EXERCICES DE TRIGONOMÉTRIE

EXERCICES DE TRIGONOMÉTRIE
Exercice 1
1 1 1


.
  , calculer les valeurs exactes de sin
et cos
12
12
12 3 4
7
5
et de
Calculer alors les sinus et cosinus de
.
12
12
1.- En utilisant l'égalité
2. Calculer les valeurs exactes des sinus et cosinus de
11 13
,
;
12
12
Exercice 2
2 2

2 2
et sin 
.
2
8
2
3
3
Trouver les valeurs exactes des cos
.
et sin
8
8
On donne cos


8
Exercice 3
1.- Résoudre les équations et inéquation suivantes :






2 sin 2x    2  0 ; sin  x   cos  2x  ; sin x  cos x  1
3

3

6

1
tan 2x  tan 3x ; tan 2x  3 tan x ; 4 sin2 x  tan x ; tan x 

tan( 2x  )
3

3
sin( 2x  )  sin 2x 
; Sin2 x  cos2 x ; sin 2x  cos2 x  0
3
2
1

tan 2 x  ( 3  1) tan x  3  0 ; sin 2x  ; sin( 2x  )  sin x
2
3
sin 2x  cos x  0 ;
3 cos x  sin x  2 ; cos 2 x  3 cos x  2  0
2.- Résoudre l'équation cos x 
2 2
après avoir calculé cos2x
2
3.- Résoudre l'équation tan x  2  3 ( avec 0  x 

) après avoir calculé sin2x en fonctipn
2
de tanx.

Deux nombres a et b de l'intervalle 0 ;


3 3

et tan a  tan b 
vérifient a  b 
.

3
4
2
Calculer tan(a+b), tana.tanb, puis tan a et tanb
Exercice 4
Montrer que cos 3x  4 cos x  3 cos x et sin 3x  3 sin x  4 sin x ,
3
3
puis résoudre l’équation cos x . sin 3x  sin x . cos 3x 
3
3
3
4
Exercice 5
On pose cosx + sinx = a.
Exprimer en fonction de a : cosx.sinx, cos x  sin x et cos x  sin x
3
3
4
4
Exercice 6
a) Montrer que quel que soit le réel x, sin 2 x 
2
1  cos 4 x
2
b) Développer (cos2 x + sin2x )3.
c) En utilisant les résultats précédents, montrer que, quel que soit x,
cos 6 x  sin 6 x 
1
(5  3 cos 4x )
8
Exercice 7
3  cos 4x
, puis résoudre l'équation
4
1
3
3
cos 4 x  sin 4 x  cos 2x 
sin 2x 
8
8
4
Montrer que cos x  sin x 
4
4
Exercice 8
Calculer les limites suivantes :

sin( 2x  )
sin 2x
sin 2x
3 ; lim 1  sin x  1  sin x ;
lim
; lim
; lim


x 0 3 x
x 0
x 0
x
cos( x  ) x  6   6x
2
sin 2x
1  cos 2x
cos x
tan2 2x
lim
;
lim
; lim
; lim
.

x 0 sin2 3 x
x 0 cos x  1
x  0 tan 3x
x  2x  
2
tan 6 x
2  1  cos x
; lim

x 0
sin2 x
x  1  2 sin x
lim
;
lim
x 0
1  sin x  1  sin x
tan x
6
Exercice 9
Calculer f '(x) dans chacun des cas suivants :
f ( x)  cos 3 x ; f ( x)  sin2 x cos x ; f ( x)  sin2 (3x) ; f ( x)  cos x ; f ( x)  cos 2x
f ( x) 
1
2
cos x  1

; f ( x) 
; f ( x) 
; f ( x )  tan2 (3x  )
2
cos x
cos x  1
6
sin (2x )
Exercice 10
Etudier les variations et tracer la courbe de f :
a) f(x) = 1 -8 cosx - 4 cos 2x
b) f ( x )  sin x  2 sin
c) f ( x ) 
x
2
sin 3 x
(sin x  1) 2
Exercice 11
1.- Démontrer que dans un triangle ABC rectangle en A, sin2A=sin2B+sin2C.
La réciproque est-elle vraie ?
2.- Démontrer que si, dans un triangle ABC, on a sin B 
AC
alors, le triangle ABC est
BC
rectangle en A.
Exercice 12
ABCDEF est un hexagone régulier inscrit dans un cercle de centre O, et de rayon R.
a) Quelle est la mesure d'un angle au centre, AOB par exemple?
b) Quelle est la longueur de chacun des côtés?
c) Calculer la longueur OH (OH est appelé apothème du polygone)