Classes de TS3TS4 Corrigé du DM : nombres parfaits

Classes de TS3TS4
Corrigé du DM : nombres parfaits (exercice 135 page 66)
Les diviseurs de 22 × 7 sont 1, 2, 22, 7, 7 × 2 et 7 × 22 (2 et 7 sont premiers). Leur somme vaut donc
1 + 2 + 22 + 7 + 7 × 2 + 7 × 22 = (1 + 2 + 22 )(1 + 7) .
De même, si 2 p − 1 est premier, les diviseurs de 2 p−1 sont 1, 2, 22...2 p−1 , et ceux de 2 p − 1 sont 1 et 2 p − 1
(il est par hypothèse premier). Si l’on pose E p = (2 p − 1)2 p −1 , les diviseurs de E p sont donc
1, 2, 22...2 p −1 , (2 p − 1), 2 × (2 p − 1), 22 × (2 p − 1)...2 p −1 × (2 p − 1) .
1 + 2 + 2 + ... + 2
2
p −1
(1 + 2 + 2 + ... + 2
2
+ (2 − 1) + 2 × (2 − 1) + 2 × (2 − 1) + ... + 2
p −1
p
p
2
p
)(1 + (2 − 1)) = (1 + 2 + 2 + ... + 2
p
2
p −1
Leur
p −1
somme
× (2 − 1) ,
p
ce
est
donc
égale
à
qui
se
factorise
en
) × 2 . D’autre part, la somme de la suite
p
2 −1
= 2 p − 1 . Ainsi la somme des diviseurs de E p est donc
2 −1
p
p
égale à (2 − 1) × 2 = 2 E p . E p est un nombre parfait.
géométrique (1 + 2 + 22 + ... + 2 p −1 ) vaut
p
Pour p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 31, 61, 89, 107 … 2 p − 1 est premier, les nombres E p sont donc parfaits. 6, 28,
496, 8128 sont les plus petits. A ce jour, le plus grand nombre premier de la forme 2 p − 1 connu est
225964951 − 1 , qui donne le nombre parfait (225964951 − 1)225964950 , qui a 15632458 chiffres.
Si p et q désignent maintenant des premiers impairs, et n = pα q β , alors les diviseurs de pα sont
1, p, p 2 ... pα , ceux de q β sont 1, q, q 2 ...q β . Les diviseurs de n sont de la forme p a q b avec 0 ≤ a ≤ α et
0 ≤ b ≤ β , leur somme vaut donc :
1 + p + p 2 + ... + pα + 1× q + p × q + p 2 × q + ... + pα × q + ... + 1× q β + p × q β + p 2 × q β + ... + pα × q b , ce qui,
après factorisation, vaut (1 + p + p 2 + ... + pα )(1 + q + q 2 + ... + q β ) , donc en reconnaissant des sommes de
suites géométriques de raisons respectives p et q, elle vaut S =
pα +1 − 1 q β +1 − 1
×
.
p −1
q −1
pα +1 − 1 q β +1 − 1
×
= 2 pα q β , soit
p −1
q −1
( pα +1 − 1)(q β +1 − 1) = 2 pα q β ( p − 1)(q − 1) . Développons partiellement cette égalité :
n = pα q β est parfait si et seulement si S = 2n , ce qui s’écrit
pα +1q β +1 − pα +1 − q β +1 + 1 = 2 pα q β ( pq − p − q + 1) . On a donc
1 − pα +1 − q β +1 = pα q β [ 2( pq − p − q + 1) − pq ] , soit 1 − pα +1 − q β +1 = pα q β [ 2( p − 2)(q − 2) − 2] .
Comme l’un des nombres p ou q vaut au moins 3 et l’autre au moins 5, le terme de droite de cette égalité
est positif le terme de gauche est négatif. Cette égalité est donc impossible. Il n’y a pas de nombre parfait
ayant exactement deux facteurs premiers impairs. Les nombres parfaits impairs ont donc au moins 3
facteurs premiers, ils sont donc tous supérieurs à 105 (le plus petit entier ayant 3 facteurs premiers).
Remarque culturelle : les nombres M n = 2n − 1 s’appellent nombres de Mersenne (du nom de Marin
Mersenne1588-1648, qui les a étudiés le premier). On peut facilement montrer en utilisant la factorisation
n
a n − b n = (a − b)(a n −1 + a n − 2b + a n −3b 2 + ... + ab n − 2 + b n −1 ) , qu’on peut aussi écrire a n − b n = (a − b)∑ a n − k b k
k =0
que M n ne peut être premier que si n est premier, mais cette condition n’est pas suffisante (par exemple
M 11 n’est pas premier). Ce sont des nombres de Mersenne qui forment les nombres premiers records, car
on dispose de tests très efficaces pour savoir si un nombre de Mersenne est premier. Un projet (GIMPS)
est actuellement en cours qui permet à des particuliers (un peu passionnés) de découvrir des nombres
premiers records (avec de la chance) en téléchargeant un programme qui travaille pendant que leur ordi
ne fait rien.
Les nombres parfaits sont connus depuis Euclide, qui connaissait les 4 premiers. Euler a démontré que
tous les nombres parfaits pairs étaient de la forme E p = (2 p − 1)2 p −1 , avec 2 p − 1 un nombre de Mersenne
premier. Quand aux nombres parfaits impairs, des démonstrations analogues à celle que vous avez faite
(en plus compliqué) permettent de montrer qu’ils ont au moins 8 facteurs premiers, dont au moins un est
supérieur à 1020 . En fait, on ne connaît aucun nombre parfait impair.