Un circuit RC série est connecté à une source de tension de f

Exercices 4.
Equations différentielles linéaires.
I. Applications à l'électricité.
4.1. Circuit RC série soumis à une tension créneau.
Un circuit RC série est connecté à une source de tension de f.é.m e(t) alternative, rectangulaire,
de période T très supérieure à la constante de temps RC.
Le condensateur est initialement déchargé u(0) = 0.
1.
2.
3.
4.
Déterminer l'équation différentielle vérifiée par u.
Déterminer la loi u(t) pour tout t.
En déduire la loi i(t) pour tout t.
Donner l'allure des courbes u(t) et i(t).
4.2. Régime transitoire et facteur de qualité d'un circuit RLC.
On réalise le circuit qui comprend une résistance variable R, une bobine d’inductance L et de
résistance négligeable, un condensateur parfait de capacité C et un générateur de f.é.m. E
constante. Le circuit est muni d'un interrupteur double K.
R
1
On posera  
.
et O 
2L
LC
L’interrupteur K étant en position (2), on le bascule en position (1) à l'instant initial t = 0 où la
charge du condensateur est qo. On supposera le circuit RLC faiblement amorti :  << o.
1. Déterminer, en fonction de  et o, l'équation différentielle vérifiée par la charge q
portée par le condensateur.
2. Exprimer la charge q (t) du condensateur à l'instant t, en fonction de qo,  et o.
3. Tracer le graphe q(t).
4.3. Réponse à une tension en dents de scie.
On considère le circuit de la figure suivante :
A l'instant initial, les condensateurs C et C ' sont déchargés.
On applique aux bornes d'entrée de ce circuit une tension variable e(t). On appelle s(t) la
tension de sortie.
1. Etablir l'équation différentielle reliant la tension de sortie s(t), sa dérivée par rapport au
temps et la dérivée par rapport au temps de la tension d'entrée.
La tension d'entrée e(t) est une impulsion de durée T telle que :
e(t) = 0
pour t  0 et t > T
e(t) = kt pour 0 < t  T où k est une constante.
2. Exprimer s(t) pour tout temps t. On supposera T >> R (C + C’) = .
3. Représenter la courbe s(t) pour 0 < t < 2 T, associée à la courbe e(t).
4.4. Circuit de Wien en régime transitoire.
On considère le montage suivant:
On donne R = 10 k, C = 0,1 F et on pose  = RC.
1. Etablir l'équation différentielle vérifiée par la tension v.
2. Exprimer v(t) sachant que u(0) = 3 V et que v(0) = 0.
3. Déterminer la date à laquelle la tension v passe par un maximum.
4. Tracer le graphe de v(t).
II. Applications à la mécanique.
4.5. Lancement d'un projectile.
Un projectile M, initialement en O, est lancé avec une vitesse vo inclinée d'un angle  par
rapport à l'axe horizontal Ox (vo est contenu dans le plan xOz ).
Ce projectile de masse m subit l'action du champ de pesanteur uniforme g et d'une force de
frottement "fluide" f = - kv.
1. Déterminer l'équation différentielle vérifiée par le vecteur vitesse.
2. Déterminer les lois horaires vx(t), vy(t) et vz(t).
3. Déterminer les lois horaires x(t), y(t) et z(t).
4. Donner l'allure de la trajectoire.
4.6. Particule élastiquement liée.
On considère une particule M de masse m fixée à l'extrémité d'un ressort de constante de
raideur k. Cette particule est astreinte à se déplacer le long de l'axe horizontal Ox. Les
frottements sont modélisés par une force de frottement fluide f = -v.
1. Déterminer l'équation différentielle du mouvement.
2. Représenter les différentes courbes possibles pour x(t).
4.7. Mouvement d’une sphère dans le liquide d’un bassin de stockage.
Une pièce sphérique homogène S, de masse m et de rayon a, pénètre verticalement dans le
bassin de stockage, rempli sur une hauteur h, d’un liquide de masse volumique .
Le centre de la pièce « plonge » à l’instant t = 0 en O, à la distance a de la surface libre du
liquide à l’intérieur du bassin, avec une vitesse verticale de plongée vo.
On tiendra compte de la force de viscosité f = -kv opposée au déplacement et proportionnelle à
la vitesse de S ( k est une constante positive ). On rappelle que la poussée d’Archimède est
égale et opposée au poids du volume de liquide déplacé.
On donne :
m = 1,4 kg ; a = 3,5 cm ;  = 860 kg.m-3 ; k = 0,5 SI ; vo = 2 m/s ; g = 9,8 m.s-2.
1. Ecrire l’équation v(t) de l’évolution au cours du temps de la vitesse du centre G de S
dans le liquide en faisant intervenir la vitesse limite vL de S.
2. Si le bassin a une hauteur infinie, calculer la vitesse limite vL et le temps  au bout
duquel cette vitesse limite est atteite à 1% près.
3. Déterminer la loi z(t) du déplacement vertical de S dans le liquide, comptée à partir de
O.
4. Montrer que le temps T, mis par la pièce pour se mouvoir de O jusqu’au fond du
bassin, obit à une équation du second degré si on se contente d’un développement
limité de ex limité au second ordre.
x2
exp x  1 + x +
pour x << 1.
2
5. Calculer T et la vitesse de S au contact avec le fond du bassin rempli d’une hauteur de
liquide h = 2,35m ?