Ex 9 - PolytechGii

Exercice 9.
Un lot de n articles est formé par nI articles provenant de l'usine UI, n2 articles provenant de
l'usine U2, et n3 articles provenant de l'usine U3
Pour un article provenant de l'usine Vi, la probàbilité de fonctionnement sans défaillance
pendant un temps 't est Pi
On tire au hasard un article du lot.
Calculer la probabilité de fonctionnement sans défaillance pendant le temps 't de cet article.
Cet article tombe en panne avant le temps 't- Calculer la probabilité pour que son origine soit
l'usine Ui
Exercice 7.
Des pièces sont fabriquées à la chaîne. Sur chacune d'elles, on effectue un test pour en
contrôler la qualité.
On désigne par B l'événement: " une pièce c.h°isie au hasard est bonne" et par T l'événement:
"le test indique que la pièce choisie est bonne".
Soit p la probabilité pour qu'une pièce choisie au hasard soit bonne.
Le test n'est pas infaillible. Il arrive qu'il indique qu'une pièce est bonne alors qu'en réalité
elle est mauvaise et inversement.
Soit x la probabilité pour que le test indique comme bonne une pièce effectivement bonne et
y la probabilité pour que le test indique comme bonne une pièce qui est en réalité mauvaise.
On suppose p*O et p* 1.
a- On teste une pièce choisie au hasard. Sachant que .le test indiq'ue cette pièce comme
bonne,
calculer en fonction de p, x et y la probabilité pour qu'elle soit. effectivement bonne.
b- A quelle condition, portant sur x et y, le test est-il utile?
c- A.N. p = 0,8; x = 0,9; Y = 0,3
d- Pour chaque pièce, on décide d'effectuer le test 2 fois et de n'accepter la pièce que si elle
satisfait les deux contrôles. Calculer la probabilité en fonction de p, x, y pour qu'une pièce
acceptée soit effecti t/ement bonne. A.N.
e- Supposons que l'on décide d'effectuer il fois le test et de n'accepter la pièce que si elle
satisfait les n contrôles.
Détenniner la valeur minimum de n pour laquelle, avec les données du c, la probabilité pour
qu'une pièce acceptée soit effectivement bonne dépasse 0,9999.
A V) Distribution exponentielle monolatérale.
Sa densité de probabilité est donnée par:
Px (x) = u(x). a. e-ax
avec a = Cte > O

où u ( x ) est l'échelon unité: u (x) = O pour x < O et u ( x ) = 1 ailleurs.
a) calculer ml = E [ X J, m2 = E [ X 2 J et cr 2 .
-""O
b) Loi sans mémoire. Par définition, une V.A. T positive vérifie la propriété de non
vieillissement
lorsque:
V t et f:,.t ; Pr [ T> t + f:,.t / T > t] = Pr [ T > f:,.t ]
V érifier que la loi exponentielle mono latérale obéit au principe de non vieillissement
B 1 ) Soit X la V.A. uniformément répartie sur l'intervalle [-2, 2] .
G
a) Calculer Px(x) puis Fx(x).
b) Calculer E[X] puis V[X].
On définit le changement de V.A. suivant: Z = 9 X 2 -3
c) Quel est l'univers image de Z
d) Calculer Fz(z).
e) Calculer Pz(z).
f) Calculer E[Z]. Poser u = (z + 3)1/2 pour le calcul de l'intégrale.
g) Calculer V[Z].
! B VIII) V.A. de Cauchy
Un observateur placé en A vise un point B d'un axe vertical situé à une distance À.
Il déduit l'altitude x de B par la mesure de l'angle y ( Voir figure)
1) Y est la réalisation d'une V.A. [uniformément répartie sur] -n/2 ; n/2 [
Etablir la d.d.p. pr (y) et la F.R. Fr (y) de la V.A. ['1
,
2) On effectue le changement de V.A. X = À tg [. La V.A. X est appelée V.A. de Cauchy

de paramètre À .
Etablir la d.d.p. Px ( x) puis la F.R. Fx (x ) de X.
3) Calculer si elle existe, l'E.M. de X.
4) Calculer la F.C. de X.
5) Montrer que les V.A. aX et (1 / X) suivent la loi de Cauchy dont on précisera le
paramètre.