Exercice 2

Devoir Bilan de Mathématiques – 1èreS - Corrigé
Exercice 1
cosx+ cos x+ 2π
3+ cos x+ 4π 3 = cosx+cosxcos 2π 3-sinxsin 2π 3+cosxcos 4π 3-sinxsin 4π 3
=cosx- 1
2cosx- 3 2sinx- 1 2cosx+ 3 2sinx=0 .
2- Pour tous réels a et b :
sin(a+b)sin(a-b) = (sinacosb+sinbcosa)(sinacosb-sinbcosa)
= sin²acos²b-sin²bcos²a
= sin²a(1-sin²b)-sin²b(1-sin²a)
= sin²a-sin²asin²b-sin²b+sin²asin²b
= sin²a-sin²b.
3- a) cos²x = 1-sin²x et comme x0 ; π
2, cosx≥0, donc cosx =1-sin²x.
Donc : cosx =1- 2+3
22
=4-2-3
4=2-3 2.
sin2x = 2sinxcosx = 2× 2+3
2×2-3 2=2+32-3 2=1 2.
cos2x = 2cos²x-1 = 2× 2-3
22
-1= 2-3
2-1=-3 2.
b) Comme x0 ; π
2, alors 2x0 ; π et d'aprèsles expressions de cos2x et sin2x précédentes, on a :
2x= 5π
6 et donc x= 5π 12 .
Exercice 2
x-5x+1+y+4y-2=0 … x²-4x+y²+2y-13=0 … (x-2)²+(y+1)²=18
Donc l’ensemble des points M dont les coordonnées vérifient cette équation est le cercle de centre
A(2 ; -1) et de rayon r=18 = 32.
Exercice 3
1- J est le barycentre de (A,3) et (C,-2) donc on le place à l’aide de la relation :
AJ =-2
3-2 AC
=-2AC .
2- I est le milieu de [AB], donc I est l’isobarycentre de A et B.
BK =-2BC … -3KB +2KC =0 . Donc K est le barycentre de (B,3) et (C,-2).
3- J est le barycentre de (A,3) et (C,-2), K est le barycentre de (B,3) et (C,-2), I est le barycentre de (A,3)
et (B,3).
Appelons G le barycentre de (A,3), (B,3) et (C,-2).
Alors, d’après la propriété d’associativité, on a :
G est le barycentre de (J,1) et (B,3), donc G(BJ),
G est le barycentre de (K,1) et (A,3), donc G(AK),
G est le barycentre de (I,6) et (C,-2), donc G(CJ).
Donc (BJ), (CI) et (AK) sont concourantes en G.
4- La propriété fondamentale du barycentre appliquée à J puis à K donne :
3MA -2MC = 3-2MJ = MJ et -3MB +2MC = -3+2MK = -MK .

Donc :
3MA -2MC =-3MB +2MC  MJ =-MK  MJ=MK M appartient à la médiatrice de JK.
(E) est la médiatrice de [JK].
5- 3MA -2MC =AB  MJ = AB = 4  M appartient au cercle de centre J et de rayon 4.
(F) est le cercle de centre J et de rayon 4.
Exercice 4
1- a) AC .BA = -AC .AB , or AC .AB =AH×AB, où H est le projeté orthogonal de C sur (AB), et H[AB),
AH = DC = 2. Donc AC .BA =-2×6,4= -12,8.
AC .AD =AD², car D est le projeté orthogonal de C sur (AD). Donc AC .AD = 4,8²=23,04.
b) AC .BD =AC .BA +AD = AC .BA +AC .AD = -12,8+23,04= 10,24. (D’après la relation de Chasles et
la question précédente).
2- a) Le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles ADC et BAD donne :
AC = 5,2 et BD = .
b) AC .BD =AC×BD×cos(AC ,BD )
c) Donc cosAC ;BD =AC
.BD
AC×BD =10,24 × et on en déduit avec la calculatrice :AC
;BD ≈76°.
Exercice 5
1- Df = 
2- Pour tout x de Df, : ax+b+ c
x-3 =…= ax²+-3a+bx-3b+c x-3 .
Par identification avec fx, on trouve a = -1, b = 2 et c = 1.Donc pour tout x de Df, : fx = -x+2+ 1
x-3 .
3- a) Cette dernière expression donne : pour tout x de Df, : f 'x = -1- 1
(x-3)² =…=-x²+6x-10 (x-3)² .
b) f’(x) ayant un dénominateur positif, elle est du signe du numérateur.
Le discriminant de –x²+6x-10 est -40, donc le trinôme n’a pas de racine est est du signe de a = -1, donc
négatif. Donc f’(x)0, pour tout x de Df.
c)
x
-∞ 3 +∞
f’(x)
-
-
f(x)
4- f3+x+f(3-x) = -(3+x)+2+ 1
(3+x)-3 -(3-x)+2+ 1 (3-x)-3 =-3-x+2+ 1 x-3+x+2- 1 x=-2=2×(-1).
Donc S(3 ; -1) est centre de symétrie de la courbe.
5- En utilisant l’expression du 2- : fx-y= -x+2+ 1
x-3 --x+2= 1 x-3 , qui est du signe de x-3.
Si x3,  est au dessus de (d), si x3,  est en dessous de (d).
6- f(x)=0  -x²+5x-5
x-3 = 0 -x²+5x+5=0. Le discriminant du trinôme est 5, donc :
S= 5-55
2 ; 5+55 2
Et :
A5+55
2;0, B 5-55 2;0
7- L’équation est y = f’(2)(x-2)+f(2), avec f(2) =…= -1 et f’(2) =…= -2.
D’où : y = -2x+3.
8- Le coefficient directeur de (d) est -1. Il faut donc résoudre l’équation f’(x) = -1.
f’(x) = -1 … -x²+6x-10 = (x-3)² … -1 = 0 ! L’équation n’a pas de solution et