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L’essentiel des questions étudiées durant l’antiquité se rapporte à des problèmes de calcul
d’aire, de volume et de longueur. Archimède établit par exemple, que l’aire du domaine situé
entre l’arc de parabole ABC et le segment [AC] est égale aux 4/3 de l’aire du triangle ABC.
Les mathématiciens des siècles passés ont consacré beaucoup d’efforts à calculer les aires de
domaines de plus en plus compliqués. Le développement du calcul intégral a permis des
avancées dans ce domaine à partir de la fin du XVIIème siècle.
I. Notion de primitives d’une fonction
A. Définition : On appelle primitive d’une fonction f sur un intervalle I de  toute
fonction F dérivable sur I et dont la fonction dérivée est f sur I.
Ainsi
B. Propriétés :  Si f admet une primitive F sur I, l’ensemble des primitives de f sur I est
l’ensemble des fonctions définies sur I par : x F(x) + k, k étant une
constante réelle arbitraire.
 Si f admet une primitive F sur I, alors f admet une primitive et une seule,
sur I, prenant une valeur donnée y0 en un point donné x0 de I.
On énonce encore cette propriété en disant que deux primitives d’une même fonction
diffèrent d’une constante.
Soit P l’ensemble des primitives de f sur I. Il s’agit de montrer que :
P = {x F(x) + k}.
Les fonctions : x F(x) + k, sommes de F, primitive de f sur I par hypothèse, et d’une
fonction constante, sont définies et dérivables sur I et de dérivées F’(x) + 0 = f(x) sur I.
Donc ce sont toutes des primitives de f sur I. En conclusion,
LE CALCUL INTEGRAL
A
B
C
Le mathématicien et
philosophe allemand
Gottfried Wihlem
Leibniz (Leipzig
1646 – Hanovre
1716) invente le
calcul différentiel
(1676).
Le mathématicien et
astronome
britannique Simpson
(1710-1761)
imagine des
formules pour
approcher l’aire
sous une courbe.
Le mathématicien
allemand Riemann
(1826-1866) élabore
des théories et des
méthodes de calcul
encore utilisées
aujourd’hui.
Le mathématicien
français Lebesgue
(1875-1941) élargit
la notion d’intégrale
et ouvre un champ
très vaste
d’applications.
F primitive de f sur I  F dérivable sur I et F’ = f.

{x F(x) + k}  P .
Soit G une primitive de f sur I, donc un élément de P . Par définition, G est définie et
dérivable sur I et G’ = f sur I. Donc la fonction (G – F) est définie et dérivable sur I et
(G – F)’ = G’ – F’ = la fonction nulle.
On en déduit que (G – F) est une fonction constante sur I, c’est-à-dire qu’il existe un réel k
tel que, pour tout x de I, G(-x) = F(x) + k. Autrement dit,
P  {x F(x) + k}.
D’où l’égalité.
 D’après la seconde propriété, il existe une infinité de primitives de f sur I dès lors que f en
admet une. Soit H(x) = F(x) + k, où F désigne une primitive de f sur I et k désigne une
constante réelle arbitraire. Alors H(x0) = y0 F(x0) + k = y0, d’où l’existence et l’unicité du
réel k.
Exercice 1 : Soit les fonctions f et g définies sur ]0, + [ par :
f(x) = lnx et g(x) = xlnx – x.
a) Démontrer que g est une primitive de f.
b) Trouver la primitive de f qui s’annule pour x = 1.
II. Calculs de primitives
A. Tableau de primitives de fonctions usuelles
f est définie sur un intervalle I de 
par f(x) = …..
Une primitive de f sur I est la fonction
F définie sur I par F(x) = …..
0
k, k constante réelle arbitraire
a, a  
ax
xn, où n   - {- 1}
1 n
x1n
x
1
lnx
x
1
x2
ex
ex
sinx
- cosx
cosx
sinx
1 + tan2x =
xcos
12
tanx
Dans un premier temps, on admettra que toute fonction continue sur un intervalle I de 
admet des primitives sur I , propriété qui sera démontrée dans le paragraphe IV.

B. Primitives et opérations sur les fonctions
Remarque : Pour obtenir une primitive de : x
xxsincos nm
, lorsque m ou bien n est impair,
on se ramène à des formes du type u’up, grâce à la relation cos2x + sin2x = 1.
Par exemple,
cos5x = cosx cos4x = cosx(1 - sin2x)2 = cosx(1 - 2sin2x + sin4x)
sin2xcos3x = cosxsin2x(1 - sin2x) = cosxsin2x - cosxsin4x.
Lorsque n et m sont pairs tous les deux, la méthode générale consiste à linéariser
l’expression. Pour cela on utilise les formules d’Euler :
cos() =
2
ii ee 
et sin() =
iee ii 2
où  désigne un nombre réel.
Exercice 2 : Montrer, en utilisant les formules d’Euler ou les formules trigonométriques, que,
pour tout x réel, sin6x =
10 -15cos2x 6cos4x -cos6x
32
1
- 
.
En déduire une primitive F, sur IR, de la fonction f définie par :
f : x
(1 + cosx)4(1 + cosx)3.
Fonction f
Une primitive F
u’, où   
u
u’ + v’
u + v
u’un, où n   - {- 1}
u
1
u
u'
lnu
u
u'
2
u
u’eu
eu
x
f(ax + b), où a  * et b  
x
a
1
F(ax + b)
x
cos(ax + b), où a  * et b  
x
a
1
sin(ax + b)
x
sin(ax + b), où a  * et b  
x
a
1
- 
cos(ax + b)
x
eax + b , où a  * et b  
x
a
1
eax + b

Exercice 3
Soit la fonction f de la variable réelle x définie par : f(x) =
.
1) -(x x
2
2
Ecrire f(x) sous la forme a +
.
1) -(x c 1 -x
b
2
Déterminer une primitive de f .
III. Intégrale d’une fonction sur un intervalle
A. Définition Soit f une fonction définie, continue et positive sur un intervalle I de , I
contenant deux réels a et b tels que a < b. C est sa courbe représentative
dans un repère orthogonal
j , i O;
.
L’unité d’aire étant l’aire du rectangle de côtés
i
et
j
, on appelle
intégrale de f entre a et b l’aire de la surface délimitée par la courbe C ,
l’axe des abscisses et les deux droites d’équations respectives x=a et x=b.
Cette aire est parfois appelée « aire sous la courbe représentative de f ».
Cette intégrale se note
b
a f(x)dx
, et se lit « intégrale de a à b de f ».
Les réels a et b sont appelés les bornes de l’intégrale.
Cette partie du plan est encore décrite comme étant l’ensemble des points M du plan de
coordonnées (x, y) telles que :
  f(x) y 0 b x a
.
Remarques :  Le symbole a été introduit par Leibniz au XVIIème siècle mais la notation
b
a
est dûe à Fourier au XIXème siècle.
 La variable x peut être remplacée par une tout autre variable :
 b
a
b
a f(t)dt f(x)dx
.
i
j
O
a
b
C

On dit que cette variable est muette.
Conventions :  Si f est négative sur I, l’intégrale de a à b de f est l’opposée de l’aire
définie ci-dessus.
On dit parfois que
b
a f(x)dx
est l’aire algébrique du domaine compris entre la courbe C,
l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives x = a et x = b pour indiquer qu’elle
est positive si f est positive, négative si f est négative.
 Pour une fonction continue et de signe quelconque sur l’intervalle I, on
convient que l’intégrale de a à b de f est la somme des aires algébriques des domaines définis
à partir des intervalles sur lesquels f garde un signe constant.
Exercice 4 : f est la fonction définie sur [- 3, 3] par : f(x) =
3] 2, [- x six 2] - 3, [- x si 6 -2x -
.
Tracer la courbe C représentant f dans un repère orthonormal et calculer I =
3
3 - f(x)dx
.
Exercice 5 : f est la fonction définie sur  par f(x) = - (x – 1)2.
a) Dans un repère orthonormal
j , i O;
, tracer les courbes :
 C g représentant la fonction g définie sur  par g(x) = x2 ;
 C f représentant la fonction f à partir de C g en précisant les transformations utilisées.
b) Sachant que
3
1
dx x
1
0
2
, en déduire la valeur de l’intégrale
2
1 f(x)dx
.
Exercice 6 : Déterminer le signe de l’intégrale M =
2
0 3dx
1 x 8 -x
.
B. Définition Pour toute fonction définie et continue sur un segment [a, b] de , la
valeur moyenne de f sur [a, b] est le réel m tel que :
m =
b
a f(x)dx
a - b1
.
Si f(x) > 0, on s’intéresse au rectangle de largeur (b – a) dont l’aire est égale à l’aire de la
surface hachurée : c’est la longueur m de ce rectangle que l’on appelle la valeur moyenne de
f sur [a, b].
Si f est une fonction constante sur [a, b], sa valeur moyenne sur [a, b] est égale à cette
constante.
Exercice 7 : (Série ES – Pondichéry – Avril 2007)
On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; + [ par : f(x) =
3
x
ln(x)
5
.
On note C f sa courbe représentative dans u repère orthogonal du plan.
1. a. Déterminer la limite de f en 0 ; en donner une interprétation graphique.
b. Déterminer la limite de f en +  ; en donner une interprétation graphique.
2. a. Calculer f ’(x) où f ’ est la fonction dérivée de f, puis étudier son signe.