EXERCICES SUR LA RÉDUCTION DES MATRICES CARRÉES

Réductions des matrices carrées
Objectifs :
1- Comprendre les notions de valeur propre, vecteur propre, polynôme caractéristique.
2- Savoir déterminer valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice/d'un
endomorphisme.
3- Savoir déterminer si une matrice/endomorphisme est diagonalisable ou non, et la/le
diagonaliser le cas échéant.
4- Avoir rencontré des exemples de matrices/ endomorphismes non diagonalisables,
mais trigonalisés (attention, la trigonalisation n'est pas exigible sans indications)
5- Voir des applications de la réduction : calculs de puissance ou de racines de
matrices, systèmes de suites récurrentes, systèmes différentiels, caractérisation d'un
endomorphisme.
1 Exercices «théoriques»
Exercice
1.
Soit E un espace vectoriel sur  de dimension n et soit f L(E). On suppose
que f n'admet qu'une seule valeur propre 0  et que f est diagonalisable. Déterminer
l'application f, et en déduire la matrice de f dans n'importe quelle base.
Exercice
2.
Soit A M.(). On suppose qu'il existe k tel que Ak = In.
1 - Quelles sont les valeurs propres possibles de A dans  ? dans  ?
2 - Si A est dans Mn() et est diagonalisable sur , montrer que A est la matrice d'une
symétrie.
Exercice
3.
Soit A M.().
1 - Soit P un polynôme de [X]. Montrer que si  est une valeur propre de A, alors
P() est une valeur propre de la matrice P(A) (on pourra commencer par le cas où P est le
monôme Xi).
2 - En déduire que si la matrice P(A) est nulle, alors les valeurs propres de A (si elles
existent) sont parmi les racines du polynôme P.
3 - Si la matrice A vérifie A5 - A4 + 4A3 = 4A2, quelles sont ses valeurs propres
possibles dans  ? dans  ?
Exercice
4.
Soit E un -espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E.
A tout polynôme P = a0 + a1 X + + anXn de n[X], on associe l'endomorphisme P(f ) de E
défini par : P(f)= a0Id + a1 f + + anfn où fk=
k fois
f f ... f
1 - Montrer que tout vecteur propre de f est vecteur propre de fk (k ).
2 - Montrer que si x est un vecteur propre de f associé à la valeur propre , alors x est
un vecteur propre de P(f) associé à la valeur propre P().
3 - Montrer que si f est diagonalisable, alors P(f) l'est aussi.
4 - En utilisant les questions précédentes, montrer que si f est un endomorphisme
diagonalisable et si Q est son polynôme caractéristique, alors Q(f) = 0L(E).

Exercice
5.
On considère dans un espace vectoriel E de dimension n un endomorphisme f
diagonalisable possédant seulement deux valeurs propres distinctes 1 et 2 de sous-espaces
propres associés
E et E
1 2
.
On appelle 1 le projecteur de E sur
E1
parallèlement à
E2
et 2 le projecteur de E sur
E2
parallèlement à
E1
.
1- Pourquoi 1 et 2 sont-ils bien définis ?
2- Déterminer 1 + 2 ; 12 ; 21 ; 11 + 22.
Exercice
6.
Soit E un espace vectoriel réel de dimension n. Soient u et v deux
endomorphismes de E. Prouver que u v et v u ont les mêmes valeurs propres.
Méthode : on prouvera que si  est une valeur propre de v u alors c'est une valeur propre de
u v en distinguant le cas  = 0 du cas  0.
2 Recherche de valeurs propres et diagonalisation
Exercice
7.
Les matrices suivantes sont-elles diagonalisables dans M3() ? dans M3() ?
M1=
0 1 0
1 0 1
0 2 0
; M2=
0 1 1
1 0 1
1 1 0
; M3=
1 1 2
2 1 3
1 1 2
; M4=
1 1 0
1 2 1
1 0 1
;
M5=
1 1 1
0 1 0
1 0 1
Déterminer une base de vecteurs propres pour M2.
Exercice
8.
Soit A =
i 1 i 1
1 1 1 1
i 1 i 1
1 1 1 1
. Montrer que A est diagonalisable et déterminer une
matrice D diagonale semblable à A ainsi qu'une matrice P inversible telle que D = P-lAP.
Exercice
9.
Soit E un espace vectoriel réel de dimension 4 et B = (el, e2, e3, e4) une base de E.
Soit f l'endomorphisme de E de matrice M =
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
par rapport à B.
1 - Déterminer les valeurs propres et les sous espaces propres de f.
2 - Déterminer une matrice D diagonale semblable à M. Caractériser f.

Exercice
10.
Soit a  et soit A =
2 0 1 a
1 1 a 1
a 1 0 2a
.
1 - Montres que 1 est valeur propre de A.
2 - Montrer que A est diagonalisable sur  si et seulement si a=1, puis la diagonaliser
dans ce cas.
Exercice
11.
Soit  un réel fixé; on considère la matrice suivante (de taille n)
A()=
11
11
1
11
1- Montrer que ( - 1) est valeur propre de A() sans calculer le polynôme
caractéristique.
2 - Déterminer le sous-espace propre associé E-1 et donner sa dimension.
3 - Que peut-on dire de l'ordre de multiplicité de ( - 1) ? En déduire le spectre de
A(). 4 - La matrice A() est-elle diagonalisable ?
3 Matrices non diagonalisables
Exercice
12.
Soit E un -espace vectoriel de dimension 3, muni d'une base B = (el, e2, e3).
On considère l'endomorphisme f de E dont la matrice dans la base B est :
A =
1 1 0
1 3 1
1 1 4
1- L'endomorphisme f est-il diagonalisable ? Déterminer une base de ses sous-espaces
propres.
2- On pose vl=el+e2, v2=e1+2e2+e3.
a- Déterminer un vecteur v3 tel que f(v3) = v2 + 3v3.
b- Montrer que B' = (v1, v2, v3) est une base de E et écrire la matrice A' de f dans cette
base.
Exercice
13.
On considère l'endomorphisme f de 3 dont la matrice par rapport à la base
canonique est
A =
3 2 4
1 3 1
2 1 3
1 - Vérifier que les valeurs propres de f sont -1 et 2, et déterminer leur multiplicité.
2 - Démontrer que f n'est pas diagonalisable.
3 - On pose u = (-1, 0,1) et v = (-2, -1,1). Vérifier que E-1 = Vect{u} et que E2 =
Vect{v}.

4 - Soit H = Ker ((f - 2Id)2). Vérifier que v H puis déterminer une base (v, w) de H
contenant le vecteur v.
5 - Vérifier que la famille (u, v, w) est une base de 3 puis déterminer la matrice de f
dans cette base. Que constatez-vous ?
Exercice
14.
Soient E un espace vectoriel réel de dimension 4 muni d'une base B, a un
endomorphisme de E de matrice A par rapport à B :
A=
2 0 1 1
2 0 3 1
1 1 4 0
1 1 2 2
1 - Calculer le polynôme caractéristique de la matrice A. Déterminer l'unique valeur
propre réelle  de a.
Existe-t-il une base pour laquelle a est représenté par une matrice diagonale ?
2 - Montrer que le sous-espace propre F associé à 1a valeur propre  est de dimension
2 et trouver 2 vecteurs v1 et v2 formant une base de F.
3-a- Déterminer G = Ker((a - Id)2).
b- Montrer qu'on peut trouver 2 vecteurs wl et w2 linéairement indépendants
appartenant à G et n'appartenant pas à F.
c- Que peut-on dire du sous-espace vectoriel H engendré par wl et w2 ?
4-a- Montrer que F = Im(a - Id).
b- Montrer que si wl et w2 sont définis par a(wl) = wl +vl et a(w2) = w2+v2, alors
(wl, w2) est une famille libre n'appartenant pas à F.
c- Expliciter un choix de w1 et w2.
5- Déduire de ce qui précède une base dans laquelle a est représenté par une matrice
triangulaire et donner cette matrice.
Exercice
15.
Montrer que la, matrice M=
1 3 1
1 3 1
2 2 2
est semblable à la matrice
T=
0 1 0
0 0 1
000
.
4 Applications
Exercice
16.
On considère 3 suites réelles (un)n, (vn)n et (wn)n vérifiant :
n 1 n n
n 1 n n
n 1 n n
u v w
v w u
w u v
avec u0, v0, w0 .
1 - On pose Un =
n
n
n
u
v
w
.

Déterminer la matrice A telle que Un+1 = AUn. Comment Un s'exprime-t-il en fonction de U0 ?
2-a- Diagonaliser la matrice A et écrire la matrice de passage P de la base canonique à
la base de vecteurs propres.
b- Calculer P-1. En déduire l'expression de An en fonction de n.
c- En déduire les expressions de un, vn et wn en fonction de n et de u0, v0 et w0.
3 - En utilisant la même méthode, étudier les suites (sn)n et (tn)n définies par :
n 1 n n
n 1 n n
s 10s 28t
t 6s 16t
.
Exercice
17.
Soit les matrices A =
4 0 0
2 3 0
1 0 1
M3()et D =
400
0 3 0
0 0 1
M3().
1 - Montrer que A est diagonalisable sur  puis déterminer une matrice P M3()
inversible telle que A = PDP-1.
2 - Soit Y =
a b c
d e f
g h i
une matrice de M3() vérifiant Y2 = D.
a- Montrer que YD = DY.
b- Montrer, en calculant les produits YD et DY, que la matrice Y est diagonale.
c- En déduire toutes les matrices Y M3() telles que Y2 = D.
3 - A l'aide des résultats établis dans les deux questions précédentes, expliquer
comment trouver les solutions X M3() de l'équation X2 = A.
Exercice
18.
Soit x1, x2, x3 et x4 quatre fonctions réelles de variable t.
Soit X(t) =
1
2
3
4
x (t)
x (t)
x (t)
x (t)
, X'(t) la matrice colonne des dérivées et A =
4 0 2 0
0 4 0 2
2 0 4 0
0 2 0 4
.
1 - Expliciter le système X'(t) = AX (t) (1).
2 - Montrer que le système (1) est équivalent aux systèmes (2) et (3) suivants :
11
33
22
44
x '(t) x (t)
B (2)
x '(t) x (t)
x '(t) x (t)
B (3)
x '(t) x (t)
Quelle est la matrice B ?
3 - Calculer la matrice P telle que B1 = P-1BP soit diagonale (on demande que la
première ligne de P soit formée de 1, et que la, plus grande des valeurs propres de B soit dans
la première colonne de B1).
4 - Résoudre le système (2) en posant :
1
3
x (t)
x (t)
=P
1
3
y (t)
y (t)
.
En déduire la solution générale de (1).
5 - Utiliser la même méthode pour résoudre le système X"(t) = AX(t).