PROBABILITÉS

PROBABILITÉS.
A. Langage des probabilités.
Définitions.
Exemple.
On appelle expérience aléatoire une expérience
dont les résultats dépendent du hasard.
Chaque résultat envisageable d’une expérience
aléatoire est appelé une éventualité.
On appelle univers, et l’on note en général Ω,
l’ensemble des éventualités d’une expérience
aléatoire.
Un événement est une partie de l’univers, c’est-
à-dire un ensemble d’éventualités.
Si une éventualité appartient à un événement, on
dit qu’elle réalise cet événement.
Un événement élémentaire est un événement
qui ne contient qu’une éventualité.
On dit qu’un événement est l’événement
contraire de l ‘événement A, et on le note A, si il
contient toutes les éventualités ne réalisant pas A.
Des événement sont incompatibles ou
disjoints si leur intersection est vide, c’est-à-dire
si aucune éventualité ne réalise simultanément
les deux évènements.
On lance un dé à six faces et l’on s’intéresse au
nombre obtenu sur la face supérieure.
Les éventualités, c’est-à-dire les résultats
possibles sont les nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6.
L’univers est l’ensemble des six résultats possibles.
Ici Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
« Obtenir un nombre pair » est un événement.
Pour le décrire symboliquement on lui donne un
nom, par exemple P et on écrit : P = {2, 4, 6}.
L’éventualité « obtenir un 6 » réalise l’événement
« obtenir un nombre pair » car 6  P.
L’événement « obtenir un 4 » est un événement
élémentaire.
L’événement contraire de P est l’événement
P = {1, 3, 5}, c’est-à-dire l’événement
« obtenir un nombre impair »
Les événements A : « obtenir 1 ou 2 » et
B : « obtenir un multiple de 3 » sont incompatibles
car : A = {1, 2}, B = {3, 6} et A  B = .
Remarque. Dans tout ce qui suit les univers considérés ne contiendront qu’un nombre fini d’éventualités.
Exercice. Dans un jeu de cartes, on garde les valets (V), les dames (D) et les rois (R) des quatre
couleurs (trèfle (T), carreau (K), cœur (C) et pique (P)) et on retire du jeu les autres cartes.
On tire une carte dans ce paquet. Écrire l’univers correspondant à cette expérience aléatoire.
Combien y a-t-il d’événements élémentaires ?
On considère l’événement A : « la carte tirée est un roi » et l’événement B : « la carte tirée est un
carreau ». Écrire sous forme d’ensemble ces événements.
Écrire sous forme d’ensemble et définir par une phrase les événements suivants :
A  B, A  B, A, B, AB, AB, A  B,A  B.

B. Probabilité sur un univers fini.
B.1. Définition.
La fréquence d’un résultat lors d’une expérience aléatoire semble être relativement stable lorsqu’on
répète un grand nombre de fois cette expérience. Remarquons que :
 d’une part, une fréquence est un nombre compris entre 0 et 1.
 d’autre part, que la fréquence d’un événement est la somme des fréquences des
éventualités qui le réalisent.
Définition. Soit Ω, un univers fini.
On dit que Ω est un univers probabilisé si l’on
définit une application p : P (Ω)  [0 ; 1] telle
que :
 p(Ω) = 1
 quels que soient les événement incom-
patibles A et B : p(AB) = p(A) + p(B)
Cette dernière propriété, dite propriété
d’additivité est généralisable à un nombre
quelconque d’évènements incompatibles deux
à deux.
P (Ω) désigne l’ ensemble des parties de Ω.
Exemple. Lancer d’un dé équilibré à six faces.
La fréquence d’apparition de chacune des faces, si
l’on répète un grand nombre de fois l’expérience
est sensiblement la même.
Définissons la probabilité p qui à chaque
événement élémentaire, associe le même nombre,
compris entre 0 et 1 :
 d’une part :
p({1}) = p({2}) = p({3}) = p({4}) = p({5}) = p({6})
 d’autre part :
p({1}) + p({2}) + p({3}) + p({4}) + p({5}) + p({6}) = 1
On en déduit que la probabilité de chacun des
événements doit être égal à
Error!
.
Remarque. La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des évènements
élémentaires qui le composent.
Exercice. On utilise un dé à six faces, pipé de la façon suivante : la probabilité d’obtenir un nombre
impair est le tiers de celle d’obtenir un nombre pair. Les trois nombres impairs ont la même
probabilité de sortie. Les trois nombres pairs également.
1° Déterminer, pour l’expérience consistant à lancer ce dé et à regarder le nombre inscrit sur la face
supérieure, la probabilité de chaque événement élémentaire.
2° Déterminer les probabilités des évènements suivants :
a) « obtenir un nombre pair » ;
b) « obtenir un multiple de 3 » ;
c) « obtenir un nombre supérieur ou égal à 4 ».
B.2. Propriétés d’une probabilité.
Soit Ω un univers fini muni d’une probabilité p. Pour tout événement A, pour tout évènement B on a :
 0  p(A)  1.
 p(A) = 1 - p(A).
 p(AB) = p(A) + p(B) - p(AB).

Exercice. Une usine fabrique des pièces en grande série. Ces pièces sont suceptibles d’avoir deux
types de défaut. Lors d’un contrôle de fabrication le défaut A apparaît sur 3 % des pièces, le défaut
B sur 5 % des pièces et 0,15 % des pièces ont les deux défauts.
On considère que la fréquence des défauts est stable et qu’en conséquence, la probabilité qu’une
pièce prise au hasard présente le défaut A est 0,03, la probabilité qu’elle présente le défaut B est
0,05 et la probabilité qu’elle présente les deux défaut est 0,0015.
Une pièce doit être éliminée de la production si elle présente au moins un défaut. Quelle est la
probabilité qu’une pièce prise au hasard soit à éliminer ?
B.3. Cas d’équiprobabilité.
Soit Ω un univers fini muni d’une probabilité p. On dit qu’il y a équiprobabilité ou qu’on se trouve
dans une situation d’équiprobabilité si tout les événements ont la même probabilité.
Exemple. On tire une carte au hasard dans un paquet de 32 cartes.
Définir l’univers Ω.
Définir la probabilité sur cet univers sachant que toutes les cartes ont la même probabilité d’être tirées.
Quelle est la probabilité de l’événement A : « obtenir un roi ».
Remarque. Dans le cas de l’équiprobabilité si l’univers Ω comporte n éléments, la probabilité de
chaque événement élémentaire est
Error!
.
Si A est un événement quelconque, la probabilité de A est égale au quotient du nombre d’éléments
de A par le nombre d’éléments de l’univers Ω.
p (A) =
Error!
.