nombres complexes

Cours : NOMBRES COMPLEXES Feuille 1/8
N
NO OM MB BR RE ES S C CO OM MP PL LE EX XE ES S
I. Introduction
Dans tout ce chapitre on considère un repère orthonormé direct
,O;uv
II. Définition et opérations
1) Définition Théorème.
a) Théorème admis
A tout point M du plan (ou a tout vecteur
V
ur
) de coordonnées
;xy
on peut associer un nombre appelé nombre
complexe qui s’écrit
z x iy x yi   
où
i21 
.
z
est appelée l’affixe de M ou de
OM
L’ensemble des nombres complexes est noté
£
.
Cet ensemble contient tous les nombres réels (
0y
)
¡£Ì
.
Si
z x iy x yi   
x
est appelé partie réelle de
z
et noté
Re z
;
y
est appelé partie imaginaire
z
et noté
Im z
b) Remarques
1. Si M est sur l’axe des abscisses alors son affixe est réelle. L’axe des abscisses est aussi appelé axe des
réels
2. Si M est sur l’axe des ordonnées alors son affixe est de la forme
z iy
on dit que
z
est un imaginaire pur.
L’ensemble des imaginaires purs est noté
i
et l’axe des ordonnées est appelé axe des imaginaires.
Les coordonnées d’un point sont uniques donc
' ' ' 'et z x iy x iy x x y y      
. Autrement dit deux
nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et imaginaire.
2) Opérations
a) Addition
Si
z a bi 
,
z a b i' ' ' 
alors
' ' 'z z a a b b i    
b) Multiplication
Si
z a bi 
,
z a b i' ' ' 
alors
' ' ' ' 'zz aa bb ab ba i   
Toutes les règles de calculs sur les nombres réels sont conservées pour les nombres complexes
c) Exercice
Soient
z i 2 3
et
z i' 1 2
. Calculer
2 3z z'
;
zz'
;
z2
;
2 3 1 z z'
3) . Conséquences géométriques immédiates
a) Propriétés
Soient A d'affixe
zA
et B d'affixe
zB
alors
1) l’affixe de
AB
est
BA
zz
2) l’affixe du barycentre G de (A,α),(B,ß) est
AB
zz
(en particulier l’affixe du milieu de [AB] est
2
AB
zz
)
3) Le point C d’affixe
AB
zz
est tel que OABC soit un parallélogramme.
Preuve
1)
AB OB OA
donc l’affixe de
AB
est
BA
zz
.
2) G barycentre de (A,α),(B,ß) donc
OA OB
OG OA OB
a b a b
a b a b a b
+
= = +
+ + +
uuur uuur
uuur uuur uuur
ainsi
zz
z z z AB
G A B ab
ab
a b a b a b
+
= + =
+ + +
3)
OC
a pour affixe
z z
A B
or le vecteur
OA
+
OB
a pour affixe
z z
A B
donc
OA
OB
=
OC
.
b) Exercices

Cours : NOMBRES COMPLEXES Feuille 2/8
Soit A,B et C les points d’affixes respectives
1 2 ; 2 3 ;3 2i i i   
.
1) Déterminer l’affixe du centre de gravité du triangle.
2) Déterminer l’affixe du point D tel que ACBD soit un parallélogramme.
3) Déterminer l’affixe du centre de ce parallélogramme.
III. FORME TRIGONMETRIQUE D’UN NOMBRE COMPLEXE NON NUL.
1) Rappel sur les coordonnées polaires
a) Définition des coordonnées polaires d’un point
On peut repérer le point M, par sa distance au centre et par l’angle qu’il fait
avec l’axe
O;i
. Voir figure ci-contre
Les nombres
OMr
et
;OMi
sont appelés les coordonnées polaires du
point M on note M
;r
.
Si on appelle
;xy
les coordonnées cartésiennes du point M on a les relations
suivantes :
cos
sin
xr
yr
et
2 2 2
cos
sin
x y r
x
r
y
r
b) Exercice 4
1. En utilisant le dessin ci-contre trouver les coordonnées polaires
des points représentés. T ;R ;L ;J ; H ; G ,M
2. On donne les coordonnées polaires des points suivants U
2; 4
;
V
2; 6
;W
2
3; 3
. Donner leurs coordonnées cartésiennes.
3. Déterminer les coordonnées polaires des points :
2; 2A
;
2 3;2B
2) Module et argument
a) Définition
A tout nombre complexe
z
on peut associer un point du plan ; ce point a des
coordonnées polaire
,r
.Par définition
r
est appelé module de
z
et noté
z
et
argument de
z
et noté
arg z
.
Ainsi
OM OMz
et
arg ;OMzu
b) Exercice
Trouver le module et l’argument des nombres complexes suivants :
31
5; 3 ;1 ; 22 ii   

Cours : NOMBRES COMPLEXES Feuille 3/8
3) Propriété du module
1)
z z  0 0
2) Soit
k
;
kz k z
en particulier
zz
3)
''z z z z  
Preuve
1)
0 0 0OM O Mzz      
2) Si
z
est l’affixe de
OM
alors
kz
est l’affixe de
kOM
donc
OM OMkz k k k z  
.
3) Si
z
est l’affixe de
OM
et
'z
est l’affixe de
OM'
alors
'zz
est l’affixe de
OM OM'
donc
'OM OM' OM OM'zz    
(inégalité triangulaire) ainsi
''z z z z  
4) Ecriture d'un complexe sous forme trigonométrique.
a) Théorème
Tout nombre complexe s’écrit sous la forme
cos sinz r i
où
rz
et
arg z
.
Preuve
On a
z x iy
où
,xy
sont les coordonnées de M mais on sait que
cosxr q=
et
sinyrq
donc
cos sin cos sinz r ir r i
b) Exemple :
Pour trouver la forme trigonométrique, on travaille géométriquement : On place le point, on cherche ses
coordonnées polaires et on a directement la forme trigonométrique.
Ecrire les nombres suivant sous forme trigonométrique :
3; 2 2 ; 2 cos sin ; 4
55
ii
pp
æö
÷
ç
- - + - - -
÷
ç÷
÷
ç
èø
5) Notation exponentielle d'un nombre complexe
a) Explications
On considère la fonction
: cos sinf t t i t
, c’est une fonction d’un type nouveau car elle arrive dans , on
n’étudie pas ces fonctions en terminale mais pour comprendre la notation proposée on peut réfléchir à la
définition de la dérivée de cette fonction :
Il est logique de penser que
': sin cosf t t i t
et on remarque qu’alors on a
'( ) ( )f t if t
en effet
( ) cos sin cos sin '( )if t i t i t i t t f t    
mais alors
f
est la solution d’une équation différentielle du type
'y ay
mais attention avec
k
, on admet que les solutions sont les mêmes que si
k
donc on admet que
() it f t Ce
, on calcule
C
en utilisant
0
(0) cos0 sin0 1
i
f Ce C i
donc on note
( ) cos sin it f t t i t e  
b) Notation
Soit
z
un nombre complexe de module
r
et d’argument , on a
 sincos irz
on note
i rez
Il s'agit
simplement d'une notation
c) Exemple
24
2 2 ; 3 3 ; 1 2
ii
i
e i e i e
c) Remarque:
2 nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même module et même argument. (mais l'argument
d'un nombre complexe est une mesure d'angle donc il est défini à 2 près)
( )
'
'2
ii rr
z re r e k
ab
a b p
ì=
ï
ï
= = Û í
ï=+
ï
î

Cours : NOMBRES COMPLEXES Feuille 4/8
IV. Inverse d’un nombre complexe-. Complexe conjugué
1) Introduction
Soit
z a bi 
,
z0
, ce nombre admet-il un inverse
1
z
et si oui comment l’écrire sous la forme
1x iy
z
Faire le lien avec comment écrire
1
32
avec un dénominateur entier. On multiplie par l’expression conjuguée
1 3 2 3 2 3 2
5 5 5
323 2 3 2
On remarque que
22
a bi a bi a b 
donc
1 1
2 2 2 2 2 2
z a bi
abi
abi abi
abi
a b
a
a b
b
a b i ()( )
2) Définition
abi
est appelé complexe conjugué de
abi
.On notera
z
le conjugué de
z
.
Ce complexe conjugué sert à calculer l’inverse d’un complexe.
3) Propriétés géométrique du conjugué:
1. Si
z
est l’affixe d’un point M ;
z
est l’affixe de son symétrique par rapport à l’axe des abscisses.
2.
; arg argz z z z  
donc si
i
z re
alors
i
z re
.
4) Inverse d’un nombre complexe non nul. Division dans C
a) Théorème
Tout nombre complexe non nul admet un inverse et il existe une division dans : Si
,'zz 
alors
1
''
zz
zz
.
Preuve
2 2 2 2
11z a b i
z a bi a b a b
zz
.
b) Exercice
Calculs : 2 (h) – 59 (b,c).
5) Propriétés géométrique du conjugué:
3. Si
z
est l’affixe d’un point M ;
z
est l’affixe de son symétrique par rapport à l’axe des abscisses.
4.
; arg argz z z z  
donc si
i
z re
alors
i
z re
6) Propriétés algébriques du conjugué
1.
22
2Re 2Imz z z z z z zz a b z z      
z z z z i z z      RR
11
' ' ; ; ' ' ; ; ;
''
n
n
Si Si n
zz
z z z z k kz k z z zz zz z z
zz
zz
R
.
Preuve
Faire les calculs pour le 1) et 2)
3)
1)
''zz zz
( ) ( )
' ' ' ' ' ' ' 'z a bi z a b i zz aa bb i ab ba= + = + = - + +
donc
( ) ( )
' ' ' ' 'zz aa bb i ab ba= - - +
et
( ) ( )
' ' ' ' ' ' ' 'z a bi z a b i z z aa bb i ab ba= - = - ´ = - - +
2)
11
zz
2 2 2 2
1 1 1
;;
a bi a bi
z a bi z a bi z
a b a b
et
22
11 a bi
a bi ab
z
3)
''
zz
zz
on a
1 1 1
'''
''
zz
z z z
zzz
zz

Cours : NOMBRES COMPLEXES Feuille 5/8
Exercice
Résolution d’équations : 35 b) - 37 a)- 35 c)
V. Produit, quotient, puissances de nombres complexes écrits sous forme
trigonométriques (ou exponentielle)
1) Produit
Soit
i rez
et
'
''  i erz
.Il s'agit de trouver la forme trigonométrique de
'zz
zz r i r i'cos sin 'cos 'sin      
   rr i' cos cos ' sin sin ' cos sin ' sin cos '       
donc
zz rr i' ' cos ' sin      
donc
zz rr' ' ' ei + 
ainsi on a
''zz z z
et
'argarg'arg zzzz 
2) Inverse:
Soit
i rez
Il s'agit de trouver la forme trigonométrique de
1
z
.
1 1 1 1 1
2 2
zr i i
r i i ririrei
cos( ) sin( ) cos( ) sin( )
cos( ) sin( ) cos( ) sin( )
cos( ) sin( )
cos ( ) sin ( ) cos( ) sin( )
donc
i ie
r
re
11
.
ainsi on a
11
zz
et
z
zarg
1
arg 
3) Quotient:
Soit
i rez
et
'
''  i erz
. Il s'agit de trouver la forme trigonométrique de
z
z'
On rappelle que
z
z
z
z' '
z
zzzre r e re rer re
iii i i
' ' ''
'( ')
1 1 1
donc
)'(
''
'
i
i
ie
r
r
er
re
'argarg
'
arg zz
z
z
4) Puissance:
Soit
i rez
. Il s'agit de trouver la forme trigonométrique de
n
z
avec
Zn
a)
n>0 e e e e
n
n fois
i i i
n fois
nin
z z z z r r r r        
b) n<0 posons
p= n
; p>0 alors
z z z r r r
n p p p ip pip nin
ee e    
1 1
donc
 in
n
irere
et
znznargarg 
5) Exercice
Exercices 25 (i,j) , 28( 4) p 125