notion de probabilite

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Variables aléatoires
Exemple:
On joue une partie de pile (P) ou face (F) en 4 lancers. A l’issue de la
partie globale, on peut considérer l’ensemble des éventualités comme
un ensemble de quadruplets comportant des P et des F [exemple:
(F, F, P, F) ]. Pour chaque partie, comptons les points de la façon
suivante:
* si le nombre de P est 3 ou 4, le joueur marque 1 point.
* si le nombre de P est 2, le joueur marque 0 point.
* si le nombre de P est 0 ou 1, le joueur marque - 1 point.
(F,F, F, P)
(P, P,F, F)
(P, P, P,F)
(F, F,P, F)
(P, F,P, F)
(P,P, F, P)
(F, P, F,F)
(F, P,F, P)
(P, F, P,P)
(P, F, F,F)
(F, F,P, P)
(F, P, P,P)
(F, F, F,F)
(F, P, P,F)
(P, P, P,P)
(P, F, F,P)
C
B
A
X X X
-1 0 1
Ainsi, à chacun des quadruplets
de A, on associe le nombre 1;
à chacun des quadruplets de B, on
associe 0;
à chacun des quadruplets de C, on
associe -1.
On définit ainsi une application X
de  dans {-1, 0, 1} = X
Si X-1({0}) désigne l’ensemble
des éléments de  tels que la
valeur associée à un quadruplet
soit égale à 0 (ou encore tels que
X() = 0), alors X-1({0}) = B.

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De même, X-1({1}) = A et X-1({-1}) = C
On appellera variable aléatoire cette application qui au jeu de « pile
ou face » associe le gain.
Si, à chaque partie, la question se pose de savoir avec quelles
probabilités respectives, le joueur marque 0, 1 ou -1 point, on peut
répondre:
Proba [marquer un point] = P(A) = 5/16 =
P(C) = Proba [marquer -1 point]
Proba [marquer 0 point] = P(B) = 6/16 = 3/8.
Ainsi, on définit sur X (muni de l’ensemble des événements) une
probabilité P’ telle que :
P’ ({1}) = P(A) = P(C) = P’({-1})
P’({0}) = P(B)
Définition:
Soit (, P(), P) un espace probabilisé et (X, P(X)) un espace
probabilisable où X est une partie de IR (ou IR lui-même). Une
application X qui à un élément de  fait correspondre un élément de X
, et plus généralement un nombre réel, est une variable aléatoire
rélle.
L’ensemble des valeurs de X peut être:
* un ensemble fini ou infini de nombres:
X est dite variable aléatoire discrète

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* un intervalle, une réunion d’intervalles ou IR
: : X est dite variable aléatoire continue
Autrement dit, une variable aléatoire s’exprime à l’aide d’une
grandeur mesurable et ses variations dépendent du hasard.
Autres exemples de variables aléatoires: nombre de fleurs produites
par une plante, nombre d’acheteurs d’un produit donné, etc.
Propriété: On peut alors définir sur X une probabilité P’ en posant:
P’(A) = P[X-1(A)]
pour tout événement A de P(X).
Définitions: P’ est appelée loi de probabilité de X ou encore
distribution de X.
On appelle fonction de répartition de X la fonction F qui, à tout x
réel, fait correspondre le nombre réel positif défini par:
F(x) = P’(]- , x]) = P ({    X()  x})
ou F(x) = P’(]- , x[) = P ({    X() < x})
Remarque 1: ces deux définitions conduisent à la même fonction dans
le cas continu. La deuxième est généralement utilisée en France dans
le cas des variables aléatoires discrètes.

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Remarque 2 : le plus souvent, la loi de X n’est pas calculable à partir
de P, car l’espace  lui-même est mal connu. C’est pourquoi on notera
la plupart du temps P la loi de probabilité.

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Variables aléatoires discrètes.
La loi de probabilité est alors donnée par la probabilité de chacun des
points. On note en général P({X = xi}) = pi.
On a p1 + p2 + ... + pn = 1 dans le cas où X() est fini
ou p1 + p2 + ... + pn + ... = 1 (somme infinie des termes) dans le cas où
X() est infini
La fonction de répartition F de X est pour tout x:
F(x) = P(X <x) = P(X =x1) + P(X = x2) + ... + P(X = xi) avec xi < x
Exemple: Le nombre de pannes journalières d’une machine est une
variable aléatoire X dont la loi de probabilité est:
X
0
1
2
3
4
5
P(X = x)
0,1
0,3
0,4
0,1
0,05
0,05
Déterminer la fonction de répartition de X.
x < 0 F(x) = P(X < x) = 0
0  x < 1 F(x)= P(X < x) = P(X = 0) = 0,1
1  x < 2 F(x) = P(X < x) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,1 + 0,3 =
0,4
2  x < 3 F(x) = P(X < x) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 3) =
0,1 + 0,3 + 0,4 = 0,8
3  x < 4 F(x) = P(X < x) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) +
P(X = 3) = 0,1 + 0,3 + 0,4 + 0,1 = 0,90
4  x < 5 F(x) = P(X < x) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) +