Comportement asymptotique

Comportement asymptotique.
A. Limites.
A.1. Limites des fonctions de référence.
fonction carré
fonction cube
fonction racine carrée
2
lim
xx
3
lim
xx
0
0
lim 0 0
x
x
x
2
lim
xx
3
lim
xx
lim
xx
fonctions inverses
1
lim 0
xx
et
1
lim 0
xx
2
1
lim 0
xx
et
2
1
lim 0
xx
0
0
1
lim
x
xx
et
0
0
1
lim
x
xx
2
0
0
1
lim
x
xx
et
2
0
0
1
lim
x
xx

A retenir : n est un nombre entier strictement positif.
● Soit la fonction x 
Error!
définie sur ]0 ; + [ :
Error!
Error!
= + .
x > 0
● Soit la fonction x 
Error!
définie sur ]– [ :
● si n est pair lim;x  0
Error!
= +  (comme pour x 
Error!
)
x < 0
● si n est impaire lim;x  0
Error!
= –  (comme pour x 
Error!
)
x < 0
A.2. Fonctions continues et limite.

Une fonction définie sur un intervalle est continue sur cet intervalle lorsque sa courbe se
trace d’un « trait continu ».
Exemples.
● Les
fonction
s
}
f : x  x2 ;g : x  x + 5 ;h : x  x3 + 3x2 – x + 3
comme
toutes les
fonctions
polynôme
s sont des
fonctions
continues
sur IR
● Plus généralement toutes les fonctions dérivables sur un intervalle sont continues sur cet
intervalle.
Théorème fondamental.
f étant une fonction continue, on admet que lorsque x se rapproche de a alors le point M(x,
f(x)) se rapproche du point A(a ; f(a)) en suivant la courbe et que f(x) se rapproche de f(a).
Autrement dit : lorsque x tend vers a, alors f(x) tend vers f(a).
On écrira lim;x  a f(x) = f(a)
On lira : la limite de f(x) est égale à f(a) lorsque x tend vers a.
On a donc :
Soit f : x  x2, on a : lim;x  3x2 = lim;x  3f(x) = f(3) = 32 = 9 ;
Soit g : x  x + 5, on a : lim;x – 4x + 5 = lim;x – 4g(x) = g(– 4) = – 4 + 5 = 1.
lim;x  2x3 + 3x2 – x + 3 = lim;x  2h(x) = h(2) = 23 + 3 × 22 – 2 + 3 = 8 + 12 – 2 +
3 = 21.

A retenir : n est un nombre entier strictement positif : lim;x  0 xn = 0n = 0
Remarque : Dans tous les cas f étant une fonction définie et dérivable sur un intervalle I
et a étant un élément de I ou une borne de I (ne faisant pas forcément parti de I si
l’intervalle est ouvert) on a :
lim;x  a f(x) = lim;h  0 f(a + h)
Exemples 1. Reprendre les calculs précédents pour f et g en effectuant le changement de
variable adéquat ;
Exemple 2. Soit la fonction f définie sur ] –  ; 2[ par f(x) =
Error!
Calculer lim;x  2 f(x) en posant x = 2 + h avec h < 0 et en calculant lim;h  0 f(2 + h)
x < 2 h < 0
B. Opérations sur les limites.
α désigne un nombre réel ou alors – ∞ ou + ∞.
L et L’ désignent des nombres réels (donc finis).
B.1. Limite d’une somme.
somme
si
lim ( )
xfx
L
L
L
et
lim ( )
xgx
L’
alors
lim( )( )
xf g x
L + L’
?
Exemples.
● lim;x  +  ( )
x + x2 = + ∞ car lim;x  + x = + ∞ et lim;x  + x2 = + ∞.
● lim;x  –  (x2 – x) = + ∞ car lim;x  – x2 = + ∞ et lim;x  – – x = + ∞.
● Dans les cas où les théorèmes généraux ne permettent pas de conclure directement, il
faudra faire une étude particulière. Nous verrons comment plus tard.
Exercice d’application : Indiquer la limite en + ∞ de la fonction f : x  Error! + 2 et de
la fonction g : x  Error! + Error! – 10.

B.2. Limite d’un produit.
produit
si
lim ( )
xfx
L
L non nul
0
ou
et
lim ( )
xgx
L’
ou
ou
ou
alors
lim( )( )
xf g x
'LL
selon la règle
des signes
?
selon la règle
des signes
Conséquences.
● lim;x  + xn = + ∞ ; lim;x  – xn = + ∞ si n est pair ; lim;x  –  xn = – ∞ si n
est impair
● lim;x  + 
Error!
= 0 et
Error!
Error!
= 0 , k étant un nombre réel.
● lim;x  + (axn) = + ∞ si a > 0 et lim;x  + (axn) = – ∞ si a < 0.
Exemples.
● lim;x  0 (x + 1) x = 0 car lim;x  0 (x + 1) = 1 et lim;x  0 x = 0
● lim;x  + (– 3x2) = – ∞
● lim;x  +  (x2 – x) = lim;x  + x2
Error!
= + ∞ car
Error!
x2 = + ∞ et
Error!Error!
= 1
Exercice d’application. Déterminer les limites suivantes :
lim;x  0+
Error!
;
Error!Error!
(3 – x2) et
Error!
– 4 x2(– x2 + 1)