1ES DES SAVOIR-FAIRE CORRECTION exercices 40, 41, 42, 50

1ES DES SAVOIR-FAIRE CORRECTION exercices 40, 41, 42, 50 page 73
40 page 73 f(x) =
4x1
x3
définie sur ]-∞ ; 3[.
La fonction f est de la forme
u
v
, f est dérivable comme le quotient de deux fonctions dérivables sur ]-∞ ; 3[.
Et sa dérivée est de la forme : f ’ = (
u
v
) ‘ =
u'vuv'
v2
Avec u (x) = 4x + 1 u ‘ (x) = 4
v (x) = x – 3 v’(x) = 1
f ’(x) =
4(x3) 4x1 1
(x3)213 (x3)213 x26x9
41 page 73 P : y = -x2 + 4x – 2 P’ : y = x2 – 8x + 16
A) Si les paraboles P et P’ se coupent en un point ( ou
plusieurs) alors l’abscisse de ce point (ces points) est
solution de l’équation : -x2 + 4x – 2 = x2 – 8x + 16
 -2x2 + 12x – 18 = 0
-2(x2 - 6x + 9) = 0
x2 - 6x + 9 =0
Calcul du discriminant : ∆ = b2 – 4ac = 36 – 4*1*9 = 0
Il y a une unique solution : x =
b
2a
=
6
23
Il y a donc un unique point d’intersection entre P et P’ et
son abscisse est : x = 3
Son ordonnée est :
y = -x2 + 4x – 2= -32 + 4*3 – 2=-9 + 12 -2 = 1
Donc P et P’ se coupent en (1 ; 3)
B) On pose f(x) = -x2 + 4x – 2 et g(x) = x2 – 8x + 16
La tangente à P au point d’intersection d’abscisse 3 a pour équation y = f ‘ (3) (x-3) + f(3)
La tangente à P’ au point d’intersection d’abscisse 3 a pour équation y = g‘ (3) (x-3) + g(3)
Les deux paraboles ont donc une tangente commune : y = -2x +7
f(3) = 1
f ’(x) = -2x +4
f ‘ (3) = -2* 3 + 4 = -6 + 4 = -2
g(3) = 1
g ’(x) = 2x – 8
g ‘ (3) = 2*3 – 8 = -2
y = f ‘ (3) (x-3) + f(3)
y = -2(x-3) + 1
y = -2x +7
y = g ‘ (3) (x-3) + g(3)
y = -2(x-3) + 1
y = -2x +7
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Soient les fonctions définies sur ] 1 ; +∞[
f(x) =
3x2
x1
et g(x) =
4x25
x1
on a : f ’(x) =
5
(x1)2
et g’(x) =
4x28x5
(x1)2
Pour démontrer qu’il existe un point où les courbes Cf et
Cg admettent des tangentes parallèles, on cherche le
coefficient directeur des tangentes à Cf et des tangentes
à Cg et pour quelles valeurs de x, elles sont égales.
Pour cela on résout :
5
(x1)2
=
4x28x5
(x1)2
 -5 = 4x2 – 8x -5
 0 = 4x2 – 8x
 0 = 4x(x – 2)
soit x = 0 soit x =2
Or on étudie ses fonctions sur ] 1 ; +∞[, alors on ne
retient que la solution x = 2.
Donc les courbes ont des tangentes parallèles au point

d’abscisse 2.