Premiere s exercices sur la derivation 2010

Première S
Exercices sur la dérivation
2010-2011
Exercice 1
Calculer f'(x) en précisant pour quelles valeurs le calcul est valable.
1) f(x) =
2 – x²
2 + x²
2) f(x) =
1
sin x.
x²
3) f(x) =
x-4
π

4) f(x) = cos2x + 3


Exercice 2 : Déterminer une fonction polynôme
f est une fonction polynôme du second degré, C sa courbe représentative
→→
dans un repère orthonormal (O; i ; j ).
Le point A de coordonnées (1;6) est un point de C, la tangente T à C au
point d'abscisse 2 est parallèle à la droite d'équation y = 10x – 5 et f(2) =
13.
Objectif : Déterminer, si elle existe, la fonction f.
1) Un polynôme est entièrement déterminé par la donnée de ses
coefficients. On pense donc à écrire f(x) = ax² + bx + c, avec a, b, c
réels (a ≠ 0).
Savoir si f existe revient à savoir si on peut trouver trois nombres a, b,
c qui répondent aux exigences de l'énoncé.
a) Pourquoi les données permettent-elles de calculer f(1) et f'(2) ?
Préciser ces valeurs.
b) Prouver que le problème posé est équivalent à : existe-t-il des
nombres a, b, c, a ≠ 0, tels que :
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4a + b = 10

a + b + c = 6
?
4a + 2b + c = 13
2) Vous n'avez pas l'habitude de résoudre un tel système … Mais la
première équation ne contient que deux des trois inconnues. Elle
permet alors, par exemple, d'exprimer b en fonction de a.
a) Vérifier alors que le système est équivalent à :
 b = 10 – 4a

-3a + c = -4
-4a + c = -7
b) Calculer alors a et c, puis en déduire b.
c) Conclure.
Exercice 3 : Tangentes à une courbe passant par un point
→→
Dans un repère (O; i ; j ), C est la courbe représentative de la fonction
f:x→
x²
-2x + 3 et A le point de coordonnées (1;-1).
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Objectif : Déterminer, si elles existent, les tangentes à C passant par A.
1) L'utilisation d'un graphique peut permettre de mieux saisir la situation.
a) A l'aide d'un traceur de courbe ou de la calculatrice, commencer par
tracer C puis placer A.
b) Le point A est-il sur C ? Conjecturer le nombre de tangentes à C
passant par A.
2) Il s'agit en fait de trouver le (ou les) point(s) N de C en lesquels la
tangente à C passe par A. Pour connaître un point de C, il suffit de
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connaître son abscisse. On choisit donc comme inconnue l'abscisse n de
N.
a) Trouver en fonction de n une équation de la tangente Tn en N à C.
b) Démontrer que "Tn passe par A" équivaut à "n² - 2n – 4 = 0".
c) Résoudre cette équation. Combien trouvez-vous de tangentes Tn ?
Concluer en plaçant les points trouvés et en traçant les tangentes.
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CORRECTION
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Exercice b + c = 1
1) f est du type
u
avec u(x) = 2 – x² et v(x) = 2 + x²
v
u' u'v – uv'
  =
v²
v
Or u'(x) = -2x et v'(x) = 2x
-2x×(2 + x²) – (2 – x²)×2x -2x (2 + x² + 2 – x²)
-8x
=
=
(2 + x²)²
(2 + x²)²
(2 + x²)²
Donc f'(x) =
f' est définie comme f sur r.
2) f = uv avec u(x) =
1
et v(x) = sin(x)
x²
f' = u'v + uv'
Or u'(x) = -
2
et v'(x) = cos(x)
x3
2
1
Donc f'(x) = - 3 sin(x) +
cos(x)
x
x²
f' est définie comme f sur r*.
3) f(x) = u(3x – 4) avec u(x) =
x
3
Donc f'(x) =
2 3x - 4
4

4

f est définie sur  , +∞  et f' sur  , +∞ .
3

3

π

4) f(x) = u2x + 3 avec u(x) = cos(x)


π

Donc f'(x) = -2 sin2x + 3


f et f' sont définies sur r.
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CORRECTION
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Exercice 2
1) a) Si A(1;6) ∈ C alors f(1) = 6
La tangente T à C au point d'abscisse 2 étant parallèle à la droite
d'équation y = 10x – 2, ces deux droites ont le même coefficient directeur
10 et f'(2) = 10.
b) Si f(x) = ax² + bx + c alors f'(x) = 2ax + b
f'(2) = 10

f(1)=6
f(2)=13
4a + b = 10

a + b + c = 6
4a + 2b + c = 13
2) a) En substituant b = 10 – 4a dans les deux dernières équations on
obtient le système équivalent suivant :
b = 10 – 4a

a + 10 – 4a + c = 6
4a + 20 – 8a + c = 13
b = 10 – 4a

-3a + c = -4
-4a + c = -7
b) Les deux dernières équations de ce système forme un système de
deux équations à deux inconnues a et c.
D'où : -3a + 4a = -4 + 7
Soit a = 3.
On en déduit facilement : c = -4 + 3a = -4 + 9 = 5.
Puis b = 10 – 4a = 10 – 12 = -2
c) Le polynôme est donc déterminé : f(x) = 3x² - 2x + 5
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CORRECTION
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Vérification graphique :
Exercice 3 : Tangentes à une courbe passant par un point
1) a)
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b)
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CORRECTION
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Le point A n'appartient pas à C car f(1) = 1,5 ≠ -1.
Il semble qu'il y ait deux tangentes à C passant par A (une de pente
négative et une de pente positive)
2) a)
Une équation de Tn est : y = f'(n)(x – n) + f(n)
Or f'(n) = n – 2 et f(n) =
n²
- 2n + 3.
2
Une équation de Tn est donc : y = (n – 2)(x – n) +
b)
c)
Tn passe par A -1 = (n – 2)(1 – n) +
n²
- 2n + 3
2
n²
- 2n + 3
2
n²
+ n + 2n – 2n – 2 + 3
2
-1 = -
-2 = - n² + 2n + 2
n² - 2n – 4 = 0
∆ = (-2)² + 4×4 = 20 = (2 5)²
D'où n =
2-2 5
=12
5 ou n = 1 +
5
Il existe donc deux tangentes Tn.
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CORRECTION
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