EXERCICES SUR LA RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES

Réductions des matrices carrées
Objectifs :
1- Comprendre les notions de valeur propre, vecteur propre, polynôme caractéristique.
2- Savoir déterminer valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice/d'un
endomorphisme.
3- Savoir déterminer si une matrice/endomorphisme est diagonalisable ou non, et la/le
diagonaliser le cas échéant.
4- Avoir rencontré des exemples de matrices/ endomorphismes non diagonalisables,
mais trigonalisés (attention, la trigonalisation n'est pas exigible sans indications)
5- Voir des applications de la réduction : calculs de puissance ou de racines de
matrices, systèmes de suites récurrentes, systèmes différentiels, caractérisation d'un
endomorphisme.
1 Exercices «théoriques»
Exercice 1. Soit E un espace vectoriel sur  de dimension n et soit f  L(E). On suppose
que f n'admet qu'une seule valeur propre 0   et que f est diagonalisable. Déterminer
l'application f, et en déduire la matrice de f dans n'importe quelle base.
Exercice 2. Soit A  M.(). On suppose qu'il existe k tel que Ak = In.
1 - Quelles sont les valeurs propres possibles de A dans  ? dans  ?
2 - Si A est dans Mn() et est diagonalisable sur , montrer que A est la matrice d'une
symétrie.
Exercice 3. Soit A  M.().
1 - Soit P un polynôme de [X]. Montrer que si  est une valeur propre de A, alors
P() est une valeur propre de la matrice P(A) (on pourra commencer par le cas où P est le
monôme Xi).
2 - En déduire que si la matrice P(A) est nulle, alors les valeurs propres de A (si elles
existent) sont parmi les racines du polynôme P.
3 - Si la matrice A vérifie A5 - A4 + 4A3 = 4A2, quelles sont ses valeurs propres
possibles dans  ? dans  ?
Exercice 4. Soit E un -espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E.
A tout polynôme P = a0 + a1 X + + anXn de n[X], on associe l'endomorphisme P(f ) de E
défini par :
P(f)= a0Id + a1 f + + anfn où fk= f f ... f
k fois
1 - Montrer que tout vecteur propre de f est vecteur propre de fk (k  ).
2 - Montrer que si x est un vecteur propre de f associé à la valeur propre , alors x est
un vecteur propre de P(f) associé à la valeur propre P().
3 - Montrer que si f est diagonalisable, alors P(f) l'est aussi.
4 - En utilisant les questions précédentes, montrer que si f est un endomorphisme
diagonalisable et si Q est son polynôme caractéristique, alors Q(f) = 0L(E).
Exercice 5. On considère dans un espace vectoriel E de dimension n un endomorphisme f
diagonalisable possédant seulement deux valeurs propres distinctes 1 et 2 de sous-espaces
propres associés E1 et E2 .
On appelle 1 le projecteur de E sur E1 parallèlement à E 2 et 2 le projecteur de E sur E 2
parallèlement à E1 .
1- Pourquoi 1 et 2 sont-ils bien définis ?
2- Déterminer 1 + 2 ; 1 2 ; 2 1 ; 11 + 22.
Exercice 6. Soit E un espace vectoriel réel de dimension n. Soient u et v deux
endomorphismes de E. Prouver que u v et v u ont les mêmes valeurs propres.
Méthode : on prouvera que si  est une valeur propre de v u alors c'est une valeur propre de
u v en distinguant le cas  = 0 du cas   0.
2 Recherche de valeurs propres et diagonalisation
Exercice 7. Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables dans M3() ? dans M3() ?
 0 1 0 
0 1 1
 1 1 2 
 1 1 0






M1=  1 0 1 ; M2=  1 0 1  ; M3=  2 1 3  ; M4=  1 2 1  ;
1 1 0
 0 2 0 
 1 1 2 
 1 0 1








 1 1 1
M5=  0 1 0 
1 0 1


Déterminer une base de vecteurs propres pour M2.
 i 1 i 1


1 1 1 1

Exercice 8. Soit A =
. Montrer que A est diagonalisable et déterminer une
 i 1 i 1


 1 1 1 1
matrice D diagonale semblable à A ainsi qu'une matrice P inversible telle que D = P-lAP.
Exercice 9. Soit E un espace vectoriel réel de dimension 4 et B = (el, e2, e3, e4) une base de E.
 1
1
1
1 
2
2
2
 2
 1
1
1
1

 
2
2
2
2  par rapport à B.

Soit f l'endomorphisme de E de matrice M =
 1
1
1
1 
 2
2
2
2
 1
1 

1
1
 2
2
2
2 
1 - Déterminer les valeurs propres et les sous espaces propres de f.
2 - Déterminer une matrice D diagonale semblable à M. Caractériser f.
 2 0 1 a 
Exercice 10. Soit a   et soit A =  1 1 a  1 .
 a  1 0 2a 


1 - Montres que 1 est valeur propre de A.
2 - Montrer que A est diagonalisable sur  si et seulement si a=1, puis la diagonaliser
dans ce cas.
Exercice 11. Soit  un réel fixé; on considère la matrice suivante (de taille n)
1
 1


1
1 

A()= 


1

1
1  

1- Montrer que ( - 1) est valeur propre de A() sans calculer le polynôme
caractéristique.
2 - Déterminer le sous-espace propre associé E-1 et donner sa dimension.
3 - Que peut-on dire de l'ordre de multiplicité de ( - 1) ? En déduire le spectre de
A().
4 - La matrice A() est-elle diagonalisable ?
3 Matrices non diagonalisables
Exercice 12. Soit E un -espace vectoriel de dimension 3, muni d'une base B = (el, e2, e3).
On considère l'endomorphisme f de E dont la matrice dans la base B est :
 1 1 0


A =  1 3 1 
 1 1 4 


1- L'endomorphisme f est-il diagonalisable ? Déterminer une base de ses sous-espaces
propres.
2- On pose vl=el+e2, v2=e1+2e2+e3.
a- Déterminer un vecteur v3 tel que f(v3) = v2 + 3v3.
b- Montrer que B' = (v1, v2, v3) est une base de E et écrire la matrice A' de f dans cette
base.
Exercice 13. On considère l'endomorphisme f de 3 dont la matrice par rapport à la base
canonique est
3 2 4


A =  1 3 1 
 2 1 3 


1 - Vérifier que les valeurs propres de f sont -1 et 2, et déterminer leur multiplicité.
2 - Démontrer que f n'est pas diagonalisable.
3 - On pose u = (-1, 0,1) et v = (-2, -1,1). Vérifier que E-1 = Vect{u} et que E2 =
Vect{v}.
4 - Soit H = Ker ((f - 2Id)2). Vérifier que v  H puis déterminer une base (v, w) de H
contenant le vecteur v.
5 - Vérifier que la famille (u, v, w) est une base de 3 puis déterminer la matrice de f
dans cette base. Que constatez-vous ?
Exercice 14. Soient E un espace vectoriel réel de dimension 4 muni d'une base B, a un
endomorphisme de E de matrice A par rapport à B :
 2 0 1 1 


2 0 3 1
A= 
 1 1 4 0 


 1 1 2 2 
1 - Calculer le polynôme caractéristique de la matrice A. Déterminer l'unique valeur
propre réelle  de a.
Existe-t-il une base pour laquelle a est représenté par une matrice diagonale ?
2 - Montrer que le sous-espace propre F associé à 1a valeur propre  est de dimension
2 et trouver 2 vecteurs v1 et v2 formant une base de F.
3-a- Déterminer G = Ker((a - Id)2).
b- Montrer qu'on peut trouver 2 vecteurs wl et w2 linéairement indépendants
appartenant à G et n'appartenant pas à F.
c- Que peut-on dire du sous-espace vectoriel H engendré par wl et w2 ?
4-a- Montrer que F = Im(a - Id).
b- Montrer que si wl et w2 sont définis par a(wl) = wl +vl et a(w2) = w2+v2, alors
(wl, w2) est une famille libre n'appartenant pas à F.
c- Expliciter un choix de w1 et w2.
5- Déduire de ce qui précède une base dans laquelle a est représenté par une matrice
triangulaire et donner cette matrice.
Exercice
0 1
T=  0 0
0 0

 1 3 1
15. Montrer que la, matrice M=  1 3 1  est semblable à la matrice
 2 2 2 


0

1 .
0 
4 Applications
Exercice 16. On considère 3 suites réelles (un)n, (vn)n et (wn)n vérifiant :
 u n 1  v n  w n

 vn 1  w n  u n avec u0, v0, w0  .
w
 n 1  u n  v n
 un 
 
1 - On pose Un =  v n  .
w 
 n
Déterminer la matrice A telle que Un+1 = AUn. Comment Un s'exprime-t-il en fonction de U0 ?
2-a- Diagonaliser la matrice A et écrire la matrice de passage P de la base canonique à
la base de vecteurs propres.
b- Calculer P-1. En déduire l'expression de An en fonction de n.
c- En déduire les expressions de un, vn et wn en fonction de n et de u0, v0 et w0.
3 - En utilisant la même méthode, étudier les suites (sn)n et (tn)n définies par :
sn 1  10sn  28t n
.

t

6s

16t
 n 1
n
n
 4 0 0
 4 0 0


Exercice 17. Soit les matrices A =  2 3 0   M3()et D =  0 3 0   M3().
 1 0 1 
0 0 1




1 - Montrer que A est diagonalisable sur  puis déterminer une matrice P  M3()
inversible telle que A = PDP-1.
a b c
2 - Soit Y =  d e f  une matrice de M3() vérifiant Y2 = D.
g h i 


a- Montrer que YD = DY.
b- Montrer, en calculant les produits YD et DY, que la matrice Y est diagonale.
c- En déduire toutes les matrices Y  M3() telles que Y2 = D.
3 - A l'aide des résultats établis dans les deux questions précédentes, expliquer
comment trouver les solutions X  M3() de l'équation X2 = A.
Exercice 18. Soit x1, x2, x3 et x4 quatre fonctions réelles de variable t.
 x1 (t) 
4 0 2 0




x 2 (t) 
0 4 0 2


Soit X(t) =
, X'(t) la matrice colonne des dérivées et A =
.
2 0 4 0
 x 3 (t) 




0 2 0 4
 x 4 (t) 
1 - Expliciter le système X'(t) = AX (t)
(1).
2 - Montrer que le système (1) est équivalent aux systèmes (2) et (3) suivants :
 x1 '(t) 
 x1 (t) 

  B
 (2)
 x 3 '(t) 
 x 3 (t) 

 x 2 '(t)   B  x 2 (t)  (3)


 x '(t) 

 x 4 (t) 
 4
Quelle est la matrice B ?
3 - Calculer la matrice P telle que B1 = P-1BP soit diagonale (on demande que la
première ligne de P soit formée de 1, et que la, plus grande des valeurs propres de B soit dans
la première colonne de B1).
 x (t)   y (t) 
4 - Résoudre le système (2) en posant :  1  =P  1  .
 x 3 (t)   y3 (t) 
En déduire la solution générale de (1).
5 - Utiliser la même méthode pour résoudre le système X"(t) = AX(t).