Comportement asymptotique

Comportement asymptotique.
A. Limites.
A.1. Limites des fonctions de référence.
fonction carré
lim x 2   
x
fonction cube
fonction racine carrée
lim x3   
lim x  0  0
x0
x0
x
lim x 2   
lim x3   
x
lim
x
x
x 
fonctions inverses
1
 0 et
x x
lim
1
0
x x
lim
1
1
   et lim   
x0 x
x0 x
x 0
x 0
lim
lim
x
lim
x0
x 0
1
 0 et
x2
lim
x
1
0
x2
1
1
   et lim 2   
2
x0 x
x
x 0
A retenir : n est un nombre entier strictement positif.
● Soit la fonction x  Error! définie sur ]0 ; + [ : Error! Error! = + .
x>0
● Soit la fonction x  Error! définie sur ]– [ :
● si n est pair
lim;
x
0
Error! = +  comme pour x  Error!
(
)
x<0
● si n est impaire
lim;
x
0
x<0
A.2. Fonctions continues et limite.
Error! = –  comme pour x  Error!
(
)
Une fonction définie sur un intervalle est continue sur cet intervalle lorsque sa courbe se
trace d’un « trait continu ».
Exemples.
● Les
fonction f : x  x2
s
;g : x  x + 5
comme
toutes les
fonctions
polynôme
;h : x  x3 + 3x2 – x + 3}
s sont des
fonctions
continues
sur IR
● Plus généralement toutes les fonctions dérivables sur un intervalle sont continues sur cet
intervalle.
Théorème fondamental.
f étant une fonction continue, on admet que lorsque x se rapproche de a alors le point M(x,
f(x)) se rapproche du point A(a ; f(a)) en suivant la courbe et que f(x) se rapproche de f(a).
Autrement dit : lorsque x tend vers a, alors f(x) tend vers f(a).
On écrira lim;
xa
f(x) = f(a)
On lira : la limite de f(x) est égale à f(a) lorsque x tend vers a.
On a donc :
Soit f : x  x2, on a : lim;
x2 = lim;
f(x) = f(3) = 32 = 9 ;
x3
x3
Soit g : x  x + 5, on a : lim;
lim;
3 = 21.
x + 5 = lim;
g(x) = g(– 4) = – 4 + 5 = 1.
x – 4
x – 4
x3 + 3x2 – x + 3 = lim;
h(x) = h(2) = 23 + 3 × 22 – 2 + 3 = 8 + 12 – 2 +
x2
x2
xn = 0n = 0
A retenir : n est un nombre entier strictement positif : lim;
x0
Remarque : Dans tous les cas f étant une fonction définie et dérivable sur un intervalle I
et a étant un élément de I ou une borne de I (ne faisant pas forcément parti de I si
l’intervalle est ouvert) on a :
lim;
xa
f(x) = lim;
h0
f(a + h)
Exemples 1. Reprendre les calculs précédents pour f et g en effectuant le changement de
variable adéquat ;
Exemple 2. Soit la fonction f définie sur ] –  ; 2[ par f(x) = Error!
Calculer lim;
f(x) en posant x = 2 + h avec h < 0 et en calculant lim;
f(2 + h)
x2
h0
x<2
h<0
B. Opérations sur les limites.
α désigne un nombre réel ou alors – ∞ ou + ∞.
L et L’ désignent des nombres réels (donc finis).
somme
B.1. Limite d’une somme.
si lim f ( x) 
L
L
L



et lim g ( x) 
L’





alors lim( f  g )( x) 
L + L’




?
x
x
x
Exemples.
● lim;
x+
● lim;
x–
(
x + x2) = + ∞ car lim;
(x2 – x) = + ∞ car lim;
x+
x = + ∞ et lim;
x2 = + ∞.
x+
x2 = + ∞ et lim;
– x = + ∞.
x–
x–
● Dans les cas où les théorèmes généraux ne permettent pas de conclure directement, il
faudra faire une étude particulière. Nous verrons comment plus tard.
Exercice d’application : Indiquer la limite en + ∞ de la fonction f : x  Error! + 2 et de
la fonction g : x  Error! + Error! – 10.
B.2. Limite d’un produit.
si lim f ( x) 
L
L non nul
0
  ou  
et lim g ( x) 
L’
  ou  
  ou  
  ou  
alors lim( f  g )( x) 
L  L'
produit
x
x
x

selon la règle
des signes

?
selon la règle
des signes
Conséquences.
● lim;
xn = + ∞ ; lim;
xn = + ∞ si n est pair ; lim;
xn = – ∞ si n
x+
x–
x–
est impair
● lim;
● lim;
x+
Error! = 0 et Error! Error! = 0 , k étant un nombre réel.
(axn) = + ∞ si a > 0
x+
et lim;
(axn) = – ∞ si a < 0.
x+
Exemples.
● lim;
x0
(x + 1) x = 0 car lim;
x0
(x + 1) = 1 et lim;
x0
x=0
● lim;
(– 3x2) = – ∞
x+
● lim;
(x2 – x) = lim;
x2 Error! = + ∞ car Error!x2 = + ∞ et Error!Error! = 1
x+
x+
Exercice d’application. Déterminer les limites suivantes :
2
lim;
+Error! ; Error!Error!(3 – x ) et
x0
Error!– 4 x2(– x2 + 1)
B.3. limite d’un quotient.
si lim f ( x) 
L
L0
L

0

et lim g ( x) 
L'  0
0

L’
0

f 
alors lim   ( x) 
x g
 
L
L'
selon la règle
des signes
?
?
quotient
x
x

0

selon la règle
des signes
Exemples.
● lim;
x+
● lim;
x3
Error!
● Error! Error!.
● Error! Error! .
Error!
C. asymptotes.
nature de l’asymptote
Asymptote
« verticale »
d’équation x = c
asymptote
« horizontale »
d’équation y = b
conditions
I  ; c [ ou ] c ;
lim f ( x)    (ou  )
xc
c est une borne finie du domaine
de définition
la limite de f en c est infinie
I ]   ;
ou
;  [
lim f ( x)  b ou lim f ( x)  b
x
x
avec b réel (donc fini)
la limite de f en l’infini est finie
I ]   ;
ou
;  [
lim f ( x)  (ax  b)  0
Asymptote
« oblique »
d’équation y = ax + b
x
ou
lim f ( x)  (ax  b)  0
x
la limite en l’infini de la différence
f ( x)  (ax  b) est nulle
D. Compléments sur les limites.
exemples graphiques
D.1. Limite à l’infini d’une fonction polynôme.
Théorème. La limite à l’infini ( +  ou – ) d’une fonction polynôme est la limite de
son terme de plus haut degré.
Exemples :


lim;
– 
lim;
+ 
x

x
2x3 + 5x2 + 3x − 1 = lim;
x
– 
3x6 − 5x4 − 3x2 + x + 5 = lim;
x
2x3 = – 
– 
3x6 = + .
En effet lorsqu’on met en facteur le terme de plus haut degré, le second facteur tend vers 1 à
l’infini.
D.2. Limite à l’infini d’une fonction rationnelle.
Théorème. La limite à l’infini ( +  ou – ) d’une fonction rationnelle est la limite du
rapport des termes de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.
Exemples :
lim;
– 
lim;
+ 
lim;
+ 
x
x
x
Error! = Error! Error! = Error! 2x = – .
Error! = Error! Error! = Error! Error! = 0+.
Error! = Error! Error! = Error! 2 = 2.
En effet lorsqu’on met en facteur le terme de plus haut degré au numérateur et au
dénominateur les seconds facteurs tendent vers 1 à l’infini.
D.3. Limite d’une fonction composée.
Théorème. Soit u est une fonction définie sur un intervalle I à valeur dans un intervalle J et
v une fonction définie sur J.
Si lim;
x
a
u(x) = b et si lim;
x
b
v(x) = c alors lim;
x
a
(v o u) (x) = c.
a, b et c désignent des nombres réels finis ou +  ou – 
Exemple : Soit f la fonction définie sur  par f(x) = Error!
f est la composée de la fonction affine u : x  x – 3 suivie de la fonction inverse.
Comme lim;
x
 3–
x – 3 = 0– et lim;
x
 0–
Error! = –  on a Error! Error! = – .
D.4. Limites et inégalités.
f, u et v sont trois fonctions définies sur un intervalle I = ]a ; + [.
● Si pour tout réel x de I, f(x) ≥ u(x) et si lim;
x
+ 

● Si pour tout réel x de I, f(x) ≤ u(x) et si lim;
x
– .
+ 
+ 
u(x) = +  alors lim;
x
+ 
f(x) =
x
+ 
f(x) =
x
+ 
u(x) =
u(x) = –  alors lim;
● Si pour tout réel x de I, u(x) ≤ f(x) ≤ v(x) et si lim;
x
+ 
u(x) = lim;
L
alors lim;
x
+ 
f(x) = L. (c’est le fameux théorème des gendarmes).
● Si pour tout réel x de I, | f(x) – L | ≤ u(x) et si lim;
x
+ 
u(x) = 0 alors lim;
x
+ 
f(x) = L.
● Si pour tout réel x de I, f(x) ≤ u(x), si lim;
x
+ 
f(x) = L et si lim;
x
+ 
u(x) = L’
alors L ≤ L’.
Remarque. Bien sur il y a des théorèmes analogues lorsque I = ] –  ; a[ avec x qui tend
vers – .
