EXERCICES DE TRIGONOMÉTRIE

EXERCICES DE TRIGONOMÉTRIE
Exercice 1
1.- En utilisant l'égalité
4
1
3
1
12
1
, calculer les valeurs exactes de
12
coset
12
sin 
.
Calculer alors les sinus et cosinus de
12
5
deet
12
7
.
2. Calculer les valeurs exactes des sinus et cosinus de
12
13
;
12
11 
,
Exercice 2
On donne
222 8
sinet
222 8
cos 
.
Trouver les valeurs exactes des
8
3
sinet
8
3
cos 
.
Exercice 3
1.- Résoudre les équations et inéquation suivantes :
1xcosxsin;x2
6
cosx
3
sin;02
3
x2sin2 
)
3
x2tan(
1
xtan;xtanxsin4;xtan3x2tan;x3tanx2tan 2
0xcosx2sin;xcosxSin;
2
3
x2sin)
3
x2sin( 222 
02xcos3xcos;2xsinxcos3;0xcosx2sin
xsin)
3
x2sin(;
2
1
x2sin;03xtan)13(xtan
2
2
2.- Résoudre l'équation
222
xcos 
après avoir calculé cos2x
3.- Résoudre l'équation
32xtan 
( avec
2
x0 
) après avoir calculé sin2x en fonctipn
de tanx.
Deux nombres a et b de l'intervalle
2
;0
vérifient
433
btanatanet
3
ba 
.
Calculer tan(a+b), tana.tanb, puis tan a et tanb
Exercice 4

Montrer que
x3x4x3 3coscoscos 
et
x4x3x3 3 sinsinsin 
,
puis résoudre l’équation
4
3
x3xx3x 33  cos.sinsin.cos
Exercice 5
On pose cosx + sinx = a.
Exprimer en fonction de a : cosx.sinx,
xx 33 sincos 
et
xx 44 sincos 
Exercice 6
a) Montrer que quel que soit le réel x,
2x41
x2
2cos
sin 
b) Développer (cos2 x + sin2x )3.
c) En utilisant les résultats précédents, montrer que, quel que soit x,
)cos(sincos x435
8
1
xx 66 
Exercice 7
Montrer que
4x43
xx 44 cos sincos 
, puis résoudre l'équation
4
3
x2
8
3
x2
8
1
xx 44  sincossincos
Exercice 8
Calculer les limites suivantes :
;
xxsin1xsin1
lim;
x6
)
3
x2sin(
lim;
)
2
xcos(
x2sin
lim;
x3 x2sin
lim 0x
6
x
0x0x
;
tan
sin
lim x3x2
0x
x3sin x2cos1
lim 2
0x
;
x2 xcos
lim
2
x
;
1xcos x2tan
lim 2
0x 
.
xsin xcos12
lim;
xsin21 x6tan
lim 2
0x
6
x
;
xtan xsin1xsin1
lim
0x
Exercice 9
Calculer f '(x) dans chacun des cas suivants :
x2cos)x(f;xcos)x(f;)x3(sin)x(f;xcosxsin)x(f;xcos)x(f 223 
)
6
x3(tan)x(f;
1xcos 1xcos
)x(f;
)x2(sin2
)x(f;
xcos
1
)x(f 2
2

Exercice 10
Etudier les variations et tracer la courbe de f :
a) f(x) = 1 -8 cosx - 4 cos 2x
b)
2
x
2xxf sinsin)( 
c)
2
3
1x
x
xf )(sin
sin
)( 
Exercice 11
1.- Démontrer que dans un triangle ABC rectangle en A, sin2A=sin2B+sin2C.
La réciproque est-elle vraie ?
2.- Démontrer que si, dans un triangle ABC, on a
BC
AC
Bsin 
alors, le triangle ABC est
rectangle en A.
Exercice 12
ABCDEF est un hexagone régulier inscrit dans un cercle de centre O, et de rayon R.
a) Quelle est la mesure d'un angle au centre, AOB par exemple?
b) Quelle est la longueur de chacun des côtés?
c) Calculer la longueur OH (OH est appelé apothème du polygone)