Notions de probabilités

Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 3ème
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Notions de probabilités
1. Probabilité d’un évènement
Propriété :
La probabilité d’un évènement E est un nombre compris entre 0 et 1.
Si cet évènement a 30 % de chances de se produire, il a une probabilité de 0,3.
On écrit :
,p E 0 3
(lire « p de E est égal à 0,3 »).
Par exemple, si l’on lance une pièce de monnaie, il y a 50 % (la moitié) de chances d’obtenir face.
Soit F l’évènement : « On obtient face avec la pièce » ; on aura donc
,p F 0 5
.
Propriété :
Un évènement qui se produit a chaque fois à 100 % de chances de se produire. C’est un évènement
certain, et sa probabilité est 1 .
Par exemple, si l’on lance un dé, l’évènement E : « le chiffre obtenu est compris entre 0 et 7 » est
certain, on a donc
P E 1
Propriété :
Un évènement qui ne se produit jamais a 0 % de chances de se produire. C’est un évènement
impossible, et sa probabilité est de 0.
Par exemple, si l’on lance un dé, l’évènement E : « le chiffre obtenu est 7 » est impossible, on a donc
p(E)=0.
Propriété :
Lorsque l’on peut déterminer tous les cas possibles, la probabilité d’un évènement E est donnée par
nombre de cas favorables
pE nombre de cas possibles
Exemple :
Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules vertes. Chaque boule a autant de chance qu’une autre
d’être tirée (1 chance sur 10).
Considérons les deux évènements :
R : « la boule tirée est rouge »
V : « la boule tirée est verte »
On peut établir que
,
4
p R 0 4
10
(4 cas favorables sur 10 cas possibles)
et
,
6
p V 0 6
10
(6 cas favorables sur 10 cas possibles)
On établit l’arbre des probabilités :
4
10
6
10

Marc Bizet – collège Pablo Picasso – Harfleur – classe de 3ème
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Définition :
L’évènement contraire de E correspond à la non-réalisation de l’évènement E ; on le note
E
.
Propriété :
p E 1 p E
Exemple :
Considérons une roue à 8 secteurs égaux, 3 rouges et 5 jaunes. On la fait tourner, et on considère les
évènements R : «la roue s’arrête sur un secteur rouge » et J : «la roue s’arrête sur un secteur
jaune ».
On peut établir que
,
3
p R 0 375
8
et que
,
5
p R p J 0 625
8
ou
,
,
p R 1 p R
1 0 375
0 625
On établit l’arbre des probabilités :
Propriété :
lorsque l’on ne peut pas déterminer le nombre de cas possibles, on répète un grand nombre de fois
l’expérience, afin d’approcher la vraie valeur de la probabilité.
Exemple : la punaise.
Nous pouvons penser que la punaise a autant de chances de tomber dans une position comme dans
une autre, mais nous n’en sommes pas sûrs. Lançons un bon nombre de punaises afin d’estimer la
probabilité de l’évènement T : « la punaise retombe sur sa tête ».
MANIPULATION DES ELEVES.
Exemple : le gobelet en plastique (3 positions)
MANIPULATION DES ELEVES
3
8
5
8

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2. Probabilités de plusieurs évènements :
Définition :
Si A et B sont deux évènements, l’évènement (A et B) est l’évènement qui se produit lorsque les
évènements A et B ont lieu tous les deux simultanément.
Exemple : Lors du tirage d’une carte d’un jeu de 32 cartes, on appelle :
T l’évènement « sortir une carte avec une tête (valet, dame ou roi) »
R l’évènement « sortir une carte de couleur rouge (cœur ou carreau) »
L’évènement (T et R) correspond donc à sortir une tête rouge (6 cartes conviennent).
Définition :
Si A et B sont deux évènements, l’évènement (A ou B) est l’évènement qui se produit lorsque l’un des
deux évènements, ou les deux, se produit.
Exemple : lors d’un lancer de dé, on appelle :
A l’évènement « sortir un nombre pair »
B l’évènement « sortir un nombre inférieur ou égal à 4 »
L’évènement (A ou B) correspond au tirage de 1, 2, 3, 4 ou 6.
Définition :
Deux évènements sont incompatibles s’ils ne peuvent pas se produire en même temps.
Lors d’un lancer de dé, l’évènement « sortir un 4 » et l’évènement « sortir un nombre impair » sont
incompatibles.
Propriété :
Lorsque deux évènements sont incompatibles, la probabilité que l’un ou l’autre des éléments se
produise est égale à la somme de leurs probabilités :
p A ouB p A p B
Exemple : une urne contient 3 boules blanches, 2 boules rouges et 5 boules jaunes. On définit les
évènements suivants :
B : « tirer une boule blanche »
R : « tirer une boule rouge »
J : « tirer une boule jaune »
3
pB 10
;
2
pR 10
;
5
pJ 10
B et J sont incompatibles, l’évènement tirer une boule blanche ou une boule jaune » a pour
probabilité : p(B ou J) = p(B) + p(J) = 0,3+0,5 = 0,8
p(B ou J) p(B) p(J) 0,3 0,5 0,8    

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3. Expériences à deux ou plusieurs épreuves
Propriété :
Dans un arbre de probabilités, la probabilité du résultat auquel conduit un chemin est égale au
produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin.
Exemple 1 : On lance une pièce de monnaie à deux reprises.
a. Quelle est la probabilité d’obtenir deux fois pile ?
b. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins une fois face ?
Soient P l’évènement « j’obtiens pile » et F l’évènement « j’obtiens face ».
1
pP 2
et
1
pF 2
. On établit l’arbre des probabilités suivant :
a. La probabilité d’avoir deux fois pile se calcule, en lisant l’arbre :
,
1 1 1 0 25
2 2 4
b. La probabilité d’avoir au moins une fois face peut se calculer de deux manières
différentes :
,
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 0 75
2 2 2 2 2 2 4 4 4 4
Ou repérer que le second évènement est le contraire du premier :
,,1 0 25 0 75
Exemple 2 : On dispose d’une urne contenant 6 boules rouges et 4 boules vertes. On en tire une, en
notant R l’évènement « je tire une boule rouge » et V l’évènement « je tire une boule verte ».
Sans replacer la 1ère boule tirée, j’effectue un 2nd tirage dans l’urne (qui ne contient plus que 9
boules).
Quelle est la probabilité d’obtenir une boule de chaque couleur ?
On établit l’arbre des probabilité suivant :
La probabilité d’obtenir 1 boule de chaque
couleur est donc :
,
6 4 4 6 24 24 48 0 53
10 9 10 9 90 90 90
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
6
10
4
10
5
9
4
9
6
9
3
9