Notions de trigonométrie

Notions de trigo (Math 4 Technique)
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Notions de trigonométrie
1) Introduction .
Le sens du mot « trigonométrie » signifie « mesure des triangles »
La particularité de la trigonométrie est que les relations trigonométriques font intervenir , à la
fois, des COTES et des ANGLES des triangles
- L’angle et son amplitude seront toujours désigné par une lettre majuscule qui désigne
son sommet.
- La longueur du côté sera notée par une minuscule et le côté correspondra au sommet
opposé. (voir la figure ci-dessus)
2) Définitions
(Ces définitions sont à retenir)
La tangente de l’angle C est égale à c/b , le cosinus de C sera égal à b/a et le sinus de C
est égal à c/a
En d’autres termes :
A
B
C
b
a
c
A
B
C
b
a
c

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Le cosinus d’un angle est égal au sinus de son complémentaire et inversément
Ex. cos C = sin B = b/a et cos B = sin C = c/a
Cosinus est en fait le sinus de l’angle complémentaire
3) Transformation des formules
En transformant les formules on obtient :
cos B = c/a  c= a. cos B cos C = b/a  b = a. cos C
sin B = b/a  b= a . sin B sin C = c/a c= a . sin C
tg B = b/c  b = c. tg B tg C = c/b  c = b . tg C
La tangente d’un angle aigu d’un triangle rectangle est égale au rapport du côté de l’angle
droit opposé à cet angle et celle du côté de l’angle droit adjacent à cet angle.
Le cosinus est égal au rapport entre la longueur du côté adjacent à cet angle et la longueur
de l’hypoténuse.
Le sinus est le rapport entre la longueur du côté opposé à l’angle et celle de l’hypoténuse
A
B
C
b
a
c

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4) Formules de base
Formule 1 :
(à admettre)
Formule 2 :
5) Quelques valeurs trigonométriques particulières
1) 45 °
Dans un demi-carré , on a tg 45 ° a/a = 1
Cos 45 ° = a/b or si on utilise le théorème de Pythagore b 2 = a 2 + a 2 = 2 a 2 donc b2 = 2
a2  b = a
2
Cos 45° = a / a
2
= 1/
2
=
2
/
2
.
2
=
2
/ 2
Et sin 45 ° = cos 45 °  la valeur des sinus et cosinus sont identiques
Représentons cette démonstration sous forme « graphique »
A
B
C
b
a
c
tg C = sin C / cos C
cos 2 C + sin 2 C = 1
tg 45 ° = 1
cos 45 ° =
2 /2
sin 45 ° =
2 /2

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2) 60 °
Démonstration
cos 60° = a/2 /a = a/2 . 1/a = ½
sin 2 60° + cos 2 60° = 1  sin 2 60° = ¾
 sin 60° =
3/4
=
3
/2
tg 60° = sin 60° / cos 60° = (
3
/2) / ½ = (
3
/2) * 2 =
3
3) 30 °
a) L’angle 30 ° étant le complémentaire de 60° , calculez les sin et cos de cet angle : cela
est très facile – donnez la règle que vous appliqueriez ?
b) La tangente de 30 ° est égale à sin 30° / cos 30° = ??? calculez-le ?
cos 60 ° = ½
sin 60 ° =
3/2
tg 60 ° =
3
a
a/2
60 °

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Tableau récapitulatif des valeurs
30 °
45 °
60 °
Sinus
3
2
2
3
2
Cosinus
3
2
2
2
1
2
Tangente
3
3
1
3
[Les démonstrations qui s’y rapportent sont importantes  matière à connaître]
6) Usage de la calculatrice
Autrefois, il y a 30 ans , les valeurs étaient données dans des tables, de nos jours , la
calculatrice scientifique est l’outil indispensable .
6.1) Les unités
Les unités de mesures des angles sont le degré, le radian, le grade
Un petit bout d’histoire
La base mathématique est donc la base 60 : base dite sexagésimale : c’est d’après les
historiens des mathématiques , la base « parfaite » puisque issue de la « Nature » .
[En 3500 avant J.C. déjà, en Mésopotamie, on utilise des petits cailloux d’argile
de formes et de tailles différentes suivant la quantité qu’elle représente :
-Petit cône = 1
-Petite bille = 10
-Grand cône = 60
-Grand cône percé =
600
-Grosse bille = 3600
Nous utiliserons le degré : un degré est la 360 ieme partie d’un cercle : il se divise en
60 minutes (min ou ‘ ) et une minute est égale à 60 secondes (s ou ‘’ )