regimes transitoires

REGIMES TRANSITOIRES
1-INTRODUCTION
Quand on modifie un circuit électrique ( fermeture ou ouverture d’un interrupteur par exemple)
l’évolution de nombreuses grandeurs est donnée par la résolution d’une équation différentielle .
En électricité elle est généralement issue des relations fondamentales telles que :
duc
diL
dw
dq
p
i
iC  C dt
u L  L dt
dt
dt
Remarque: il s’agit pour toutes ces relations de dérivées premières par rapport au temps.
On sera souvent amené à résoudre deux types d’équations différentielles.
dx
 bx  f (t )
dt
d 2x
dx
 équation différentielle du second ordre de la forme : a 2  b  cx  f (t )
dt
dt
 équation différentielle du premier ordre de la forme : a
où x(t) est la variable étudiée ; a , b et c des constantes . Le terme f(t) représente la
perturbation.
La solution finale obtenue sera la somme de deux termes :
 solution de l’équation générale dite homogène .On la notera xl (t ) . Elle ne tient pas compte de
la perturbation ( f(t) = 0) et caractérise le régime libre . C’est pratiquement toujours une
fonction décroissante du temps.
 solution particulière imposée par la perturbation . On la notera x f (t ) . Elle caractérise le
régime forcé . Lorsque le régime libre a disparu ( fonction décroissante du temps) seul subsiste
le régime forcé encore appelé régime permanent.
x(t )  xl (t )  x f (t )
Remarque : les constantes d’intégration (dont le nombre est égal à l’ordre de l’équation
différentielle) seront généralement déterminées par les conditions initiales ( instant t = 0).
2-CIRCUITS DONT L’EQUATION DIFFERENTIELLE EST DU PREMIER ORDRE
1°) Deux grands classiques
a)Charge d’un condensateur à travers une résistance
K
E
i(t)
R
C
uR(t)
uC(t)
Le condensateur C est initialement déchargé . A l’instant t = 0 , on ferme l’interrupteur K.
On se propose de trouver l’expression de la tension aux bornes du condensateur C notée uC(t) .
uC(t)
0
t
b)Etablissement du courant dans un circuit inductif
K
E
R
L
uR(t)
uL(t)
i(t)
A l’instant t = 0 , on ferme l’interrupteur K.
On se propose de trouver l’expression du courant i(t) .
i(t)
0
t
2°)Généralisation
On peut généraliser la solution finale de l’équation différentielle du premier ordre
dx
a  bx  f (t )
dt
En appelant x0 la valeur de x à l’instant t = 0 ;
x f 0 la valeur de x f à l’instant t = 0 ;
on écrira :
x(t )  ( x 0 - x f 0 )
ou encore
x(t )  ( x 0 - x f 0 )
e
b
t
a
+xf
t
e
+xf
avec  
a
b
 ( en seconde) est la constante de temps du montage .
Applications :
 Charge d’un condensateur à travers une résistance
 Etablissement du courant dans un circuit inductif
 Détermination graphique de la constante de temps 
3°)Cas particulier
Si b = 0 et f(t) = F avec F constante
dx
alors a  bx  f (t ) se simplifie et devient
dt
a
dx
dx F
 F soit

dt
dt a
F
F
tK
droite de pente
a
a
où K est la constante d’intégration ( à déterminer par les conditions initiales)
ce qui donne x(t) =
Exemple : charge d’un condensateur à courant constant
C
J
uc
A l’instant t = 0 la source de courant parfaite J est connectée au condensateur de capacité C
initialement déchargé.
On va tracer uc(t) et conclure.
uC(t)
0
t
3-CIRCUITS DONT L’EQUATION DIFFERENTIELLE EST DU SECOND ORDRE
a
d 2x
dx
 b  cx  f (t )
2
dt
dt
On va s’intéresser au régime libre ,le régime forcé étant imposé par la perturbation :
d 2x
dx
 b  cx  0
2
dt
dt
2
dx
d x
en posant
r2= 2 , r=
et x =1 il vient :
dt
dt
ar2 + br +c = 0 appelée équation caractéristique
a
Résolution de l’équation caractéristique :
r1,2 =
Soit en posant  
b
2a
et  0 
c
a
r1,2 =
 est appelé facteur d’amortissement et  0 pulsation naturelle
Discussion :
Si    0
Si    0
Si    0
r1 et r2 sont réelles  fort amortissement
r1 = r2 (une racine double)  régime critique
r1 et r2 sont imaginaires  faible amortissement
K
R
C
D
i(t)
uR(t)
uC(t)
uL(t)