Chapitre 2 : Calcul vectoriel

1ière S
Chapitre 2 : Calcul vectoriel
I.
Vecteurs
La notion de vecteur, vue en géométrie plane, se généralise à l’espace .
Caractérisation d’un vecteur : Deux points A et B distincts, de l’espace, définissent un vecteur non nul
u  AB caractérisé par :
 sa direction qui est celle de la droite ( AB ) .
 son sens
qui est de A vers B .
 sa norme
qui est la longueur du segment [AB] ; notée u  AB = AB .
Remarque : deux points confondus déterminent le vecteur nul qui n’a pas de direction : AA  0
et
0 =0
soit O un point de l’espace et u un vecteur de l’espace, il existe un unique point M tel que OM  u
Egalité vectorielle : Dire que AB  DC signifie que ABCD est un parallélogramme
( les segments [AC] et [BD] ont le même milieu ).
Opérations sur les vecteurs :

addition de deux vecteurs :
On peut toujours choisir des représentants des vecteurs
u et v dans un même plan pour construire le vecteur somme u  v .
La relation de Chasles
La règle du parallélogramme
AB  BC  AC
AB  AD  AC
C
D
C
Règles de calcul :
.
uv  vu ;
.
tout vecteur
u0 u
u admet un opposé noté - u
u  v  w  u  v  w 
vérifiant : u   -u   0
on écrit
;
BA  - AB
1ière S
Opérations sur les vecteurs :

multiplication d’un vecteur par un réel :
Soit  un réel non nul et u un vecteur .
Si u  0 , alors le vecteur . u est le vecteur :
. 0 = 0
on pose
et
– de même direction que u .
– de même sens que u si  >0, de sens contraire de u si < 0
– de norme .u   . u
0. u = 0
Ex :
Conséquences :
. si u = AB
. . u = 0
et si
. u = AC ,
équivaut à
alors les trois points A, B et C sont alignés .
 = 0 ou
u= 0
Règles de calcul :
Pour tous les réels

et

et pour tous les vecteurs
. . u + v   .u  .v
.   +   .u = .u   .u
. .   .u      .u
En particulier :
u et v :
(-1). u = - u
II. Vecteurs colinéaires
Définition : Deux vecteurs
u et v sont colinéaires s’il existe un nombre réel  tel que :
v = . u
.
. u = AB et v = AC sont colinéaires SSI les trois points A, B et C sont alignés .
. le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur de l’espace .
Remarques : deux vecteurs non nuls sont colinéaires SSI ils ont la même direction .
Ex :
ou u = . v .
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Vecteur directeur et repère d’une droite :
 Un
vecteur directeur de la droite D est un vecteur v non nul de même direction que la droite D .
 Un
repère d’une droite D est un couple (A, u ) ;où A est un point de D et u un vecteur directeur de D .
Remarques :
. On note D(A, u ) la droite définie par un point A et un vecteur directeur u ; dont (A, u ) est un repère .
. u est un vecteur directeur de D et de toute droite parallèle à D .
. les vecteur directeurs de la droite ( AB ) sont tous les vecteurs non nuls colinéaires au vecteur AB .
. deux vecteurs non nuls de l’espace sont orthogonaux s’ils sont des vecteurs directeurs de deux droites orthogonales .
Caractérisation d’une droite : Soit A un point de l’espace  et u un vecteur non nul de l’espace .
D(A, u ) =  M   / AM  k.u , avec k 

c’est-à-dire l’ensemble des points M de l’espace tels que AM = k. u , avec k   .
le réel k s’appelle l’abscisse du point M dans le repère (A, u ) .
III. Equations cartésiennes dans le plan
le plan est muni d’un repère ( O ; i , j )
Notion d’équation cartésienne : Si le plan est muni d’un repère, une équation cartésienne d’une figure F est
une relation vérifiée par les coordonnées de tous les points de F ,
et seulement les points de F .
Remarque :
. Une équation cartésienne de F est une condition nécessaire et suffisante sur les coordonnées d’un point
pour qu’il appartienne à F .
Equations d’une droite dans le plan : Dans un repère ( O ; i , j ) du plan, toute droite admet une équation
cartésienne de la forme :
ax + by + c = 0 ,
a et b étant deux réels dont l’un au moins n’est pas nul .
Réciproquement
 -b 
Toute équation de cette forme définit une droite unique de vecteur directeur u   dans la base ( i , j )
 a
1ière S
Preuve :
Si la droite
 
d passe par le point A( xA ; yA ) et admet u   pour vecteur directeur ;
 
alors
M( x ; y )  d

AM et u sont colinéaires .
 x  xA 
 

 et u   sont colinéaires SSI leurs coordonnées sont proportionnelles .
 
 y  yA 
x  xA 
M( x ; y )  d

0
y  yA 
M( x ; y )  d
  ( x – xA ) –  ( y – yA ) = 0
J’obtiens une équation de d de la forme ax + by + c = 0 ;
  x –  y –  xA +  yA = 0
or AM
comme

et
 ne peuvent être simultanément nuls (sinon u = 0 ) , il en est de même de a et b
Réciproquement
Soit E un ensemble d’équation cartésienne ax + by + c = 0 où a , b et c sont des réels ( l’un au moins des réels a ou b n’est pas nul )
-c 

 -c 
; 0  vérifie l’équation de E .
Si a = 0, alors b  0 et le couple  0 ;
 vérifie l’équation de E .
b

 a

Dans tous les cas E contient un point A( xA ; yA ) tel que axA + byA + c = 0
M( x ; y )  E
ax + by + c = axA + byA + c

 x  xA 
 -b 
a ( x – xA ) = - b ( y – yA ) Cette équation traduit la colinéarité des vecteurs u 


 et AM 
 a
 y  yA 
avec u non nul .
E est donc la droite passant par A et de vecteur directeur u .
Si a  0 alors le couple 
Ex :
Je cherche une équation cartésienne de la droite (
Soit
AB ) avec A( -2 ; 3 ) et B( 4 ; -1 ) .
M( x ; y ) un point du plan :
M( x ; y )  ( AB )





( AB ) : 2x + 3y – 5 = 0
L’équation
les vecteurs AM
 x  2
 6

 et AB   sont colinéaires .
 y3
- 4
x2
6
0
y3
-4
-4(x+2)–6(y–3)=0
- 4x – 6y + 10 = 0
2x + 3y – 5 = 0
ou
( AB ) : y =
-2
5
x 
3
2
équation réduite .
 -1
3 x + y +1 = 0 définit la droite passant par C( 0 ; -1 ) , de vecteur directeur u  
 3
1ière S
Vecteur normal à une droite : Un vecteur normal à une droite D est un vecteur n non nul ,
de direction orthogonale à celle de D .
 Dans
a 
un repère orthonormal, une droite de vecteur normal n   a une équation de la forme :ax + by + c = 0
b
Preuve :
Ex :
x
 x' 
u   et n  
y
 y' 
sont orthogonaux
Or
ax + by + c = 0
Comme
-b  a + a  b = 0
Par suite
ax + by + c = 0
SSI
xx’ + yy’ = 0
 -b 
est l’équation d’une droite de vecteur directeur u  
 a
a 
 -b 
le vecteur n   est orthogonal à u  
b
 a
a 
est l’équation d’une droite de vecteur normal n   .
b
Soit trois points A( 0 ; 2 ) , B( 4 ; 1 ) et C( 3 ; 4 ) .
On cherche une équation de la hauteur D issue de A dans le triangle ABC .
 -1 
  comme vecteur normal .
 3
Elle possède donc une équation du type - x + 3y + c = 0 .
D
est la droite passant par A et admettant BC
Les coordonnées de A vérifiant l’équation, on a - 0 + 32 + c = 0 , donc c = -6 .
Ainsi une équation de D est - x
+ 3y – 6 = 0 ou encore x – 3y + 6 = 0 .
Equations de cercles : Soit R un réel strictement positif.
Un point M( x ; y ) appartient au cercle C de centre ( a ; b ) et de rayon R
SSI M = R  M2 = R2
Dans un repère orthonormal, on obtient ainsi une équation du cercle C :
( x – a )2 + ( y – b )2
= R2
Ex :
Le cercle de centre O et de rayon 1, a pour équation
x2 + y2 = 1 .
Le cercle de centre  ( 5 ; -2 ) et de rayon 3 a pour équation : ( x – 5 )2 + ( y + 2 )2 = 9
Ou sous forme développée : x2 + y2 – 10x + 4 y + 20 = 0 .