Devoir n°1 3ème Mathématiques 1 heure 2008/2009 Calculatrice interdite Exercice n°1 : Calculer, puis dire si le résultat est un nombre décimal ou non décimal. (6 points ) 1 3 5 A 2 4 6 4 9 3 B 3 5 2 5 3 C 4 11 2 6 Devoir n°1 3ème Mathématiques 1 heure 2008/2009 Calculatrice interdite Exercice n°1 : Calculer, puis dire si le résultat est un nombre décimal ou non décimal. (6 points ) 1 3 5 A 2 4 6 4 9 3 B 3 5 2 5 3 C 4 11 2 6 Exercice n°2 : Les phrases suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier les réponses. ( 4 points ) a. Si un nombre est pair, alors il a un nombre pair de diviseurs. b. Tous les nombres premiers sont des entiers impairs. c. Si un entier n est premier alors la somme de ses diviseurs est égale à n + 1. Exercice n°2 : Les phrases suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier les réponses. ( 4 points ) a. Si un nombre est pair, alors il a un nombre pair de diviseurs. b. Tous les nombres premiers sont des entiers impairs. c. Si un entier n est premier alors la somme de ses diviseurs est égale à n + 1. Exercice n°3 : ( 3 points ) Démontrer la propriété suivante : La somme de deux multiples de trois est un multiple de trois. Exercice n°3 : ( 3 points ) Démontrer la propriété suivante : La somme de deux multiples de trois est un multiple de trois. Exercice n°4 : D’après le Brevet (4 points) Exercice n°4 : D’après le Brevet (4 points) On considère la fraction 170 . 578 a. Montrer que cette fraction n’est pas irréductible. b. Déterminer le PGCD des nombres 170 et 578 (faire apparaître clairement la méthode utilisée et les différentes étapes). c. Écrire la fraction 170 sous forme irréductible. 578 Exercice n°5 : D’après le Brevet encore… (3 points) Une association organise une compétition sportive ; 144 filles et 252 garçons se sont inscrits. L’association désire répartir les inscrits en équipes mixtes. Le nombre de filles doit être le même dans chaque équipe. Le nombre de garçons doit aussi être le même dans chaque équipe et tous les inscrits doivent être dans une équipe. 1. Quel est le nombre maximal d’équipes que cette association peut former ? 2. Quelle est alors la composition de chaque équipe ? On considère la fraction 170 . 578 a. Montrer que cette fraction n’est pas irréductible. b. Déterminer le PGCD des nombres 170 et 578 (faire apparaître clairement la méthode utilisée et les différentes étapes). c. Écrire la fraction 170 sous forme irréductible. 578 Exercice n°5 : D’après le Brevet encore… (3 points) Une association organise une compétition sportive ; 144 filles et 252 garçons se sont inscrits. L’association désire répartir les inscrits en équipes mixtes. Le nombre de filles doit être le même dans chaque équipe. Le nombre de garçons doit aussi être le même dans chaque équipe et tous les inscrits doivent être dans une équipe. 1. Quel est le nombre maximal d’équipes que cette association peut former ? 2. Quelle est alors la composition de chaque équipe ? 3ème Mathématiques Devoir n°1 - CORRECTION Exercice n°1 : 1 3 5 A 2 4 6 A 6 9 10 12 12 12 A 5 12 Exercice n°2 : 2008/2009 /6 12 3 et 5 2 B Devoir n°1 - CORRECTION Exercice n°1 : 4 9 3 4 3 3 B donc B 3 5 2 1 5 2 B 3ème Mathématiques 39 10 B 24 15 10 10 5 5 12 3 C 4 C 4 4 11 11 2 6 3 7 7 3 C 4 soit C 4 11 11 3 21 C 44 /4 1 3 5 A 2 4 6 A 6 9 10 12 12 12 A 5 12 Exercice n°2 : 2008/2009 /6 4 9 3 4 3 3 B donc B 3 5 2 1 5 2 B 12 3 et 5 2 B 39 10 B 24 15 10 10 5 5 12 3 C 4 C 4 4 11 11 2 6 3 7 7 3 C 4 soit C 4 11 11 3 21 C 44 /4 Si un nombre est pair, alors il a un nombre pair de diviseurs. Faux 4 est pair et 4 a trois Si un nombre est pair, alors il a un nombre pair de diviseurs. Faux 4 est pair et 4 a trois diviseurs : 1 ; 2 et 4. diviseurs : 1 ; 2 et 4. /1 /1 Tous les nombres premiers sont impairs. Faux 2 est un entier premier pair. /1 Si un entier n est premier alors la somme de ses diviseurs est égale à n + 1. Vrai Si n est Tous les nombres premiers sont impairs. Faux 2 est un entier premier pair. /1 Si un entier n est premier alors la somme de ses diviseurs est égale à n + 1. Vrai Si n est premier, il n’a que deux diviseurs 1 et lui-même. Donc la somme de ses diviseurs vaut : 1 + n = n + 1 . /2 premier, il n’a que deux diviseurs 1 et lui-même. Donc la somme de ses diviseurs vaut : 1 + n = n + 1 . /2 Exercice n°3 Soit deux multiples de 3, ils s’écrivent 3 n et 3 m où n et m sont deux entiers naturels. Leur somme S vaut donc : S = 3 n + 3 m soit en factorisant par 3 : S = 3 ( n + m) or n + m est un entier naturel, donc S est bien un multiple de 3. /3 Exercice n°3 Soit deux multiples de 3, ils s’écrivent 3 n et 3 m où n et m sont deux entiers naturels. Leur somme S vaut donc : S = 3 n + 3 m soit en factorisant par 3 : S = 3 ( n + m) or n + m est un entier naturel, donc S est bien un multiple de 3. /3 Exercice n°4 /4 a. 170 et 578 sont divisibles par 2 donc la fraction n’est pas irréductible. b. Le PGCD de 170 et 578 est 34. /2 Exercice n°4 /4 d. 170 et 578 sont divisibles par 2 donc la fraction n’est pas irréductible. e. Le PGCD de 170 et 578 est 34. /2 c. /1 170 5 34 170 5 5 donc et est irréductible car 5 et 17 sont premiers 578 17 34 578 17 17 entre eux. /1 Exercice n°5 : /3 Le nombre de filles est le même dans chaque équipe, donc le nombre d’équipes divise le nombre de filles ; pour la même raison,il divise également le nombre de garçons. De plus ce nombre d’équipe doit être maximal, il s’agit donc du plus grand diviseur commun au nombre de filles et au nombre de garçons ; c’est à dire le PGCD de 144 et 252. Il y a donc 36 équipes. /2 Or 144 = 36 4 et 252 = 36 7. Donc chaque équipe est composée de 4 filles et 7 garçons. /1 f. /1 170 5 34 170 5 5 donc et est irréductible car 5 et 17 sont premiers 578 17 34 578 17 17 entre eux. /1 Exercice n°5 : /3 Le nombre de filles est le même dans chaque équipe, donc le nombre d’équipes divise le nombre de filles ; pour la même raison,il divise également le nombre de garçons. De plus ce nombre d’équipe doit être maximal, il s’agit donc du plus grand diviseur commun au nombre de filles et au nombre de garçons ; c’est à dire le PGCD de 144 et 252. Il y a donc 36 équipes. /2 Or 144 = 36 4 et 252 = 36 7. Donc chaque équipe est composée de 4 filles et 7 garçons. /1