Le point de fuite

G34
MATHEMATIQUES
TRONC COMMUN NIVEAU 3
MODULE G34
Nom :
Prénom :
Date de distribution :
Date de validation :
Objectifs à atteindre :
- Préciser la position relative de deux droites dans l’espace
- Connaître les propriétés des figures usuelles dans l’espace
- Construire des figures usuelles en perspective cavalière
Modules pré requis
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I. Caractérisation de droites et de plans dans l’espace
1. La droite
Pour repérer un point sur une droite, de quoi a-t-on besoin ?
- d’une graduation, donc d’une distance, donc de deux points distincts.
Ainsi, une droite est définie par deux points distincts.
La droite contenant les points A et B se nomme la droite (AB).
A
B
2. Le plan
Pour repérer un point sur un plan, de quoi a-t-on besoin ?
- d’un repère, donc de deux droites sécantes, donc trois points non alignés.
Ainsi, un plan est défini par trois points non alignés.
Le plan contenant les points A, B et C se nomme le plan (ABC).
B
A
C
II. Position de deux droites de l’espace
1. Droites coplanaires
Deux droites sont dites coplanaires lorsqu’elles sont contenues dans un même plan.
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Remarque :
Dans ce cas, elles sont soit parallèles, soit sécantes
et théorèmes vu en géométrie plane.
et nous pouvons appliquer les propriétés
2. Droites non coplanaires
Deux droites sont dites non coplanaires lorsqu’elles ne sont pas contenues dans un même plan.
Exemple :
Dans le cube précédent, les droites (AB) et (CG) ne sont contenues dans aucun plan commun.
Elles sont non-coplanaires.
Exercice 1 :
 Complétez les phrases et le tableau (//,
(AB)
(CD)
(BC)
(GH)
(BG)
(GA)
(AB)

(CD)
(BC)
(GH)
(BG)
,
(GA)





 Complétez le tableau en indiquant si les droites sont coplanaires (C) ou non
coplanaires (NC).
(AB)
(CD)
(BC)
(GH)
(BG)
(GA)
(AB)

(CD)
(BC)
(GH)
(BG)
(GA)





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):
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III. Figures géométriques élémentaires dans l’espace
Surface de révolution : Surface engendrée par la rotation d’une courbe autour d’un axe.
VOLUME
SURFACES
ENVELOPPES
VUES de FACE
VUES de DESSUS
DIMENSIONS
CARACTERISTIQUES
CYLINDRE DE
P1 et P2: Surfaces
Diamètre () D
REVOLUTION
circulaires planes
Longueur L
S : Surface cylindrique
Volume
de révolution
V =  x (D/2)² x L
P1 : Surface circulaire
Demi-angle au
plane
sommet A
F
CONE DE
REVOLUTION
Hauteur H
S : Surface cônique de
Volume
révolution
V=(/3) (D1 / 2)² H
F
TRONC DE CONE P1 et P2: Surfaces
Grand  D1
DE REVOLUTION circulaires planes
Petit  D2
Hauteur H
S : Surface cônique de
révolution
Volume
V= (/12)Hx(D1²+D1D2+D2²)
F
*Rq : Pour un cône de
révolution, D2=0.
V=(/3) (D1 / 2)² H
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VOLUME
SPHERE
SURFACES
ENVELOPPES
VUES de FACE
VUES de DESSUS
S : Surface sphérique
DIMENSIONS
CARACTERISTIQUES
Diamètre () D
Volume
V = (4/3) x  x (D/2)3
F
TORE
Rayon moyen (de l’axe du
S : surface torique
tore) R
Diamètre (du fil de tore) d
F
Volume
V = (² x R x d²) / 2
PARALLELEPIPE P1 à P6 : 6 surfaces
e = epaisseur
DE RECTANGLE
H = Hauteur
planes rectangulaires
Ou
L = Longueur
PAVE
e
Volume
V=exLxH
F
Remarque : N’importe quel solide peut être décomposé en surfaces et volumes
élémentaires. Un volume élémentaire est délimité par des surfaces enveloppes
(cylindriques, planes, coniques…) qui matérialisent sa frontière extérieure.
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Exercice 2
1. Quel est le nombre de volumes élémentaires constituant l’ampoule : ……………..
2. Compléter les colonnes « Surfaces enveloppes » et « Volumes » du tableau du
document DR2, en indiquant :
 La nom des surfaces enveloppes repérées.
 Le nom des volumes élémentaires constitutifs et leurs dimensions.
Rappel : Les mesures ne peuvent êtres prises sur un dessin en perspective cavalière, la
raison est donnée dans le chapitre suivant.
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NOM DES
VOLUMES
DIMENSIONS
(EN MM)
NOM DES
SURFACES
ENVELOPPES
S1 :
S2 :
S3 :
S4 :
F
S5 :
S6 :
S7 :
Echelle 4 :1
4 :1
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IV. La perspective cavalière.
Définition : Pour dessiner un solide à l'aide de la perspective cavalière il faut distinguer:
Le point de vue:
C'est l'endroit où se trouve l'observateur. Pour que l'objet soit représenté avec un certain effet de
volume il faut que l'observateur soit placé un peu à droite ou à gauche sur une droite horizontale
(parallèle à la droite d'horizon) et un peu au dessus ou au dessous sur une droite verticale
(perpendiculaire à la droite d'horizon). Ce qui donne quatre types de points de vue.
Le point de vue est choisi par le dessinateur en fonction de l'effet qu'il veut produire. Ce point de
vue n'est pas noté sur le dessin. Nous indiquons parfois son type: dessous à droite, dessous à
gauche, dessus à droite et dessus à gauche.
Les faces Frontales:
Ce sont les faces situées dans un plan perpendiculaire à notre regard. Leurs dimensions sont
conservées. Les angles ont leurs mesures réelles. Ces faces sont dessinées dans leurs formes
réelles.
Les faces Fuyantes:
Ce sont les faces qui forment les côtés. Les segments verticaux sont représentés par des
segments verticaux dont les longueurs sont les vraies longueurs.
Les mesures des angles ne sont pas conservées, le parallélisme est conservé : des faces qui
contiennent des droites parallèles, sont dessinées avec des droites parallèles.
Le partage en segment égaux, sur les segments fuyants, est conservé et notamment le milieu.
Toutes les droites horizontales de l'objet sont représentées par des droites fuyantes parallèles. Les
dimensions sur ces droites fuyantes sont diminuées.
Pour respecter ces règles nous utilisons un angle de fuite et un coefficient de fuite.
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Exemple 1: dessin d'un carré de 3cm de côtés en face frontale et en face fuyante.
L'angle de fuite est 30°. Le coefficient de fuite est 0,5. Point de vue: dessus-droite.
Carré frontal: il est dessiné comme d'habitude (ici il est vu en vraie grandeur).
Carré sur face fuyante: les côtés [DC] et [EF] sont verticaux et leur dimension (3cm) est conservée
sur le dessin. Les fuyantes sont (CF) et (DE) et font un angle de 30° avec l'horizon (les angles xCy
et x'Dy' sont égaux à 30°). Elles sont parallèles dans le carré CDEF et le restent sur le dessin.
Mais la longueur des côtés fuyants [CF] et [DE] a été multipliée par 0,5, le coefficient de fuite (vous
portez donc CF=DE=3*0,5=1,5 sur deux droites parallèles (Cy) et (Dy')).
Remarque:
• Les petits carrés (en gris sur la figure) qui indiquent que nous avons des angles droits sont de
vrais carrés sur la face frontale mais représentés par des parallélogrammes sur la face fuyante (les
longueurs des côtés fuyants de ces parallélogrammes sont égales à la longueur d'un côté d'un
petit carré, multiplié par 0,5).
Remarque : Nous allons exploiter le fait que vous travaillez le plus souvent sur des feuilles
quadrillées (carrés de 8x8mm ou 5x5mm). Dessiner rapidement un cube sur de tels supports est
très facile et rapide.
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Exercice3
Terminez les figures inachevées ci-contre en changeant de point de vue.
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Exercice4
Une construction est constituée de "modules" cubiques. Sur le plan, les nombres indiquent le
nombre d'étages (nombre de modules superposés).
Donner une représentation en perspective de cette construction avec pour point de vue "dessusdroite".
En voici la solution... à terminer.
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V. La perspective à point de fuite.
Illustration :
Dans cette forêt de hauts mélèzes,
les troncs espacés sont parallèles.
Le photographe doit pencher l'appareil
pour faire rentrer les arbres dans le cadre :
les troncs ne sont plus parallèles au film.
On constate que les troncs semblent se
rejoindre en un point situé sur le haut de
l'image.
Vous trouverez facilement le point de fuite
sur ce tableau :
Raphaël, L'école d'Athènes, 1510-1511.
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La ligne d'horizon
Elément clé de la perspective, celle-ci doit obligatoirement être repérée avec soin. Pour la trouver
rien de bien compliqué. Regardez en face de vous, la tête droite, sans baisser ni lever les yeux.
L'endroit exact où pointe votre œil correspond à la hauteur de la ligne d'horizon. En d'autres
termes, la ligne d'horizon se situe à la hauteur des yeux.
Figure 1
Dans cette première image,
l'observateur est en position
debout. Il attend.
Figure 2
Cette fois-ci, notre observateur
s'est assis sur une chaise. Il
s'impatiente.
Figure 3
Finalement, épuisé, notre
observateur s'est littéralement
allongé sur la route. Il dort (sur le
ventre)
Le point de fuite
Lorsque deux lignes sont parallèles entres
elles, comme les bords opposés de cette table
par exemple, si l'on s'amuse à les prolonger,
celles-ci se rejoignent sur la ligne d'horizon en
un même point, appelé "point de fuite".
Figure 5
Si par exemple vous avez besoin de dessiner
un carrelage, les carreaux étant parallèles
entre eux, toutes les lignes se rejoignent en un
seul point de fuite.
Points de fuites multiples
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Exercice 5
 Trouvez la perspective cavalière et la perspective à point de fuite et le tracer.
 Tracer les points de fuite.
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