Chapitre 2 : Calcul vectoriel

1ière S
Chapitre 2 : Calcul vectoriel
I. Vecteurs La notion de vecteur, vue en géométrie plane, se généralise à l’espace .
Caractérisation d’un vecteur : Deux points A et B distincts, de l’espace, définissent un vecteur non nul
u AB
caractérisé par :
 sa direction qui est celle de la droite ( AB ) .
 son sens qui est de A vers B .
 sa norme qui est la longueur du segment [AB] ; notée
u AB 
= AB .
Remarque : deux points confondus déterminent le vecteur nul qui n’a pas de direction :
AA 0
et
0
= 0
soit O un point de l’espace et
u
un vecteur de l’espace, il existe un unique point M tel que
OM u
Egalité vectorielle : Dire que
AB DC
signifie que ABCD est un parallélogramme
( les segments [AC] et [BD] ont le même milieu ).
Opérations sur les vecteurs :
 addition de deux vecteurs :
On peut toujours choisir des représentants des vecteurs
u
et
v
dans un même plan pour construire le vecteur somme
uv
.
La relation de Chasles
AB BC AC
La règle du parallélogramme
AB AD AC
Règles de calcul :
.
u v v u ; u 0 u ; u v w u v w         
. tout vecteur
u
admet un opposé noté -
u
vérifiant :
u -u 0
on écrit
BA - AB
D C
C

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II. Vecteurs colinéaires
Opérations sur les vecteurs :
 multiplication d’un vecteur par un réel :
Soit  un réel non nul et
u
un vecteur .
Si
u
0
, alors le vecteur .
u
est le vecteur : – de même direction que
u
.
– de même sens que
u
si  >0, de sens contraire de
u
si < 0
– de norme
.u . u
on pose .
0
=
0
et 0.
u
=
0
Ex :
Conséquences :
. si
u
=
AB
et si .
u
=
AC
, alors les trois points A, B et C sont alignés .
. .
u
=
0
équivaut à  = 0 ou
u
=
0
Règles de calcul :
Pour tous les réels
et
et pour tous les vecteurs
u
et
v
:
.
. u + v .u .v
.
+ .u = .u .u
.
. .u .u
En particulier : (-1).
u
= -
u
Définition : Deux vecteurs
u
et
v
sont colinéaires s’il existe un nombre réel  tel que :
v
= .
u
ou
u
= .
v
.
Remarques : . deux vecteurs non nuls sont colinéaires SSI ils ont la même direction .
.
u
=
AB
et
v
=
AC
sont colinéaires SSI les trois points A, B et C sont alignés .
. le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur de l’espace .
Ex :

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III. Equations cartésiennes dans le plan
le plan est muni d’un repère ( O ;
i , j
)
1ière S
Vecteur directeur et repère d’une droite :
 Un vecteur directeur de la droite D est un vecteur
v
non nul de même direction que la droite D .
 Un repère d’une droite D est un couple (A,
u
) ;où A est un point de D et
u
un vecteur directeur de D .
Remarques : . On note D(A,
u
) la droite définie par un point A et un vecteur directeur
u
; dont (A,
u
) est un repère .
.
u
est un vecteur directeur de D et de toute droite parallèle à D .
. les vecteur directeurs de la droite ( AB ) sont tous les vecteurs non nuls colinéaires au vecteur
AB
.
. deux vecteurs non nuls de l’espace sont orthogonaux s’ils sont des vecteurs directeurs de deux droites orthogonales .
Caractérisation d’une droite : Soit A un point de l’espace  et
u
un vecteur non nul de l’espace .
D(A,
u
) =
M 
 /
AM .u , avec kk
c’est-à-dire l’ensemble des points M de l’espace tels que
AM
= k.
u
, avec k   .
le réel k s’appelle l’abscisse du point M dans le repère (A,
u
) .
Notion d’équation cartésienne : Si le plan est muni d’un repère, une équation cartésienne d’une figure F est
une relation vérifiée par les coordonnées de tous les points de F ,
et seulement les points de F .
Remarque : . Une équation cartésienne de F est une condition nécessaire et suffisante sur les coordonnées d’un point
pour qu’il appartienne à F .
Equations d’une droite dans le plan : Dans un repère ( O ;
i , j
) du plan, toute droite admet une équation
cartésienne de la forme : ax + by + c = 0 ,
a et b étant deux réels dont l’un au moins n’est pas nul .
Réciproquement
Toute équation de cette forme définit une droite unique de vecteur directeur
u
-b
a
dans la base (
i , j
)

Preuve :
Si la droite d passe par le point A( xA ; yA ) et admet
u
pour vecteur directeur ;
alors
M( x ; y )  d
AM
et
u
sont colinéaires .
or
AM
A
A
x x
y y
et
u
sont colinéaires SSI leurs coordonnées sont proportionnelles .
M( x ; y )  d
A
A
x x 0
y y
M( x ; y )  d
( x – xA ) –
( y – yA ) = 0
x –
y –
xA +
yA = 0 J’obtiens une équation de d de la forme ax + by + c = 0 ;
comme
et
ne peuvent être simultanément nuls (sinon
u
=
0
) , il en est de même de a et b
Réciproquement
Soit E un ensemble d’équation cartésienne ax + by + c = 0 où a , b et c sont des réels ( l’un au moins des réels a ou b n’est pas nul )
Si a  0 alors le couple
-c ; 0
a
vérifie l’équation de E . Si a = 0, alors b  0 et le couple
-c
0 ; b
vérifie l’équation de E .
Dans tous les cas E contient un point A( xA ; yA ) tel que axA + byA + c = 0
M( x ; y )  E
ax + by + c = axA + byA + c
a ( x – xA ) = - b ( y – yA ) Cette équation traduit la colinéarité des vecteurs
u
-b
a
et
AM
A
A
x x
y y
avec
u
non nul .
E est donc la droite passant par A et de vecteur directeur
u
.
Ex :
Je cherche une équation cartésienne de la droite ( AB ) avec A( -2 ; 3 ) et B( 4 ; -1 ) .
Soit M( x ; y ) un point du plan :
M( x ; y )  ( AB )
les vecteurs
AM
x 2
y 3
et
AB
6
- 4
sont colinéaires .
x 2 6 0
y 3 - 4
- 4 ( x + 2 ) – 6 ( y – 3 ) = 0
- 4x – 6y + 10 = 0
2x + 3y – 5 = 0
( AB ) : 2x + 3y – 5 = 0 ou ( AB ) : y =
-2 5
x
3 2
équation réduite .
L’équation 3 x + y +1 = 0 définit la droite passant par C( 0 ; -1 ) , de vecteur directeur
u
-1
3

1ière S
Vecteur normal à une droite : Un vecteur normal à une droite D est un vecteur
n
non nul ,
de direction orthogonale à celle de D .
 Dans un repère orthonormal, une droite de vecteur normal
n
a
b
a une équation de la forme :ax + by + c = 0
Preuve :
u
x
y
et
n
x'
y'
sont orthogonaux SSI xx’ + yy’ = 0
Or ax + by + c = 0 est l’équation d’une droite de vecteur directeur
u
-b
a
Comme -b  a + a  b = 0 le vecteur
n
a
b
est orthogonal à
u
-b
a
Par suite ax + by + c = 0 est l’équation d’une droite de vecteur normal
n
a
b
.
Ex :
Soit trois points A( 0 ; 2 ) , B( 4 ; 1 ) et C( 3 ; 4 ) .
On cherche une équation de la hauteur D issue de A dans le triangle ABC .
D est la droite passant par A et admettant
BC
-1
3
comme vecteur normal .
Elle possède donc une équation du type - x + 3y + c = 0 .
Les coordonnées de A vérifiant l’équation, on a - 0 + 32 + c = 0 , donc c = -6 .
Ainsi une équation de D est - x + 3y – 6 = 0 ou encore x – 3y + 6 = 0 .
Equations de cercles : Soit R un réel strictement positif.
Un point M( x ; y ) appartient au cercle C de centre ( a ; b ) et de rayon R
SSI M = R
M2 = R2
Dans un repère orthonormal, on obtient ainsi une équation du cercle C :
( x – a )2 + ( y – b )2 = R2
Ex :
Le cercle de centre O et de rayon 1, a pour équation x2 + y2 = 1 .
Le cercle de centre  ( 5 ; -2 ) et de rayon 3 a pour équation : ( x – 5 )2 + ( y + 2 )2 = 9
Ou sous forme développée : x2 + y2 – 10x + 4 y + 20 = 0 .