le mouvement plan

Chapitre n° 6 : Le mouvement plan.
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L
LE E M MO OU UV VE EM ME EN NT T P PL LA AN N
Ou mouvement à deux dimensions.
Ce type de mouvement peut se décomposer en deux mouvements rectilignes
simultanés.
I. COMBINAISON DE DEUX MOUVEMENTS RECTILIGNES
Les caractéristiques de ce mouvement (position, vitesse, accélération) vont être
décomposés sur deux axes orthogonaux.
La vitesse instantanée est la dérivée de la trajectoire. Graphiquement, la dérivée
représente la pente à la courbe.
Quand un corps se déplace sur une trajectoire courbe avec une vitesse constante
en grandeur, mais que la direction de cette vitesse ensuite varie, le corps sera en
accélération.
Pour que l’accélération soit nulle, il faut que la grandeur soit constante et que la
direction ne varie pas. Le mouvement sera alors rectiligne uniforme.
y0
v0
x0 x
x = ½ ax . t² + v0x . t + x0
y = ½ ay . t² + v0y . t + y0
vx = ax . t + v0x
vy = ay . t + v0y

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La plupart du temps, on néglige la résistance de l’air. Le projectile peut être un
objet (balle, poids, disque…) ou le corps lui-même (saut en longueur, en
hauteur, …)
II. LES PROJECTIONS
On parle de projectiles au sens large car ça peut être un objet ou un corps.
On néglige la résistance de l’air, si on lance un objet, il est soumis à g (= a).
Donc, on a : ∑ F = m a et P = m g
m g = m a
Donc g = a
Si on connaît l’accélération qui correspond à g, la vitesse initiale, on pourra
connaître à tout moment sa vitesse, sa position grâce à l’équation.
A. CAS D’UN PROJECTILE LANCE AVEC UNE VITESSE INITIALE
V0, SELON UN ANGLE
y max v
v0
P
α
x
D’après le principe fondamental de la dynamique : P = m a
Comme P = m g, alors a = g

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Par projection sur l’axe des x :
ax = 0
vx = ax . t + v0x = v0 . cosα
x = ½ ax . t² + v0x . t + x0 = v0 . cos α . t
mouvement uniforme.
Par projection sur l’axe des y :
ay = - g
vy = ay . t + v0y = - g . t + v0 . sin α
y = ½ ay . t² + v0y . t + y0 = - ½ g . t² + v0 . sin α . t
mouvement uniformément varié.
1. DETERMINATION DE LA TRAJECTOIRE DE CE PROJECTILE EN
MOUVEMENT
x = v0 . cos α . t
y = - ½ g.t² + v0 . sin α . t
x
t =
v0 . cos α
y = - ½ g (x / v0 . cos α)² + v0 . sin α (x/ v0 . cos α)
g
y = - x² + tan α x (équation de la trajectoire du second degré)
2 v0² . cos² α
La trajectoire est une parabole.
2. DETERMINATION DE LA VITESSE DU CORPS EN MOUVEMENT

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Quelque soit l’instant t, la vitesse sera graphiquement la tangente à la courbe de
la trajectoire.
Mathématiquement, on découpe v en vx + vy
vx = v0 . cos α
vy = - g . t + v0 . sin α
D’après le théorème de Pythagore, v² = v²x + v²y
v = √ v²x + v²y
v = √ (v0 . cos α)² + (- g . t + v0 . sin α)²
3. DETERMINATION DE LA HAUTEUR MAXIMALE ATTEINTE PAR LE
CORPS EN MOUVEMENT
Au sommet de la trajectoire, vy = 0
vx = v0 . cos α
Constante quelque soit t, à y max le corps ne tombe pas en chute libre.
vy = - g . t + v0 . sin α
Cela va varier en fonction du temps.
y
y max v
v0
x
ts
vy = - g . ts + v0 . sin α = 0
v0 . sin α
ts =
g

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Or, y max = - ½ g . ts² + v0 . sin α . ts
y max = - ½ g (v0 . sin α / g)² + v0 . sin α (v0 . sin α / g)
v0² . sin² α v0² . sin² α
y max = +
2g g
v0² . sin² α
y max =
2g
4. DETERMINATION DE LA PORTEE DE CE MOBILE
A l’instant t où le mobile touche le sol, y = 0
y
y max v
v0
X x
ts
Il y a plusieurs possibilités si la courbe est une parabole ou non :
Si c’est une parabole :
y = - ½ g . t²tot + v0 . sin α . ttot = 0
X = v0 . cos α . ttot
v0 . sin α
ts =
g
comme X = 2 ts