Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 3ème Notions de probabilités 1. Probabilité d’un évènement Propriété : La probabilité d’un évènement E est un nombre compris entre 0 et 1. Si cet évènement a 30 % de chances de se produire, il a une probabilité de 0,3. On écrit : p E 0, 3 (lire « p de E est égal à 0,3 »). Par exemple, si l’on lance une pièce de monnaie, il y a 50 % (la moitié) de chances d’obtenir face. Soit F l’évènement : « On obtient face avec la pièce » ; on aura donc p F 0, 5 . Propriété : Un évènement qui se produit a chaque fois à 100 % de chances de se produire. C’est un évènement certain, et sa probabilité est 1 . Par exemple, si l’on lance un dé, l’évènement E : « le chiffre obtenu est compris entre 0 et 7 » est certain, on a donc P E 1 Propriété : Un évènement qui ne se produit jamais a 0 % de chances de se produire. C’est un évènement impossible, et sa probabilité est de 0. Par exemple, si l’on lance un dé, l’évènement E : « le chiffre obtenu est 7 » est impossible, on a donc p(E)=0. Propriété : Lorsque l’on peut déterminer tous les cas possibles, la probabilité d’un évènement E est donnée par nombre de cas favorables p E nombre de cas possibles Exemple : Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules vertes. Chaque boule a autant de chance qu’une autre d’être tirée (1 chance sur 10). Considérons les deux évènements : R : « la boule tirée est rouge » V : « la boule tirée est verte » On peut établir que p R et p V 4 0, 4 10 (4 cas favorables sur 10 cas possibles) 6 0, 6 (6 cas favorables sur 10 cas possibles) 10 4 10 On établit l’arbre des probabilités : 6 10 -1- Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 3ème Définition : L’évènement contraire de E correspond à la non-réalisation de l’évènement E ; on le note E . Propriété : p E 1 p E Exemple : Considérons une roue à 8 secteurs égaux, 3 rouges et 5 jaunes. On la fait tourner, et on considère les évènements R : «la roue s’arrête sur un secteur rouge » et J : «la roue s’arrête sur un secteur jaune ». On peut établir que p R 3 5 0, 375 et que p R p J 0, 625 ou 8 8 p R 1 p R 1 0, 375 0, 625 3 8 On établit l’arbre des probabilités : 5 8 Propriété : lorsque l’on ne peut pas déterminer le nombre de cas possibles, on répète un grand nombre de fois l’expérience, afin d’approcher la vraie valeur de la probabilité. Exemple : la punaise. Nous pouvons penser que la punaise a autant de chances de tomber dans une position comme dans une autre, mais nous n’en sommes pas sûrs. Lançons un bon nombre de punaises afin d’estimer la probabilité de l’évènement T : « la punaise retombe sur sa tête ». MANIPULATION DES ELEVES. Exemple : le gobelet en plastique (3 positions) MANIPULATION DES ELEVES -2- Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 3ème 2. Probabilités de plusieurs évènements : Définition : Si A et B sont deux évènements, l’évènement (A et B) est l’évènement qui se produit lorsque les évènements A et B ont lieu tous les deux simultanément. Exemple : Lors du tirage d’une carte d’un jeu de 32 cartes, on appelle : T l’évènement « sortir une carte avec une tête (valet, dame ou roi) » R l’évènement « sortir une carte de couleur rouge (cœur ou carreau) » L’évènement (T et R) correspond donc à sortir une tête rouge (6 cartes conviennent). Définition : Si A et B sont deux évènements, l’évènement (A ou B) est l’évènement qui se produit lorsque l’un des deux évènements, ou les deux, se produit. Exemple : lors d’un lancer de dé, on appelle : A l’évènement « sortir un nombre pair » B l’évènement « sortir un nombre inférieur ou égal à 4 » L’évènement (A ou B) correspond au tirage de 1, 2, 3, 4 ou 6. Définition : Deux évènements sont incompatibles s’ils ne peuvent pas se produire en même temps. Lors d’un lancer de dé, l’évènement « sortir un 4 » et l’évènement « sortir un nombre impair » sont incompatibles. Propriété : Lorsque deux évènements sont incompatibles, la probabilité que l’un ou l’autre des éléments se produise est égale à la somme de leurs probabilités : p A ouB p A p B Exemple : une urne contient 3 boules blanches, 2 boules rouges et 5 boules jaunes. On définit les évènements suivants : B : « tirer une boule blanche » R : « tirer une boule rouge » J : « tirer une boule jaune » p B 3 ; 10 p R 2 ; 10 p J 5 10 B et J sont incompatibles, l’évènement tirer une boule blanche ou une boule jaune » a pour probabilité : p(B ou J) = p(B) + p(J) = 0,3+0,5 = 0,8 p(B ou J) p(B) p(J) 0,3 0,5 0,8 -3- Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 3ème 3. Expériences à deux ou plusieurs épreuves Propriété : Dans un arbre de probabilités, la probabilité du résultat auquel conduit un chemin est égale au produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin. Exemple 1 : On lance une pièce de monnaie à deux reprises. a. Quelle est la probabilité d’obtenir deux fois pile ? b. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une fois face ? Soient P l’évènement « j’obtiens pile » et F l’évènement « j’obtiens face ». p P 1 1 et p F . On établit l’arbre des probabilités suivant : 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 0, 25 2 2 4 b. La probabilité d’avoir au moins une fois face peut se calculer de deux manières 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 différentes : 0, 75 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 Ou repérer que le second évènement est le contraire du premier : 1 0, 25 0, 75 a. La probabilité d’avoir deux fois pile se calcule, en lisant l’arbre : Exemple 2 : On dispose d’une urne contenant 6 boules rouges et 4 boules vertes. On en tire une, en notant R l’évènement « je tire une boule rouge » et V l’évènement « je tire une boule verte ». Sans replacer la 1ère boule tirée, j’effectue un 2nd tirage dans l’urne (qui ne contient plus que 9 boules). Quelle est la probabilité d’obtenir une boule de chaque couleur ? 5 9 6 10 On établit l’arbre des probabilité suivant : La probabilité d’obtenir 1 boule de chaque couleur est donc : 6 4 4 6 24 24 48 0, 53 10 9 10 9 90 90 90 4 10 -4- 4 9 6 9 3 9