Un signal est une fonction x(t)

I_ Introduction :
1) Le traitement du signal dans les télécommunications :
Un réseau de télécommunication peut être considéré comme un vaste système de
transport. Celui-ci transporte un objet immatériel : de « l’information ». Celle-ci étant
abstraite, elle n’est évidemment pas transportable à l’état brut, il faut donc l’incarner
dans un « signal » physique qui transitera à travers les « systèmes » comme :
_ une onde électromagnétique : réseau câblé ou Hertzien (TV, radio, mobile,
satellite...)
_ une faisceau optique : fibre optique, laser...
Dès que l’électronique a été utilisé dans le réseau téléphonique, le traitement
du signal a permis d’améliorer la quantité du signal ou de mieux utiliser les supports
de transmission :
Exemple : multiplexage de plusieurs communications, compression de données,...
Ce signal physique est en général analogique c’est à dire qu’il est à temps
continu et à valeur continues. Mais aujourd’hui, une grande partie de l’information
est traitée sous forme numérique c’est à dire qu’il est à temps discret et à valeur
quantifiées.
Ainsi depuis sa source jusqu’à son destinataire, le signal subit toute une série
de traitements destinés à le numériser et à le comprimer dans le cas numérique, le
transporter et le restituer tout en conservant au mieux l’information dont il est
porteur. Ces opérations sont réalisées par différents systèmes qui dans certains cas
vont introduire des distorsions dans le signal qu’il faudra compenser (ex : distorsion
lors de la transmission, bruit...)
Le traitement des signaux et des systèmes est donc au cœur du métier des
télécommunication : on veut transmettre un SIGNAL à travers un SYSTEME.
Le traitement du signal dans les télécommunications se rencontre dans les différents
domaines suivants :
_ le traitement du signal pour la transmission. C’est la partie la plus ancienne qui est
à la base des télécommunications : elle consiste à modifier le signal afin de le
transmettre à travers un système donné.
_ Le traitement à la prise et à la restitution des signaux
Ex : en audio : postes « main libre » (bruit), annulation d’échos. Recommandation et
synthèse de la parole.
_ le traitement du signal source Ex : codage, compression.
On rencontre des problèmes de même nature dans des domaines très divers
comme :
_ SONAR, RADAR, guerre, électronique ...
_ biomédical : ECG, EEG, images du corps humain, scanner, endoscope,...
_ contrôle de procédés, régulation (ABS), ...
Les raisons de l’explosion de ce domaine sont liées aux développement théoriques,
aux développement des besoins, mais surtout aux développement de la technologie
associée (électronique, microprocesseur, capteur, support...)
1
2) le traitement du signal et les transmissions en GTR :
année :
 téléphonie
 signaux et systèmes analogiques
 transmission en bande de base
E
_2 année :
 transmission sur fréquence porteuse, mobiles
 signaux et systèmes numériques
 lignes, guides et antennes
_1E
II_ Les signaux :
Un signal est une fonction x(t) où la variable t représente le temps
Ex : une tension qui varie au cours du temps
Ex : x(t)=Cesp (at), x(t) = A cos (0t + )
Ex : x(t) = A rext avec rect(t) = 1 si |t|< ½, rect(t) = 0 si |t|  ½
1) propriétés des signaux :
Signal pair : x(t) est pair si x(-t) = x(t)
Signal impair : x(t) est impair si x(-t) = - x(t)
Signal périodique : x(t) est périodique s’il existe T tel que x(t+T) = x(t)
2) Transformation de signaux :
A partir de un ou de plusieurs signaux, on peut définir un nouveau signal.
Ex : Soit x1 (t) et x2 (t) on peut définir le signal y(t) = a1x1(t) + a2x2(t), y(t) = x1(t)², ...
_ décalage dans le temps : pour une valeur T0, on définit le signal y(t) = x(t-T0)
rect(t)
rect(t- T0)
0
0
T0
y(t) est le signal x(t) décalé de T0. Si T0 > 0, y(t) est x(t) « retardé » de T0. Si T0 < 0, y(t)
est x(t) « avancé » de T0.
Inversion du temps : y(t) = x(-t)
Dillatation/compression : Pour une valeur  >0, on définit le signal y(t) = x(t)
rect(t)
A.rect(t/T0)
t
-½
½
t
-T0/2
T0/2
2
y(t) correspond à x(t) avec une compression ou une dilatation de l’axe des temps. Si
 > 1, y(t) est x(t) comprimé. Si 0 <  < 1, y(t) est x(t) dilaté.
3) Puissance et énergie :
Pour un signal quelconque, on définit la puissance moyenne totale :
Px = lim (T+) 1 .  ( -T, T) x(t)² dt
2T
Cette puissance moyenne totale correspond à la puissance moyenne totale
dissipée dans une résistance de 1 par une tension x(t) appliquée aux bornes de cette
résistance.
L’énergie dissipée Ex est définie par :
Ex = lim (T )  (-T,T) x(t)² dt
Remarque :
Si Ex est finie on a alors Px = 0
Si Px est finie on a alors Ex = + 
On va distinguer :
_ classe I : signaux à énergie finie
_ classe II : signaux à puissance finie
4) Puissance des signaux périodiques :
X (t) = x(t + T0)
C’est un signal à énergie infinie et à puissance finie.
x(t)²
T0
-T0 /2
T0 /2
T0
Ex = lim (T + )  (-T,T) x(t)² dt = +
Px = lim (T + ) 1/(2T)  (-T,T) x(t)² dt
= lim (k.T0/2 + ) 1/(k.T0/2)  (-k.T/2,k.T/2) x(t)² dt
= lim (k + ) k/(k.T0)  (-T/2,T/2) x(t)² dt
= 1/(T0)  (-T/2,T/2) x(t)² dt
La puissance totale d’un signal périodique est égale à la puissance du signal sur une
période.
exemples
Classe I (Ex finie)
Px = 0
Signaux à support fini
Classe II (Px finie)
Ex = +
Signaux périodiques
(Px = puissance sur T0)
5) exemples de signaux périodiques :
x(t) signal carré
3
Px = (1/ T0)  (-T0 /2,T0/2) s²(t) dt = A²*(1/ T0 )  (-T0 /2,T0/2) 1dt = A²
X(t) = A cos (0t). T0 = 2 / 0
Px = (1/ T0)  (-T0 /2,T0/2) A²cos² (0t) dt
= (A²/2 T0)  (-T0 /2,T0/2) 1+cos (20t) dt = A²/2
pour x(t) = A sin (0t) le résultat est le même.
III_ Analyse des signaux :
1) décomposition d’un signal :
Afin d’analyser un signal « inconnu », on va l’écrire comme étant la somme de
signaux connus. Ce problème se situe dans le cadre de l’approximation d’une
fonction par d’autres :
Ex : famille = (oeufs, farine, beurre, chocolat, pomme)
Gâteau = 3 oeufs + 250 g de farine + 100g de beurre + 100g de chocolat + 0 pommes
Tarte aux pommes = 0 oeufs + 200g de farine + 100g de beurre + 0 chocolat + 2
pommes.
Ex : famille = ( protéines, lipides, glucides, vitamines, sels minéraux)
2) Exemple : décomposition d’un signal sur un intervalle :
Soit x(t) une fonction et fk(t), k=1,..., n une famille de fonction. On cherche à
approximer x(t) sur l’intervalle [t1,t2] par :
x(t)   (k=1 ; n) Ckfk (t)
_ les Ck sont choisi de façon a minimiser l’énergie de l’erreur : x(t) - (k=1 ; n) Ckfk(t)
_ Il est judicieux de choisir pour fk(t) une famille orthogonale :
4
 (t1, t2) fk(t). fl(t) dt
 0 pour k=l
= 0 pour kl
on montre alors que : Ck =  (t1,t2) x(t)fk(t)dt
 (t1,t2) fk² (t) dt
Ex : x(t) créneau n=1, f1(t) = sin(t) sur [0,2]
On obtient alors C1 = 4/ et donc :
x(t)  (4/) sin (t)
Ex : Si x(t) est un créneau et fk (t) = sin (kt) on obtient sur [0,2] :
Ck = 4/ pour k impaire et Ck = 0 pour k pair
Approximation pour n = 3, n= 20
Exercice : montrer que fk(t) = sin (kt) est une famille orthogonale sur [0,2]
Exercice : montrer que Ck = 4/k
3) Analyse spectrale des signaux :
Principe :
On va approcher le signal par des sinus et des cosinus. On en a une idée intuitive
(exacte) de cette analyse qui est directement reliée au phénomène de l’audition (note
de musique)
5
IV_ Analyse spectrale des signaux périodiques :
1) décomposition des signaux périodiques :
Pour un signal de période T0, on va utiliser la famille (sin(k0t), cos(k0t)), k>0 avec :
0 = 2/T0
on montre que cette famille de fonction est orthogonale :
(2/T0)  (-T0/2, T0/2) cos (k0t) cos(l0t)dt =
1 pour k = l
0 pour k  l
(2/T0)  (-T0/2, T0/2) sin (k0t) sin(l0t)dt =
1 pour k = l
0 pour k  l
(2/T0)  (-T0/2, T0/2) sin (k0t) cos(l0t)dt = 0
Remarque : cette famille est orthogonale : orthogonale +  (t1, t2) fk²(t) dt = 1
2) développement en série de Fourier :
 forme trigonométrique :
Moyennant certaines conditions, un signal périodique de période T0 est développable
en série de Fourier, c’est à dire :
x(t) = a0/2 +  (k=1, +) ak. cos(k0t) + bk.sin(k0t)
avec :
ak = (2/T0)  (-T0/2, T0/2) x(t) .cos (k0t) dt
bk = (2/T0)  (-T0/2, T0/2) x(t) .sin (k0t) dt
Remarque : Dans la mesure où le développement contient une infinité de termes,
nous ne sommes plus en présence d’une approximation mais d’une égalité.
L’unité des ak est celle de x(t), par exemple le Volt.
 autre forme trigonométrique :
ak. cos(k0t) + bk.sin(k0t) =  ( ak² + bk²)
ak
. cos(k0t) +
bk
.sin(k0t) = 0
 ( ak² + bk²)
 ( ak² + bk²)
cos k =
ak
.
 ( ak² + bk²)
sin k = bk
.
 ( ak² + bk²)
A0 = a0/2
Ak =  ( ak² + bk²)
Et on obtient :
X(t) = A0 +  (k=1 ; +) Ak.cos (k0t + k)
Remarque : Ak >0
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 notion de spectre :
x(t) = A0 + A1 cos (0t + 1) + A2 cos(20t + 2) + A3 cos (30t + 3) + ...
moyenne fondamental
harmonique de rang 2
harmonique de rang 3
On définit pour un signal périodique , le spectre d’amplitude, de phase et de
puissance.
Spectre d’amplitude
Spectre de phase
Spectre de puissance
 cas particulier :
signaux périodiques pairs : x(t) = x(-t)
bk = (2/T0)  (-T0/2 ; T0/2) x(t) sin (k0t) dt = 0
le développement est en cosinus et (Ak = ak, k = 0) ;
x(t) = a0/2 + (k=1 ; +) ak.cos (k0t) = A0 +  (k=1 ; +) Ak.cos (k0t + k)
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le développement est en sinus et (Ak = bk, k = -/2, A0 = 0 ) ;
x(t) = a0/2 + (k=1 ; +) bk.sin (k0t) = A0 +  (k=1 ; +) Ak.cos (k0t + k)
Remarque : Ceci est vrai si ak et bk sont positifs.
Sinon il faut rajouter  dans la phase et remplacer ak (bk) par –ak (-bk)
3) Forme d’exponentielles complexes :
x(t) = a0/2 + (k=1 ; +) ak.cos (k0t) + bk.sin (k0t)
= a0/2 + (k=1 ; +) ak.exp (jk0t) + exp (-jk0t) + bk.exp (jk0t) - exp (-jk0t)
2
2
= a0/2 + (k=1 ; +) ak –jbk. exp (jk0t) + (k=1 ; +) ak +jbk. exp (-jk0t)
2
2
or a – k = a k et b –k = bk, donc :
+ (k=1 ; +) ak +jbk. exp (-jk0t) = + (k=1 ; +) ak –jbk. exp (jk0t)
2
2
en remarquent aue a0/2 = a0 / 2 . exp (j00t) et en définnissant b0 = 0, on a :
x(t) = + (k=1 ; +) ak –jbk. exp (jk0t)
2
on pose :
Cn = an –jbn
2
on obtient le développement sous forme d’exponentielles complexes
x(t) = + (- ; +) Ck. exp (jk0t)
avec :
Ck = ak –jbk = (1/T0)  (-T0/2 ; T0/2) x(t) .exp (-jk0t) dt
2
 spectre :
on définira le spectre d’un signal périodique à partir des Ck.
Spectre d’amplitude
Spectre de phase
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Spectre de puissance
 cas particuliers :
Si le signal x(t) est pair, tous les bk sont nuls et donc :
x(t) = + (- ; +) Ck. exp (jk0t) = + (- ; +) (ak /2 ). exp (jk0t)
Si le signal x(t) est impair, tous les ak sont nuls et donc :
x(t) = + (- ; +) Ck. exp (jk0t) = + (- ; +) (bk /2j ). exp (jk0t)
Ex : signal sinusoïdal
X(t) = A0 . cos (0t + 0) = A0 /2 . exp (j0) .exp (j0t) + A0 exp (-j0) .exp (-j0t)
= ... C-2 .exp (-j0t) + C-1 .exp (-j0t) + C0 + C1 .exp (-j0t) + C2 .exp (j20t) + ...
Spectre d’amplitude
Spectre de phase
 propriétés :
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Théorème du retard : si on remplace x(t) par x’(t) = x(t + ) , on obtient :
Ck1 = 1/T0  (-T0/2 ; T0/2) x(t + ) .exp (-jk0t) dt
= 1/T0  (-T0/2 + ; T0/2+) x’(t) .exp (-jk0(t’ - )) dt’
= exp (jk0) .Ck
on a donc :
|Ck’| = |Ck| , arg C’k = arg Ck + k0
Théorème de Parseval :
Px = (1/T0)  (- T0/2 ; T0/2) x(t)² dt
= (1/T0)  (- T0/2 ; T0/2)  (- ; +) Ck .exp jk0t .  (- ; +) Cl exp.jl0t.dt
= (1/T0)  (- T0/2 ; T0/2)  (- ; +) (- ; +) Ck Cl.exp {j(k + l)0t }.dt
toutes les intégrales s’annulent sauf pour k = -l. On obtient donc :
Px =  (- ; +) Ck .C-k =  (- ; +) |Ck |²
4) récapitulatif :
signal x(t) périodique
analyse
Ck = (1/T0) (-T0/2 ; T0/2) x(t).exp(-j0t) dt
Synthèse
x(t) =  (- ; +) Ck .exp (j0t)
Spectre Ck
Spectre d’amplitude : |Ck|
Spectre de phase : arg (Ck)
Spectre de puissance : |Ck|²
V_ Analyse spectrale des signaux apériodiques :
1) Du DSF à la transformée de Fourier :
Un signal apériodique peut être vu comme la limite lorsque la période tend vers
l’infini d’un signal périodique.
La distance entre deux raies du spectre d’un signal périodique est 1/T0 Hz. Quand
T0  la distance entre deux raies tend vers 0. Le spectre devient donc une fonction
continue de la fréquence f. Il est donné par la transformée de Fourier de x(t) notée
X(t).
2) la transformée de Fourier et son inverse :
 définition :
étant donné le signal x(t), sa transformée de Fourier, si elle existe est définie par :
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X(f) =  (- ; +) x(t).exp (-j2ft) dt
Remarque :
 l’unité de X(f) est le Volt /Hz. C’est donc une densité : la densité spectrale de x(t)
 une condition suffisante mais non nécessaire pour que cette intégrale existe est que
le signal ait une énergie finie :
Ex =  (- ; +) x(t)² dt < 
Nous ne considérons la transformée de Fourier que pour cette classe de signaux.
La synthèse du signal à partir de sa densité spectrale est obtenue par la transformée
inverse :
x(t) =  (- ; +) X(f) exp(j2ft) dt
La transformée de Fourier est une transformation biunivoque que l’on note :
x(t) ⇆ X(f).
Remarque : la TF vérifie une symétrie Hermitienne : X(-f) = X* (f)
Ex : x(t) signal de parole
Ex : On prend x(t) = A rect (t/T0) et Ex = A²/T0
1
rect(t)
A.rect(t/T0)
A
t
-½
½
t
-T0/2
T0/2
X(f) =  (-T0/2 ; T0/2) A.exp(-j2ft) dt = A(exp(-j2fT0/2) – exp (j2fT0/2))/(-j2f)
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= A.sin(fT0) /(f)
sin (x) = sin(x)/x sin (-x) = sin (x)
3) densités spectrales :
Soit x(t) un signal admettant une transformée de Fourier X(f) : x(t) ⇆ X(f)
|X(f)| est une fonction positive et paire. C’est la densité spectrale d’amplitude.
L’unité est le Volt/Hertz. |X(f)|² est la densité spectrale d’énergie.
Arg (X(f)) est une fonction réelle et impaire. C’est la densité spectrale de phase.
4) propriétés de la trans formée de Fourier :
La TF est linéaire :
X(t) ⇆ X(f) , y(t) ⇆ Y(f)
 a.x(t) + b.y(t) ⇆ a.X(f) + b.Y(f)
La TF d’un signal pair est réelle et paire :
X(t) paire ⇆ X(f) réelle et paire
Démo : X(f) =  (- ; +) x(t) exp(-j2ft) dt
=  (- ; +) x(t) cos (2ft) dt – j  (- ; +) x(t) sin (2ft) dt
=  (- ; +) x(t) cos (2ft) dt
La TF d’un signal impair est impair pur et impaire :
X(t) impaire ⇆ X(f) imaginaire pur et impaire
Translation dans le domaine des fréquences :
Exp (j2f0t) x(t) ⇆ X(f – f0)
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Exp (j2f0t) .x(t) ⇆  (- ; +) exp (j2f0t).x(t).exp(-j2f) dt
⇆  (- ; +) x(t).exp(-j2 (f-f0)t) dt
Modulation d’amplitude :
cos (2f0t + ).x(t) ⇆ exp j .X(f-f0) + exp -j . X(f+f0)
cas particulier : cos(2f0t).x(t) ⇆ X(f-f0) /2 + X(f+f0) /2
Changement d’échelle : x(at)⇆ 1/|a|.X(f/a)
Démo : x(at) ⇆  (- ; +) x(at).exp(-j2ft) dt
= 1/a  (-a ; +a) x(t).exp(-j2ft/a) dt
⇆ 1/|a|  (- ; +) x(t).exp(-j2ft/a) dt
= 1/|a|.X(f/a)
Translation dans le domaine du temps : x(t-T0) ⇆ exp (-j2fT0).X(f)
Démo : x(t-T0) ⇆  (- ; +) x(t-T0).exp(-j2ft) dt
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=  (- ; +) x(t).exp(-j2f(t+T0)) dt
⇆ exp(-j2fT0)  (- ; +) x(t).exp(-j2ft) dt
= exp(-j2fT0).X(f)
dérivées : x(n)(t) ⇆ (j2f)n .X(f)
Démo : x(t) =  (- ; +) X(f).exp(j2ft) df
 x(n) (t) =  (- ; +) X(f).(j2f)n.exp(j2ft) df
5) convolution :
Soit deux signaux x1(t) et x2(t). On appelle convolution de x1(t) par x2(t) le signal
y(t) = x1(t) *x2(t) défini par :
y(t) =  (- ; +) x1() .x2(t-) d (on pose u= t-)
=  (- ; +) x1(t-u) .x2(u) du
=  (- ; +) x2() .x1(t-) d
interprétation graphique du calcul de : y(t) =  (- ; +) x1(u) .x2(t-u) du
6) propriétés de la transformée de Fourier (suite) :
Théorème de convolution :
x1(t) *x2(t) ⇆ X1(f)*X2(f)
Démo : x1(t)* x2(t) ⇆  (- ; +) { (- ; +) x1()*x2(t-)d} exp (-j2ft) dt
⇆  (- ; +) { (- ; +) x1()*x2(t-) exp (-j2ft) dt} d
⇆  (- ; +) x1() { (- ; +) x2(t-) exp (-j2ft) dt} d (on pose u = t-)
⇆  (- ; +) x1().X2(f) exp (-j2f) d = X1(f).X2(f)
Remarque en appliquant la TF inverse on obtient :
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 (- ; +) x1().x2(t-) d =  (- ; +) X1(f).X2(f).exp(j2ft)df
Convolution fréquentielle :
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