C A L C U L D A N S IR I-LES ENSEMBLES DE NOMBRES SOUS-ENSEMBLES DE IR : 1) L’ensemble des entiers naturels : L’ensemble des entiers naturels noté IN est : IN = IN est muni de deux opérations qui sont l’addition et la multiplication. L’équation x+n =o n’a pas de solution dans IN, d’où la nécessité d’un autre ensemble plus vaste que IN. 2) L’ensemble des entiers relatifs : L’ensemble des entiers relatifs noté Z est : Z = Z est muni de deux opérations : l’addition et la multiplication. Pour un entier relatif a et un entier naturel b, il existe un entier relatif q et un entier naturel unique r tels que :a =b.q + r. Un nombre est premier s’il admet exactement deux diviseurs :1 et luimême. L’équation 3x + 2=0 n’a pas de solution dans Z. D’où la nécessité d’un ensemble plus vaste. 3) L’ensemble des nombres décimaux : est l’ensemble des nombres décimaux. D= Tout entier relatif p est un nombre décimal. En effet p = = 4) L’ensemble des nombres rationnels : L’ensemble des nombres rationnels est : Q ={ /p Z et q Z* } Tout nombre décimal est un quotient de deux entiers, donc c’est un nombre rationnel. Mais Q est insuffisant pour mesurer toutes les grandeurs physiques. D’où l’existence des nombres dits nombres irrationnels. Ainsi : . , , sont des nombres irrationnels 5) L’ensemble des nombres réels : La réunion de l’ensemble des nombres rationnels et des nombres irrationnels constitue l’ensemble des nombres réels noté IR. Ainsi II-CALCUL DANS IR : 1) Règle de signe : b: Pour tout réel a et (a +b) = a b (-a)(-b) = ab (ab) = ( a)b = a( b) Si b 0 a a b b a = a = b b - a b EXEMPLES : - (x+2) =-x -2, (-3)(-x) = 3x ; = ; 2) 0pposé : Deux nombres réels opposés sont deux nombres dont la somme est nulle. 2 et -2 sont opposé s Si a est négatif, -a positif ; Si a est positif, -a négatif. est est 3) Produits : Pour tous réels a, b, c : a(bc) = (ab)c = abc a(b+c) = ab + bc a(b –c) = ab – ac (a+b(c+d) = ac + ad + bc + bd. EXEMPLES: 4(3x²) = 12x² -2(x+1) = -2x -2 3(4x -2) = 12x – 6 ‘x + 1 )((x + 2 ) = x² + 2x +x + 2 = x² + 3x + 2 4) Quotients: On suppose dans nuls. ce paragraphe tous les dénominateurs non Simplification : = = = 0pérations : a c ac b b b a c ad bc b d bd a c ac . b d bd a b a d ad c b c bc d 1 b a a b EXEMPLES : = + = +1 = = 5 Puissances : = = =… Soit a un réel .Rappelons que an=a.a.a.a….a (n facteurs).0n convient -1 aussi que pour a 0, a0 =1, a = ,a-2= ,…., a-n = . Pour tous réels a et b non nuls, pour tous entiers relatifs n et p : anap = an+p, 6) = , , = (ab)n =anbn, = Racine carrée: Pour tout réel a positif, ²=a est l’unique réel positif vérifiant ( ) Pour tous réels a et b strictement positifs : = . , , = = III-LES ECRITURES D’UN NOMBRE REEL : 1) Ecriture décimale illimitée d’un nombre réel : Tout nombre qui admet une écriture décimale est un nombre décimal. est un décimal car = 2.5. 2.5 est l’écriture décimale de n’est pas un nombre décimal car elle admet une écriture décimale Illimitée périodique. écrivant 2, =2,2727272……. :ce que l’on indique en … On admet que, tout nombre rationnel admet une écriture décimale illimitée périodique. Tout nombre qui admet une écriture décimale illimitée périodique est un nombre rationnel. Posons x= 1,414 alors 1000x – x =1414,414-1,414 999x =1413 x= La méthode consiste à déduire x du résultat du calcul de 10nx –x; n étant le nombre de chiffres dans la période. Ecriture décimales illimitées de = 3,141592653589…. Et et . =1,41421356… 2) Notation scientifique : Tout nombre décimal peut s’écrire sous la forme du produit d’un nombre décimal ayant un seul chiffre non nul avant la virgule par une puissance de dix. Ainsi 8410000=8,41.106 et -0,00000017 = - 1,7.10-7 IV-La représentation graphique de IR : 0n représente IR par une droite graduée avec les conventions : -tout réel est représenté par un point de cette droite. -tout point de cette droite représente un réel. V-Intervalles de IR : L’intervalle fermé (a, b) noté [a ; b] est : [a ; b] ={x IR/ a≤ x b}. L’intervalle ouvert (a, b) noté] a ; b [est : ]a ; b[ ={x IR / a< x < b} ]a, b] ={x .IR/ a x b} [a, b[ ={ x .IR/ a x b} ]a, +∞[ ={x IR/ x a} [a, +∞[ ={x IR/x a} ]-∞, b]={ x IR/x b } ]-∞, b[={x IR/x b} VI-VALEUR ABSOLUE : 1) Distance de deux nombres réels : Soient a un nombre réel positif, x et y deux nombres quelconques.0ndit que y est à une distance a de x si, et seulement si x-a=y ou x+a =y. 1er cas : x y dans ce cas x –a =y 2ième cas : x y dans ce cas x + a = y Dans les deux cas, a est appelé distance de y à x et noté d(y, x) x y _ si _ x y y x _ si _ x y d(y,x) = d(y,x) =d(x,y) d(x,y) =0 si et seulement si, x =0. D(z,x) d(z,y) + d(y,x). 2) Valeur absolue d’un nombre réel : La distance de 0 à x est appelée valeur absolue de x et notée : = d(y, x) = x y x = 0si, et seulement si x =0 Quel que soit le réel x , x 0 x = x x x 2 x =x x y x y + x 3) Inéquation a si et seulement si -a x a. b: Soient a et b deux nombres réels donnés, b 0 et x un réel quelconque . 0n sait que b si et seulement si –b x – a b. Donc a-b x a + b. L’ensemble des solutions est :S =[a – b ; a + b]. S est l’intervalle fermé de centre a . Résolvons dans IR l’inéquation : 2. L’inéquation est équivalente à -2 x -3 2. C’est-à-dire 3 -2 x 3+2. S =[1, 5]. Résolvons dans IR : . 0n a : -6 -2 2x -6+2,c’est à dire que ;-8 2x -4 Donc :-4 x -2. S = [-4, -2]. VII-CALCUL APPROCHE : 1) Approximation d’ordre n : Soit x un réel. Les nombres décimaux consécutifs et sont appelés approximations décimales d’ordre n de respectivement par défaut et par excès si, et seulement si, x x Ainsi 3,1 3,2 3,1 est l’approximation décimale d’ordre 1 par défaut de 3,2 est l’approximation décimale d’ordre 1 par excès de 1,41 1,42. 1,41 est l’approximation décimale d’ordre 2 par défaut de 1,42 est l’approximation décimale d’ordre 2 par excès de . . . . 2) Arrondis d’ordre n : Soit x un réel. 0n appelle arrondi d’ordre n de x l’approximation décimale d’ordre n qui est à la plus petite distance de x. Soient a et b les approximations décimales d’ordre n de x avec a b. si x [a, si x ] ab [ alors a est l’arrondi d’ordre n de x. 2 ab , b] alors b est l’arrondi d’ordre n de x. 2 si x = ab alors 0n convient de prendre pour arrondi 2 d’ordre n de x l’approximation décimale valeur absolue . 3) Encadrement d’un nombre réel : qui a la plus grande 0n appelle encadrement d’un nombre réel x tout intervalle borné contenant x. l’amplitude de l’encadrement est la distance des extrémités de cet encadrement. [3,1 ; 3,2] est un encadrement de En effet, 3,1 3,2 et 3,2 -3,1 = 0,1 d’ amplitude 0,1.