On définit l`angle orienté par

1S
Chapitre G3
ANGLES ORIENTES
I)
Les angles orientés :
1)
Orientation du plan :
Définition : Orienter le plan, c’est choisir, pour tous les cercles, un même sens de rotation
appelé sens positif (ou sens direct).
Généralement, on choisit pour sens positif le sens inverse des aiguilles d’une montre, aussi
appelé sens trigonométrique. Les angles géométriques toujours positifs (écarts entre deux
demi-droites), deviennent des angles orientés, munis d’un signe + ou –.
2)
Cercle trigonométrique et mesure d’angles orientés :
Soit un repère orthonormé (O ; i , j ). Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et
de rayon 1.
Propriété :
Soit M un point du cercle trigonométrique.
On mesure l’angle orienté   OI , OM en prenant la longueur de l’arc orienté IM .


Cette mesure est donnée en radians et est connue à 2π près.
D (angle en °)
α (angle en rad)
-360° -180°
-2π
-π
0°
0
30°
π/6
D 

180 
45°
π/4
60°
π/3
90°
π/2
120° 180° 360° 720°
2π/3
π
2π
4π
Exemple :
L’angle 

2
correspond à un point unique : le point J(0 ; 1).

5
9
13
; 
; 
; … Chaque fois
2
2
2
2
qu’on rajoute 2π, on trouve une autre mesure possible pour l’angle. Les angles obtenus par
3
7
11
soustractions successives de 2π sont aussi valables : 
; 
;
;…
2
2
2
Inversement, le point J correspond à 
, mais aussi à 
Propriété :
 A tout angle α orienté correspond un point unique M du cercle trigonométrique, de
coordonnées (cos α ; sin α).
 A tout point M du cercle trigonométrique correspondent une infinité de mesures d’angle
possibles, avec un écart de 2π entre deux mesures consécutives.
Connaissant une mesure α, les autres mesures possibles s’écrivent α’ = α + k x 2π, avec k
entier relatif, ou encore :
α’ = α + 2kπ ; k  .
On appelle mesure principale la seule de ces valeurs possibles appartenant à ]-π ; π].
Remarque : On parle de RON direct et de RON indirect selon l’orientation de l’angle ( i , j ).
3)
Angle orienté de deux vecteurs unitaires :
Définition :
Soit un cercle trigonométrique de centre O, et u et v deux vecteurs unitaires (tels que
u  v  1 ). Il existe deux points uniques M et N sur le cercle trigonométrique tels que
OM  u et ON  v .
L’angle orienté u , v , égal à l’angle OM , ON , est défini comme étant la longueur de l’arc
 


orienté MN . Cette mesure est donnée en radians et est connue à 2π près.
u, v   OM , ON     2k
;
k .
4)
Angle orienté de deux vecteurs non nuls :
Définition :
Soit un cercle trigonométrique de centre O, et u et v deux vecteurs non nuls.
v
u
Les vecteurs
et
sont des vecteurs unitaires. Il existe deux points uniques M et N sur
v
u
le cercle trigonométrique tels que OM 
u
et ON 
u
 
v
.
v
u, v   OM , ON 
On définit l’angle orienté u , v par :
(à 2kπ près).
Remarques :
- La norme des vecteurs n’intervient pas dans la mesure de l’angle. Seules comptent leurs
directions et leurs sens.
- Si l’un des vecteurs est nul, aucun angle ne peut être défini, car il manque une direction.
Cas particuliers :
 
-  u, u     2k
- u, u  0  2k  2k pour tout vecteur u .
5)
pour tout vecteur u .
Propriétés :
Remarque : Pour toutes les égalités d’angles qui suivent, on sous-entend que ces égalités sont
« à 2kπ près ».
Relation de Chasles (admise) :
Pour trois vecteurs non nuls u , v et w , on a : u, v  v, w  u, w
     
Conséquences :
Soient u , v et i trois vecteurs non nuls. On a :
1) v, u   u, v . Les angles orientés u , v et v, u sont opposés.
   
2)  u, v    i, v    i, u 
3) Si k > 0, alors
Si k < 0, alors

  
4) u, v  u, v .
   
 ku, v   u, v 
 ku, v   u, v   
Preuves :
   
     
2)  i, v    i, u    i, v    u, i   u, i   i, v   u, v  donc  u, v    i, v    i, u 
3) Si k > 0, alors ku et u ont même sens, donc  ku, v    ku, u    u, v   0   u, v    u, v 
Si k < 0, alors ku et u ont des sens opposés, donc  ku, v    ku, u    u, v      u, v 
4)  u, v    u, u    u, v    v, v      u, v      u, v   2  u, v  .
1) v, u  u, v  v, v  0 , donc v, u   u, v
6)
Angles particuliers :
Propriétés : Soient u et v deux vecteurs non nuls.
1) u et v sont colinéaires ssi u, v  k ; k  .
 

2) u et v sont orthogonaux ssi  u , v    k
2
Preuves :
1) u et v colinéaires ssi
ssi
2) u et v orthogonaux
; k .
il existe un nombre λ tel que v   u (car v est non nul).
0  2n  si  0
puis u, v  k ; k 
u, v  u,  u  
  2n  si  0


 2n .
ssi u , v   2n ou u, v 
2
2

u , v   k ; k  .
ssi
2
  
 

 
 
.
 
II)
Coordonnées polaires d’un point du plan :
1)
Repérage polaire :
Définition : Soit O un point du plan et i un vecteur unitaire.
A tout point du plan M distinct de O, on associe un couple de réel   ,  tel que   OM et


 est une mesure de l’angle orienté i, OM .
Un tel couple   ,  caractérise la position du point M dans le plan. On l’appelle couple de
 
coordonnées polaires de M (dans le repère de pôle O et d’axe polaire O, i ).
Remarque :
- Dans un couple de coordonnées polaires, ρ est unique mais  est défini à un multiple de 2π
près.
- Le point O n’a pas de coordonnées polaires. On pourrait prendre   0 , mais on ne pourrait
pas trouver une valeur précise de  .
2)
Passage d’un repérage à l’autre :
On munit le plan d’un repère orthonormé direct (O ; i , j ).
Soit M un point du plan distinct de l’origine, de coordonnées cartésiennes (x ; y).
On considère ses coordonnées   ,  dans le repère de pôle O et d’axe polaire O, i .
 
Comment passer de l’un à l’autre des couples de coordonnées ?
a)
Si on connaît (ρ ; θ) :
On considère le point P de coordonnées polaires (1 ; θ).
C’est un point du cercle trigonométrique car OP = 1.
On a alors :
P a pour coordonnées cartésiennes (cos θ ; sin θ).
On en déduit par multiplication les valeurs de x et de y :
x   cos 
b)
y   sin 
et
Si on connaît (x ; y) :
ρ est le plus facile à déterminer car   OM .
Or on a vu que dans un repère orthonormé, on a : OM  x 2  y 2
Donc :
  x2  y 2
Pour θ, on procède indirectement.
On sait que x   cos 
Donc cos  
x

y   sin 
et
et sin  
y

, ce qui permet de déduire une mesure de  à 2kπ près.
III)
Angles associés et trigonométrie :
1)
Formules :
Connaissant cos α et sin α, on peut facilement donner les cosinus et sinus de plusieurs autres
angles.
Angles associés

cosinus
cos     cos 
sinus
sin      sin 
 
cos       cos 
sin      sin 
 
cos       cos 
sin       sin 


2




cos      sin 
2



cos       sin 
2



sin      cos 
2



sin      cos 
2

2
2)
Equations trigonométriques :
(1)
cos x = a (on résout dans ]-π ; π]) :
Si a  1 , alors S   .
Si a  1 , alors S ;   0 .
Si a  1 , alors S ;     .
Si 1  a  1 , alors il existe un angle α dans ]-π ; π]
tel que cos α = a
→ S ;    ;   .
(2)
sin x = b (on résout dans ]-π ; π]) :
Si b  1, alors S   .
 
Si b  1, alors S ;     .
2
  
Si b  1, alors S ;     .
 2 
Si 1  b  1 , alors il existe un angle β dans ]-π ; π]
tel que sin β = b
→ S ;    ;     .
Propriété :
Soient u et v des réels quelconques. On a les équivalences suivantes :
1) cos u = cos v ssi
u = v + 2kπ ou u = – v + 2kπ
2) sin u = sin v
ssi
u = v + 2kπ ou u = π – v + 2kπ