C A L C U L D A N S IR

C A L C U L D A N S IR
I-LES ENSEMBLES DE NOMBRES SOUS-ENSEMBLES DE IR :
1) L’ensemble des entiers naturels :
L’ensemble des entiers naturels noté IN est :
IN =
 IN est muni de deux opérations qui sont l’addition et la multiplication.
 L’équation x+n =o n’a pas de solution dans IN, d’où la nécessité d’un
autre ensemble plus vaste que IN.
2) L’ensemble des entiers relatifs :
L’ensemble des entiers relatifs noté Z est :
Z
=
 Z est muni de deux opérations : l’addition et la multiplication.
 Pour un entier relatif a et un entier naturel b, il existe un entier
relatif q et un entier naturel unique r tels que :a =b.q + r.
 Un nombre est premier s’il admet exactement deux diviseurs :1 et lui-
même.
 L’équation 3x + 2=0 n’a pas de solution dans Z. D’où la nécessité d’un
ensemble plus vaste.
3) L’ensemble des nombres décimaux :
D= est l’ensemble des nombres décimaux.
Tout entier relatif p est un nombre décimal.
En effet p = =
4) L’ensemble des nombres rationnels :
L’ensemble des nombres rationnels est :
Q ={ / p Z et q Z* }
Tout nombre décimal est un quotient de deux entiers, donc c’est un
nombre rationnel.
Mais Q est insuffisant pour mesurer toutes les grandeurs physiques.
D’où l’existence des nombres dits nombres irrationnels.
Ainsi : , , sont des nombres irrationnels
.

5) L’ensemble des nombres réels :
La réunion de l’ensemble des nombres rationnels et des
nombres irrationnels constitue l’ensemble des nombres réels
noté IR.
Ainsi
II-CALCUL DANS IR
:
1) Règle de signe :
Pour tout réel a et
b :
(a +b) = a b
(-a)(-b) = ab
(ab) = ( a)b =
a( b)
Si b
0
b
a
b
a
ba
=
b
a
= -
b
a
EXEMPLES :
- (x+2) =-x -2, (-3)(-x) = 3x ; = ;
2) 0pposé :
Deux nombres réels opposés sont deux nombres dont la somme
est nulle.
2 et -2 sont opposé
s
Si a est négatif, -a est
positif ;
Si a est positif, -a est
négatif.
3) Produits :
Pour tous réels a, b, c : a(bc) = (ab)c = abc
a(b+c) = ab + bc
a(b –c) = ab – ac
(a+b(c+d) = ac + ad + bc + bd.
EXEMPLES:
 4(3x²) = 12x²
 -2(x+1) = -2x -2

 3(4x -2) = 12x – 6
 ‘x + 1 )((x + 2 ) = x² + 2x +x + 2 = x² + 3x + 2
4) Quotients:
On suppose dans ce paragraphe tous les dénominateurs non
nuls.
 Simplification :
=
= =
 0pérations :
bca b
c
b
a
bdbcad d
c
b
a
bd
ac
d
c
b
a.
bc
ad
c
d
b
a
d
c
b
a
a
b
b
a
1
EXEMPLES :
 = + = +1
 = = = =…
 =
5 Puissances :

Soit a un réel .Rappelons que an=a.a.a.a….a (n facteurs).0n convient
aussi que pour a 0, a0 =1, a-1 = ,a-2=,…., a-n = .
Pour tous réels a et b non nuls, pour tous entiers relatifs n et p :
anap = an+p, = , = , (ab)n =anbn, =
6) Racine carrée:
Pour tout réel a positif, est l’unique réel positif vérifiant ( )
² = a
III-LES ECRITURES D’UN NOMBRE REEL
:
1) Ecriture décimale illimitée d’un nombre réel :
Tout nombre qui admet une écriture décimale est un nombre
décimal.
 est un décimal car = 2.5. 2.5 est l’écriture décimale de
 n’est pas un nombre décimal car elle admet une écriture décimale
Illimitée périodique. =2,2727272……. :ce que l’on indique en
écrivant 2, …
On admet que, tout nombre rationnel admet une écriture
décimale illimitée périodique. Tout nombre qui admet une
écriture décimale illimitée périodique est un nombre rationnel.
 Posons x= 1,414 alors 1000x – x =1414,414-1,414
999x =1413
x=
La méthode consiste à déduire x du résultat du calcul de 10nx –x; n
étant le nombre de chiffres dans la période.
 Ecriture décimales illimitées de et .
= 3,141592653589…. Et =1,41421356…
Pour tous réels a et b strictement positifs :
= . , = , =

2) Notation scientifique :
Tout nombre décimal peut s’écrire sous la forme du produit d’un
nombre décimal ayant un seul chiffre non nul avant la virgule par une
puissance de dix.
 Ainsi 8410000=8,41.106 et -0,00000017 = - 1,7.10-7
IV-La représentation graphique de IR :
0n représente IR par une droite graduée avec les conventions :
-tout réel est représenté par un point de cette droite.
-tout point de cette droite représente un réel.
V-Intervalles de IR :
L’intervalle fermé (a, b) noté [a ; b] est :
[a ; b] ={x IR/ a≤ x b}.
L’intervalle ouvert (a, b) noté] a ; b [est :
]a ; b[ ={x IR / a< x < b}
]a, b] ={x .IR/ a x b}
[a, b[ ={ x .IR/ a x b}
]a, +∞[ ={x IR/ x a}
[a, +∞[ ={x IR/x a}
]-∞, b]={ x IR/x b }
]-∞, b[={x IR/x b}
VI-VALEUR ABSOLUE :
1) Distance de deux nombres réels :
Soient a un nombre réel positif, x et y deux nombres quelconques.0ndit
que y est à une distance a de x si, et seulement si x-a=y ou x+a =y.
1er cas : x y dans ce cas x –a =y