (25) – 2 ln 5
a) Variations
1
et qu’elle est définie sur +* , la dérivée est
x
positive, et la fonction est donc croissante sur cet intervalle d’où le tableau de variations suivant :
Sachant que la dérivée de la fonction logarithme est
x
ln’(x)
ln (x)
+
0
+
+
–
et la courbe de x ln x
Pour tous réels a et b strictement positifs :  ln a > ln b équivaut à a > b
 ln a = ln b équivaut à a = b
Conséquences :
Pour tout réel x strictement positif :
 ln x = 0 équivaut à x = 1
 ln x < 0 équivaut à 0 < x < 1
 ln x > 0 équivaut à x > 1
b) Limites les limites suivantes sont à connaître :
 lim ln x = +
x + 
 lim ln x = – 
x 0
 lim
x + 
ln x
=0
x
Conséquence : l’axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe représentant ln .
Exemples :
Etudier la limite en + de chacune des fonctions suivantes.
a) Pour tout réel x > 3 , f (x) = ln(x² – 3x + 1).
b) Pour tous réels x > – Error! , g(x) = ln(x + 3) – ln(2x + 1).
TES
Fonction ln(u)
Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I
alors :
ln (u) est dérivable sur l'intervalle I et (ln u)’ = Error!
Exemples :
 f est la fonction définie sur  par f(x) = ln(x² + 1)
le polynôme u définie par u(x) = x² + 1 est strictement positif et dérivable sur 
2x
donc f est dérivable sur  et f ’(x) = 2
x 1
 La fonction g : x  ln(2x – 1) est définie pour 2x – 1 > 0, c’est à dire pour x > Error!
2
 1

;    , g’(x) =
alors g est dérivable sur ] Error! ; + [, et pour tout x 
2x  1
 2

Equations et inequations , nombre e d’après le tableau de variation de la fonction ln :
Pour tout réel m , l’équation ln x = m admet une unique solution dans ] 0 ; + [.
En particulier, pour m = 1, la propriété permet d’affirmer
qu’il existe un seul réel dans ] 0 ; + [, tel que ln x = 1 ,
on obtient e 2,718.
ce réel est noté e.
pour tout entier relatif n , ln(en) = n ln(e) = n .
Exemples :  Résoudre l’équation : ln(2x – 1) = – 5 avec x > Error!
 e5  1 

cela équivaut à résoudre : ln (2x – 1) = ln (e–5) c’est-à-dire x    e , d’où : S = 

 2 
 Résoudre l’équation : (ln x)² – 3 ln x – 4 = 0 avec x >0 on pose X = ln x
on obtient l’équation X² – 3X – 4 = 0 ;  = 25 , les solutions sont : X1 = –1 et X2 = 4
on résout alors les équations : ln x = –1  x = e–1 et
ln x = 4  x = e4 d’où : S = e 1 ; e  4 


Résoudre l’inéquation : ln(1 – 5x) > 1 avec x < Error!
Résoudre l’inéquation : ln(x + 1)  2 avec x > –1
Méthode de résolution d’équations et d’inéquations :
ln u(x) = ln v(x)
(respectivement une inéquation ln u(x)  ln v(x) )
– on détermine les réels x tels que u(x) > 0 et v(x) > 0 (dans ce cas l’équation est bien définie) ;
– on résout dans cet ensemble l’équation u(x) = v(x) (respectivement l’inéquation u(x)  v(x) )
Pour résoudre une équation
Exemples :
 Résoudre l’équation : ln(2x – 4) = 0
 Résoudre l’équation : ln(x² – 4) = ln(3x).


Résoudre l’inéquation : ln(x – 10) < 0
Résoudre l’inéquation : ln(2x + 4)  ln(6 – 2x)
BACCALAUREAT GENERAL SESSION 2005 MATHÉMATIQUES SERIE ES
PONDICHERY
exercice 3
( 4 points )
commun à tous les candidats
 ln x 
L’objet de cet exercice est de démontrer le résultat suivant : lim 
0.
x 
 x 
PARTIE A
: ETUDE D’UNE FONCTION
On considère la fonction f définie sur ]0 ; +∞[ par f ( x)  ln x  x .
2 x
.
2x
f sur ]0 ; +∞[ (les limites aux bornes ne sont pas
1. Calculer f ’(x) et montrer que l’on a : f '( x) 
2. En déduire le tableau de variation de
demandées).
3. Justifier alors que, pour tout x de ]0 ; +∞[, on a : ln x  x .
PARTIE B
: UTILISATION DES THEOREMES DE COMPARAISON
1. Démontrer que, pour tout réel x strictement supérieur à 1, on a : 0 
ln x
1
.

x
x
 1 
 ln x 
2. Déterminer lim 

.
 . En déduire xlim

x 
 x 
 x
On rappelle que la dérivée de la fonction
x  x est x 
1
2 x
.
LOGARITHME DECIMAL
La fonction logarithme décimal, notée log, est la fonction définie sur ] 0 ; + [ par :
log (x) = Error!.
Ainsi log(1) = 0, log(10) = 1.
Pour tout entier n, log(10n) = n.