regimes transitoires

REGIMES TRANSITOIRES
1-INTRODUCTION
Quand on modifie un circuit électrique ( fermeture ou ouverture d’un interrupteur par exemple)
l’évolution de nombreuses grandeurs est donnée par la résolution d’une équation différentielle .
En électricité elle est généralement issue des relations fondamentales telles que :
dt
duc
C
iC
dt
diL
L
uL
dt
dw
p
dt
dq
i
Remarque: il s’agit pour toutes ces relations de dérivées premières par rapport au temps.
On sera souvent amené à résoudre deux types d’équations différentielles.
équation différentielle du premier ordre de la forme :
)(tfbx
dt
dx
a
équation différentielle du second ordre de la forme :
)(
2
2tfcx
dt
dx
b
dt xd
a
où x(t) est la variable étudiée ; a , b et c des constantes . Le terme f(t) représente la
perturbation.
La solution finale obtenue sera la somme de deux termes :
solution de l’équation générale dite homogène .On la notera
)(txl
. Elle ne tient pas compte de
la perturbation ( f(t) = 0) et caractérise le régime libre . C’est pratiquement toujours une
fonction décroissante du temps.
solution particulière imposée par la perturbation . On la notera
)(txf
. Elle caractérise le
régime forcé . Lorsque le régime libre a disparu ( fonction décroissante du temps) seul subsiste
le régime forcé encore appelé régime permanent.
)()()( txtxtx fl 
Remarque : les constantes d’intégration (dont le nombre est égal à l’ordre de l’équation
différentielle) seront généralement déterminées par les conditions initiales ( instant t = 0).

0
2-CIRCUITS DONT L’EQUATION DIFFERENTIELLE EST DU PREMIER ORDRE
1°) Deux grands classiques
a)Charge d’un condensateur à travers une résistance
Le condensateur C est initialement déchargé . A l’instant t = 0 , on ferme l’interrupteur K.
On se propose de trouver l’expression de la tension aux bornes du condensateur C notée uC(t) .
E
K
R
C
i(t)
uR(t)
uC(t)
t
uC(t)

0
b)Etablissement du courant dans un circuit inductif
A l’instant t = 0 , on ferme l’interrupteur K.
On se propose de trouver l’expression du courant i(t) .
E
K
R
L
i(t)
uR(t)
uL(t)
t
i(t)

2°)Généralisation
On peut généraliser la solution finale de l’équation différentielle du premier ordre
)(tfbx
dt
dx
a
En appelant
0
x
la valeur de
x
à l’instant t = 0 ;
0f
x
la valeur de
f
x
à l’instant t = 0 ;
on écrira :
()( tx
x
0
-
0f
x
)
et
a
b
+ x
f
ou encore
()( tx
x
0
-
0f
x
)
et
+ x
f
avec
b
a
( en seconde) est la constante de temps du montage .
Applications :
Charge d’un condensateur à travers une résistance
Etablissement du courant dans un circuit inductif
Détermination graphique de la constante de temps

C
0
3°)Cas particulier
Si b = 0 et f(t) = F avec F constante
alors
)(tfbx
dt
dx
a
se simplifie et devient
F
dt
dx
a
soit
a
F
dt
dx 
ce qui donne x(t) =
Kt
a
F
droite de pente
a
F
où K est la constante d’intégration ( à déterminer par les conditions initiales)
Exemple : charge d’un condensateur à courant constant
A l’instant t = 0 la source de courant parfaite J est connectée au condensateur de capacité C
initialement déchargé.
On va tracer uc(t) et conclure.
uc
J
t
uC(t)