Exercice 2

Devoir Bilan de Mathématiques – 1èreS - Corrigé
Exercice 1
1- Pour tout réel x :
2π
4π
2π
2π
4π
4π
cosx+ cos (x+ ) + cos (x+ ) = cosx+cosxcos -sinxsin +cosxcos -sinxsin
3
3
3
3
3
3
1
1
√3
√3
=cosx- cosx- sinx- cosx+ sinx=0 .
2
2
2
2
2- Pour tous réels a et b :
sin(a+b)sin(a-b) = (sinacosb+sinbcosa)(sinacosb-sinbcosa)
= sin²acos²b-sin²bcos²a
= sin²a(1-sin²b)-sin²b(1-sin²a)
= sin²a-sin²asin²b-sin²b+sin²asin²b
= sin²a-sin²b.
π
3- a) cos²x = 1-sin²x et comme x∈ [0 ; ] , cosx≥0, donc cosx =√1-sin²x.
2
2
√2+√3
4-2-√3 √2-√3
Donc : cosx =√1- (
) =√
=
.
2
4
2
√2+√3 √2-√3 √(2+√3)(2-√3) 1
sin2x = 2sinxcosx = 2×
×
=
= .
2
2
2
2
2
√2-√3
2-√3
√3
cos2x = 2cos²x-1 = 2× (
) -1=
-1= - .
2
2
2
π
b) Comme x∈ [0 ; ] , alors 2x∈[0 ; π] et d' après les expressions de cos2x et sin2x précédentes, on a :
2
5π
5π
2x=
et donc x= .
6
12
Exercice 2
(x-5)(x+1)+(y+4)(y-2) = 0 ⟺…⟺ x²-4x+y²+2y-13 = 0 ⟺…⟺ (x-2)²+(y+1)² = 18.
Donc l’ensemble des points M dont les coordonnées vérifient cette équation est le cercle de centre
A(2 ; -1) et de rayon r = √18 = 3√2.
Exercice 3
1- J est le barycentre de (A,3) et (C,-2) donc on le place à l’aide de la relation :
-2
⃗⃗⃗⃗ =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = -2AC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
AJ
AC
3 -2
2- I est le milieu de [AB], donc I est l’isobarycentre de A et B.
⃗⃗⃗⃗⃗ ⟺…⟺ -3KB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ . Donc K est le barycentre de (B,3) et (C,-2).
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2KC
BK=-2BC
3- J est le barycentre de (A,3) et (C,-2), K est le barycentre de (B,3) et (C,-2), I est le barycentre de (A,3)
et (B,3).
Appelons G le barycentre de (A,3), (B,3) et (C,-2).
Alors, d’après la propriété d’associativité, on a :
G est le barycentre de (J,1) et (B,3), donc G∈(BJ),
G est le barycentre de (K,1) et (A,3), donc G∈(AK),
G est le barycentre de (I,6) et (C,-2), donc G∈(CJ).
Donc (BJ), (CI) et (AK) sont concourantes en G.
4- La propriété fondamentale du barycentre appliquée à J puis à K donne :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -2MC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (3-2)MJ
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (-3+2)MK
⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2MC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = -MK
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
3MA
MJ et -3MB
Donc :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -2MC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖=‖-3MB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖⟺ ‖MJ
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2MC
⃗⃗⃗⃗⃗ ‖=‖-MK
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ ⟺MJ=MK ⟺M appartient à la médiatrice de [JK].
‖3MA
(E) est la médiatrice de [JK].
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -2MC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖=AB ⟺ MJ = AB = 4 ⟺ M appartient au cercle de centre J et de rayon 4.
5- ‖3MA
(F) est le cercle de centre J et de rayon 4.
Exercice 4
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = -AC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .AB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , or ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AH×AB, où H est le projeté orthogonal de C sur (AB), et H∈[AB),
1- a) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
AC.BA
AC.AB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = -2×6,4 = -12,8.
AH = DC = 2. Donc ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
AC.BA
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AD², car D est le projeté orthogonal de C sur (AD). Donc ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 4,8² = 23,04.
AC.AD
AC.AD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )= ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .AD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = -12,8+23,04 = 10,24. (D’après la relation de Chasles et
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
b) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
AC.BD
AC.(BA
AC.BA
la question précédente).
2- a) Le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles ADC et BAD donne :
AC = 5,2 et BD = 𝟖.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC×BD×cos(AC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
b) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
AC.BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 10,24
AC.BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ≈ 76°.
c) Donc cos(AC
=
et on en déduit avec la calculatrice :(AC
AC×BD 5,2×8
Exercice 5
1- Df = ℝ\{𝟑}.
2- Pour tout x de Df, : ax+b+
c
ax²+(-3a+b)x-3b+c
=…=
.
x-3
x-3
Par identification avec f(x), on trouve a = -1, b = 2 et c = 1. Donc pour tout x de Df, : f(x) = -x+2+
3- a) Cette dernière expression donne : pour tout x de Df, : f '(x) = -1-
1
-x²+6x-10
=…=
.
(x-3)²
(x-3)²
1
.
x-3
b) f’(x) ayant un dénominateur positif, elle est du signe du numérateur.
Le discriminant de –x²+6x-10 est -4<0, donc le trinôme n’a pas de racine est est du signe de a = -1, donc
négatif. Donc f’(x) <0, pour tout x de Df.
c)
x
-∞
3
+∞
f’(x)
f(x)
1
1
1
1
-(3-x)+2+
=-3-x+2+ -3+x+2- =-2=2×(-1).
(3+x)-3
(3-x)-3
x
x
Donc S(3 ; -1) est centre de symétrie de la courbe.
1
1
5- En utilisant l’expression du 2- : f(x)-y= -x+2+
-(-x+2)=
, qui est du signe de x-3.
x-3
x-3
Si x>3, 𝑪𝒇 est au dessus de (d), si x<3, 𝑪𝒇 est en dessous de (d).
-x²+5x-5
6- f(x)=0 ⟺
= 0 ⟺-x²+5x+5=0. Le discriminant du trinôme est 5, donc :
x-3
5-5√5 5+5√5
S= {
;
}
2
2
Et :
5+5√5
5-5√5
A(
;0) , B (
;0).
2
2
7- L’équation est y = f’(2)(x-2)+f(2), avec f(2) =…= -1 et f’(2) =…= -2.
D’où : y = -2x+3.
4- f(3+x)+f(3-x) = -(3+x)+2+
8- Le coefficient directeur de (d) est -1. Il faut donc résoudre l’équation f’(x) = -1.
f’(x) = -1 ⟺…⟺ -x²+6x-10 = (x-3)² ⟺…⟺ -1 = 0 ! L’équation n’a pas de solution et