nombres complexes

NOMBRES COMPLEXES
I.
Introduction

Dans tout ce chapitre on considère un repère orthonormé direct O ; u , v
II.

Définition et opérations
1) Définition Théorème.
a) Théorème admis
ur
A tout point M du plan (ou a tout vecteur V ) de coordonnées  x ; y  on peut associer un nombre appelé nombre
complexe qui s’écrit z  x  iy  x  yi où i 2  1 . z est appelée l’affixe de M ou de OM
L’ensemble des nombres complexes est noté £ .
Cet ensemble contient tous les nombres réels ( y  0 ) ¡ Ì £ .
Si z  x  iy  x  yi x est appelé partie réelle de z et noté Re  z  ; y est appelé partie imaginaire z et noté
Im  z 
b) Remarques
Si M est sur l’axe des abscisses alors son affixe est réelle. L’axe des abscisses est aussi appelé axe des
réels
2. Si M est sur l’axe des ordonnées alors son affixe est de la forme z  iy on dit que z est un imaginaire pur.
1.
L’ensemble des imaginaires purs est noté i et l’axe des ordonnées est appelé axe des imaginaires.
Les coordonnées d’un point sont uniques donc z  x  iy  x ' iy '  x  x ' et y  y ' . Autrement dit deux
nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et imaginaire.
2) Opérations
a) Addition
Si z  a  bi , z'  a'b' i alors z  z '   a  a '  b  b ' i
b) Multiplication
Si z  a  bi , z'  a'b' i alors zz '   aa ' bb '   ab ' ba ' i
Toutes les règles de calculs sur les nombres réels sont conservées pour les nombres complexes
c) Exercice
Soient z  2  3i et z'  1  2i . Calculer 2z  3z' ; zz' ; z 2 ;  2  z 3z'1
3) . Conséquences géométriques immédiates
a) Propriétés
Soient A d'affixe z A et B d'affixe zB alors
1) l’affixe de AB est zB  zA
2) l’affixe du barycentre G de (A,α),(B,ß) est
 zA   zB

zA  zB
)
2
3) Le point C d’affixe zA  zB est tel que OABC soit un parallélogramme.
(en particulier l’affixe du milieu de [AB] est
Preuve
1)
AB  OB  OA donc l’affixe de AB est zB  zA .
uuur
uuur
uuur a OA + b OB
a uuur
b uuur
=
OA +
OB ainsi
2) G barycentre de (A,α),(B,ß) donc OG =
a+b
a+b
a+b
a zA + b zB
a
b
zG =
zA +
zB =
a+b
a+b
a+b












3) OC a pour affixe z A  zB or le vecteur OA + OB a pour affixe z A  zB donc OA  OB = OC .
b) Exercices
Cours : NOMBRES COMPLEXES
Feuille 1/8
Soit A,B et C les points d’affixes respectives 1  2i ;  2  3i ; 3  2i .
1) Déterminer l’affixe du centre de gravité du triangle.
2) Déterminer l’affixe du point D tel que ACBD soit un parallélogramme.
3) Déterminer l’affixe du centre de ce parallélogramme.
III. FORME TRIGONMETRIQUE D’UN NOMBRE COMPLEXE NON NUL.
1) Rappel sur les coordonnées polaires
a) Définition des coordonnées polaires d’un point
On peut repérer le point M, par sa distance au centre et par l’angle qu’il fait
 
avec l’axe O;i . Voir figure ci-contre


Les nombres r  OM et   i ; OM sont appelés les coordonnées polaires du
point M on note M  r;  .
Si on appelle  x; y  les coordonnées cartésiennes du point M on a les relations

 x2  y 2  r 2

 x  r cos 
x

suivantes : 
et  cos  
y

r
sin

r


y

 sin   r
b) Exercice 4
1.
En utilisant le dessin ci-contre trouver les coordonnées polaires
des points représentés. T ;R ;L ;J ; H ; G ,M


2. On donne les coordonnées polaires des points suivants U  2;   ;
4



 2 
V  2;   ;W 3;
 . Donner leurs coordonnées cartésiennes.
6

 3 
3. Déterminer les coordonnées polaires des points : A

B 2 3 ; 2


2;  2

;
2) Module et argument
a) Définition
A tout nombre complexe z on peut associer un point du plan ; ce point a des
coordonnées polaire  r ,  .Par définition r est appelé module de z et noté z et 
argument de z et noté arg  z  .


Ainsi z  OM  OM et arg  z   u ;OM
b) Exercice
Trouver le module et l’argument des nombres complexes suivants :
5 ; 3i ;1  i ; 
3 1

2 2
Cours : NOMBRES COMPLEXES
Feuille 2/8
3) Propriété du module
1)
z 0z 0
2) Soit k 
3)
; kz  k z
en particulier
z  z
z  z'  z  z'
Preuve
1)
z  0  OM  0  O  M  z  0
2) Si z est l’affixe de OM alors kz est l’affixe de kOM donc kz  k OM  k OM  k z .
3) Si z est l’affixe de OM et z ' est l’affixe de OM' alors z  z ' est l’affixe de OM  OM' donc
z  z '  OM  OM'  OM  OM' (inégalité triangulaire) ainsi z  z '  z  z '
4) Ecriture d'un complexe sous forme trigonométrique.
a) Théorème
Tout nombre complexe s’écrit sous la forme z  r  cos  i sin   où r  z et   arg  z  .
Preuve
On a z  x  iy où  x, y  sont les coordonnées de M mais on sait que x = r cos q et y  r sin q donc
z  r cos  ir sin  r  cos  i sin 
b) Exemple :
Pour trouver la forme trigonométrique, on travaille géométriquement : On place le point, on cherche ses
coordonnées polaires et on a directement la forme trigonométrique.
Ecrire les nombres suivant sous forme trigonométrique :
æ p
pö
- 3; - 2 + 2i ; - 2 ççcos - sin ÷
÷; - 4i
çè 5
ø
5÷
5) Notation exponentielle d'un nombre complexe
a) Explications
On considère la fonction f : t
cos t  i sin t , c’est une fonction d’un type nouveau car elle arrive dans
, on
n’étudie pas ces fonctions en terminale mais pour comprendre la notation proposée on peut réfléchir à la
définition de la dérivée de cette fonction :
Il est logique de penser que f ' : t
 sin t  i cos t et on remarque qu’alors on a f '(t )  if (t ) en effet
if (t )  i  cos t  i sin t   i cos t  sin t  f '(t ) mais alors f est la solution d’une équation différentielle du type y '  ay
mais attention avec k 
, on admet que les solutions sont les mêmes que si k 
donc on admet que f (t )  Ceit
, on calcule C en utilisant f (0)  Cei0  C  cos 0  i sin 0  1 donc on note f (t )  cos t  i sin t  eit
b) Notation
i
Soit z un nombre complexe de module r et d’argument  , on a z  r cos   i sin   on note z  re Il s'agit
simplement d'une notation
c) Exemple
2  2ei
i

; 3i  3e 2
; 1  i  2e
i

4
c) Remarque:
2 nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même module et même argument. (mais l'argument
d'un nombre complexe est une mesure d'angle donc il est défini à 2  près)
r = r'
ïì
z = reia = r ' eib Û ïí
ïïî a = b + k (2p )
Cours : NOMBRES COMPLEXES
Feuille 3/8
IV.
Inverse d’un nombre complexe-. Complexe conjugué
1) Introduction
Soit z  a  bi , z  0, ce nombre admet-il un inverse
Faire le lien avec comment écrire
1
3 2

3 2
 3  2 3  2 

1
1
z
1
 x  iy
z
et si oui comment l’écrire sous la forme
avec un dénominateur entier. On multiplie par l’expression conjuguée
3 2
3 2 3
2
 
5
5 5
On remarque que  a  bi  a  bi   a2  b2 

donc
1
z
1

a  bi

a  bi
(a  bi )(a  bi )

a  bi
a b
2
2

a
a b
2

2
b
a b
2
2
i
2) Définition
a  bi est appelé complexe conjugué de a  bi .On notera z le conjugué de z .
Ce complexe conjugué sert à calculer l’inverse d’un complexe.
3) Propriétés géométrique du conjugué:
1.
Si z est l’affixe d’un point M ; z est l’affixe de son symétrique par rapport à l’axe des abscisses.
2.
z  z

; arg z   arg  z  donc si z  rei alors z  rei .
4) Inverse d’un nombre complexe non nul. Division dans C
a) Théorème
Tout nombre complexe non nul admet un inverse et il existe une division dans
z
1
 z
.
z'
z'
: Si  z, z '  

alors
Preuve
1 z
1
a
b



i.
z zz
a  bi a 2  b2 a 2  b2
b) Exercice
Calculs : 2 (h) – 59 (b,c).
5) Propriétés géométrique du conjugué:
3. Si z est l’affixe d’un point M ; z est l’affixe de son symétrique par rapport à l’axe des abscisses.
4.
z  z

; arg z   arg  z  donc si z  rei alors z  rei
6) Propriétés algébriques du conjugué
1.
z  z  2Re  z 
z R  z  z
z  z'  z  z' ;
z  z  2Im  z 
2)
1 1
 
z z
z  z
z  iR  z   z
Si k  R kz  k

z  z
Faire les calculs pour le 1) et 2)
3)
1) zz '  zz ' z = a + bi z ' = a '+ b ' i
z = a - bi
zz  a 2  b2
z ' = a '- b ' i
z  a  bi ;

1 1
;
 
z z
Preuve
; zz '  z z ' ;
 z z
;
 
 z' z'
Si n 
n
.
zz ' = (aa '- bb ')+ i (ab '+ ba ') donc zz ' = (aa '- bb ')- i (ab '+ ba ') et
z ´ z ' = (aa '- bb ')- i (ab '+ ba ')
1
1
a  bi
1
1
a  bi
 1  a  bi
et 
 2


;   2
2
a

bi
z a  bi a 2  b 2
z
a
 b2
a

b
z
 
1
1
z
 z z
z 
1
3)   
on a     z    z     z   
z'
z'
z'
 z' z'
 z' 
 z'
Cours : NOMBRES COMPLEXES

zn  z
Feuille 4/8
Exercice
Résolution d’équations : 35 b) - 37 a)- 35 c)
V.
Produit, quotient, puissances de nombres complexes écrits sous forme
trigonométriques (ou exponentielle)
1) Produit
i
i '
Soit z  re et z '  r ' e .Il s'agit de trouver la forme trigonométrique de zz'
zz'  r cos   i sin   r '  cos 'i sin   rr '  cos  cos ' sin  sin '  i cos  sin ' sin  cos '

donc zz'  rr ' cos     'i sin      donc
ainsi on a
zz '  z  z ' et

i +' 
zz'  rr ' e
arg zz'  arg z  arg z '
2) Inverse:
i
Soit z  re Il s'agit de trouver la forme trigonométrique de
1
.
z
1
1
cos()  i sin()
1 cos()  i sin()
1
1



 cos( )  i sin( )  e i donc
2
2
z rcos( )  i sin( ) r cos()  i sin()cos()  i sin() r cos ()  sin () r
r
1
1
 e i .
i
r
re
1
1

z
z
ainsi on a
et
1
arg   arg z
z
3) Quotient:
i
i '
Soit z  re et z '  r ' e . Il s'agit de trouver la forme trigonométrique de
On rappelle que
z
z'

z
z'
z
z'
i
 
re
r
z
1
1
1
 r
 z  re i
 re i  e i   e i ( ') donc
 e i ( ')
i

'
i

'
r
 r'
z'
z'
r'
r' e
r'e
arg
z
 arg z  arg z '
z'
4) Puissance:
i
Soit z  re . Il s'agit de trouver la forme trigonométrique de z n avec n  Z
i
i
i
a) n > 0 z n  z
z

 z  r
e
 re

re
 r n ein

n fois
n fois
b) n<0 posons p = n ; p>0 alors z n  z p 
 
donc re i
n
 
1
z
p

1
p ip
r e
 r p e ip  r n e in
n
 re in et arg z  n arg z
5) Exercice
Exercices 25 (i,j) , 28( 4) p 125
Cours : NOMBRES COMPLEXES
Feuille 5/8
VI.
Utilisation géométrique des nombres complexes
A) Propriétés géométriques fondamentales
1) Propriétés liées aux vecteurs (rappel I 3)
1.


Si A pour affixe zA et B pour affixe zB alors AB a pour affixe zA  zB
2. Si A pour affixe zA et B pour affixe zB alors le milieu de  AB a pour affixe
zA  zB
2
2) Propriétés liées aux distances
On n’utilise pas les nombres complexes mais leur module
1. Si z est l’affixe de M alors z  OM
Soit A et B deux points d’affixe zA et zB alors AB = z A  zB
Preuve
AB a pour affixe zA  zB , soit M le point d’affixe zA  zB alors OM a pour affixe zA  zB donc AB  OM et
AB  OM  zM  zA  zB
3) Propriété liées aux angles
On n’utilise pas les nombres complexes mais leur argument
1.
u; AB  arg  z
A
 zB 
 AB; CD  arg  zz
 zC 

B  zA 
D
preuve
1.
2.




Posons C tel que = OC  AB alors C a pour affixe zB  zA or u ; OC  arg zC donc u ; AB  arg  zB  zA  .
 AB; CD   AB ; u    u ; CD    u; AB   u ; CD   arg  z
B
z z 
 zA   arg  zD  zC   arg  D C  .
 zB  zA 
4) Exercice d’application
p
- i
p
(p ) ; f) z - 2 = re 4
3
z- a
a, b Î £ Exercice 55.
Etude des transformations définie par z ' =
z- b
Exercice 48 e) arg (z - i ) =
Cours : NOMBRES COMPLEXES
Feuille 6/8
B) Etude des transformations ponctuelles
1) Introduction
Une transformation ponctuelle est une application qui à un point du plan associe un unique point du plan et
réciproquement (on dit qu’elle zest bijective)
Exemples et contre exemple
Les nombres complexes sont un outil excellent pour définir les transformations. En effet si F est une
transformation, M est un point et F M  M' son image, on peut associer à M son affixe z et à M’ son affixe z '
et ainsi on définit une application de
dans
f :z
z ' que l’on appelle transformation complexe associée à
F , on a numérisé le problème. Réciproquement on peut rechercher la transformation ponctuelle associée a une
transformation complexe.
2) Transformation ponctuelle associée à z’=z+a (a appartient à C)
Théorème:

L'application z  z  a correspond géométriquement
à la translation de vecteur V d'affixe a.

Réciproquement toute translation de vecteur V d'affixe a pour application complexe associée l'application
z  z a
On a z '  z  a ; z ' z  a
Preuve


soit MM'  V ou V a est l’affixe de V .
3) Interprétation géométrique de z’=k(z-w)+w k appartient à R
Théorème:
L'application z  k  z      k  R  correspond géométriquement à l'homothétie de centre O de rapport k
Preuve
On a z '  est l’affixe de M et k  z    qui est l’affixe de kM donc on a M'  kM .
4) Interprétation géométrique de z’=a(z-w)+w
a) Cas ou a  i  e
i

2
;  0
On a vu qu’il s’agissait de la rotation de centre O et d’angle

.
2
b) Cas général
On pose a  ei et on appelle  le point d’affixe  . On M'  z '   a  z     a z    z    M et
 M ; M'  arg zz '  arg a  


donc OM ; OM'   ainsi cette application est une rotation de centre  et
d’angle  .


Réciproquement si M ; M'   et M'  M , on en déduit que z '   z   donc
z ' 
 1 et
z 
z ' 
 z '  
i
i
arg 
   donc z    e et z '   e  z    .
 z  
5) Exercice


A) On se place dans un repère orthonormé O ; u , v . Trouver la forme complexe des transformations
suivantes :

 
1) La translation de vecteur V  2u  v
2) La rotation de centre A  2  i  d’angle 
3) La symétrie de centre I 1  3i 
2
3
B) Exercice 41 3)
Cours : NOMBRES COMPLEXES
Feuille 7/8
VII. RESOLUTION DES EQUATIONS dans l’ensemble des nombres complexes
1) Equation du deuxième degré
az 2  bz  c  0 . l’inconnue est z  ; normalement les constantes a, b, c 
étudie seulement dans le cas où a, b, c 
a) Théorème:
Dans C l'équation az 2  bz  c  0 admet :
b  
b  
si   0
; z2 
2a
2a

deux solutions réelles z1 

une solution double z  

deux solutions complexes conjuguées z1 
Dans tous les cas si z1
mais ce n’est pas au programme, on
b
si   0
2a
b  i  
b  i  
si   0
; z2 
2a
2a
et z 2 sont les solutions de l’équation az 2  bz  c  0 alors dans C le polynôme
P( z )  z 2  bz  c se factorise par z 2  bz  c  a z  z1  z  z 2  .(on dit aussi comme dans R que z1 et z 2 sont des
racines de P)
Si   0 et z 0 la racine double la factorisation est z 2  bz  c  a z  z 0  .
2
Preuve
Elle identique à celle faite dans
en classe de première.
2
2


b
c
b 
b2 c 
b  b2  4ac 

az 2  bz  c  a  z 2  z    a  z    2    a  z   

a
a
2a  4a a 
2a 
4a 2 



On pose   b 2  4ac .3 cas se présentent:
  0 alors  
 
2
b  
2
z1 





b 

b 
b 

2a
et az 2  bz  c  0   x    
z
  0   z 

  0 soit

2
a
2
a
2
a
2
a

 
b  




z2 
2a
2
2
b 
b

az 2  bz  c  0   z 
  0 soit z  
2a 
2a

b) Exercices.
Résoudre les équations suivantes : a) 4 z 2  1  0 ; b) z 2  4 z  5  0 ; c) z 2  13z  14  0
0
Factoriser les expressions suivantes : a) P( z)  z 2  4 ; b) Q( z)  z 2  16z  25
Cours : NOMBRES COMPLEXES
Feuille 8/8