On définit l`angle orienté par

1S Chapitre G3 ANGLES ORIENTES
I) Les angles orientés :
1) Orientation du plan :
Définition : Orienter le plan, c’est choisir, pour tous les cercles, un même sens de rotation
appelé sens positif (ou sens direct).
Généralement, on choisit pour sens positif le sens inverse des aiguilles d’une montre, aussi
appelé sens trigonométrique. Les angles géométriques toujours positifs (écarts entre deux
demi-droites), deviennent des angles orientés, munis d’un signe + ou –.
2) Cercle trigonométrique et mesure d’angles orientés :
Soit un repère orthonormé (O ;
i
,
j
). Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et
de rayon 1.
Propriété :
Soit M un point du cercle trigonométrique.
On mesure l’angle orienté
,OI OM
en prenant la longueur de l’arc orienté
IM
.
Cette mesure est donnée en radians et est connue à 2π près.
D (angle en °)
-360°
-180°
0°
30°
45°
60°
90°
120°
180°
360°
720°
α (angle en rad)
-2π
-π
0
π/6
π/4
π/3
π/2
2π/3
π
2π
4π
180
D

Exemple :
L’angle
2
correspond à un point unique : le point J(0 ; 1).
Inversement, le point J correspond à
2
, mais aussi à
52
;
92
;
13
2
; … Chaque fois
qu’on rajoute 2π, on trouve une autre mesure possible pour l’angle. Les angles obtenus par
soustractions successives de 2π sont aussi valables :
32
;
72
;
11
2
; …
Propriété :
 A tout angle α orienté correspond un point unique M du cercle trigonométrique, de
coordonnées (cos α ; sin α).
 A tout point M du cercle trigonométrique correspondent une infinité de mesures d’angle
possibles, avec un écart de 2π entre deux mesures consécutives.
Connaissant une mesure α, les autres mesures possibles s’écrivent α’ = α + k x 2π, avec k
entier relatif, ou encore : α’ = α + 2kπ ;
k
.
On appelle mesure principale la seule de ces valeurs possibles appartenant à ]-π ; π].
Remarque : On parle de RON direct et de RON indirect selon l’orientation de l’angle (
i
,
j
).
3) Angle orienté de deux vecteurs unitaires :
Définition :
Soit un cercle trigonométrique de centre O, et
u
et
v
deux vecteurs unitaires (tels que
1uv
). Il existe deux points uniques M et N sur le cercle trigonométrique tels que
OM u
et
ON v
.
L’angle orienté
,uv
, égal à l’angle
,OM ON
, est défini comme étant la longueur de l’arc
orienté
MN
. Cette mesure est donnée en radians et est connue à 2π près.
, , 2u v OM ON k
;
k
.

4) Angle orienté de deux vecteurs non nuls :
Définition :
Soit un cercle trigonométrique de centre O, et
u
et
v
deux vecteurs non nuls.
Les vecteurs
u
u
et
v
v
sont des vecteurs unitaires. Il existe deux points uniques M et N sur
le cercle trigonométrique tels que
u
OM u
et
v
ON v
.
On définit l’angle orienté
,uv
par :
,,u v OM ON
(à 2kπ près).
Remarques :
- La norme des vecteurs n’intervient pas dans la mesure de l’angle. Seules comptent leurs
directions et leurs sens.
- Si l’un des vecteurs est nul, aucun angle ne peut être défini, car il manque une direction.
Cas particuliers :
-
, 0 2 2u u k k
pour tout vecteur
u
.
-
,2u u k
pour tout vecteur
u
.
5) Propriétés :
Remarque : Pour toutes les égalités d’angles qui suivent, on sous-entend que ces égalités sont
« à 2kπ près ».
Relation de Chasles (admise) :
Pour trois vecteurs non nuls
u
,
v
et
w
, on a :
, , ,u v v w u w
Conséquences : Soient
u
,
v
et
i
trois vecteurs non nuls. On a :
1)
,,v u u v
. Les angles orientés
,uv
et
,vu
sont opposés.
2)
, , ,u v i v i u
3) Si k > 0, alors
,,ku v u v
Si k < 0, alors
,,ku v u v
4)
,,u v u v  
.

Preuves :
1)
, , , 0v u u v v v  
, donc
,,v u u v
2)
, , , , , , ,i v i u i v u i u i i v u v     
donc
, , ,u v i v i u
3) Si k > 0, alors
ku
et
u
ont même sens, donc
, , , 0 , ,ku v ku u u v u v u v    
Si k < 0, alors
ku
et
u
ont des sens opposés, donc
, , , ,ku v ku u u v u v
4)
, , , , , , 2 ,u v u u u v v v u v u v u v
.
6) Angles particuliers :
Propriétés : Soient
u
et
v
deux vecteurs non nuls.
1)
u
et
v
sont colinéaires ssi
,u v k
;
k
.
2)
u
et
v
sont orthogonaux ssi
,2 u v k
;
k
.
Preuves :
1)
u
et
v
colinéaires ssi il existe un nombre λ tel que
vu
(car
v
est non nul).
ssi
0 2 0
,, 20
n si
u v u u n si
puis
,u v k
;
k
.
2)
u
et
v
orthogonaux ssi
,2
2
u v n
ou
,2
2
u v n
.
ssi
,2 u v k
;
k
.
II) Coordonnées polaires d’un point du plan :
1) Repérage polaire :
Définition : Soit O un point du plan et
i
un vecteur unitaire.
A tout point du plan M distinct de O, on associe un couple de réel
,
tel que
OM
et
est une mesure de l’angle orienté
,i OM
.
Un tel couple
,
caractérise la position du point M dans le plan. On l’appelle couple de
coordonnées polaires de M (dans le repère de pôle O et d’axe polaire
,Oi
).

Remarque :
- Dans un couple de coordonnées polaires, ρ est unique mais est défini à un multiple de 2π
près.
- Le point O n’a pas de coordonnées polaires. On pourrait prendre
0
, mais on ne pourrait
pas trouver une valeur précise de .
2) Passage d’un repérage à l’autre :
On munit le plan d’un repère orthonormé direct (O ;
i
,
j
).
Soit M un point du plan distinct de l’origine, de coordonnées cartésiennes (x ; y).
On considère ses coordonnées
,
dans le repère de pôle O et d’axe polaire
,Oi
.
Comment passer de l’un à l’autre des couples de coordonnées ?
a) Si on connaît (ρ ; θ) :
On considère le point P de coordonnées polaires (1 ; θ).
C’est un point du cercle trigonométrique car OP = 1.
On a alors : P a pour coordonnées cartésiennes (cos θ ; sin θ).
On en déduit par multiplication les valeurs de x et de y :
cosx
et
siny
b) Si on connaît (x ; y) :
ρ est le plus facile à déterminer car
OM
.
Or on a vu que dans un repère orthonormé, on a :
22
OM x y
Donc :
22
xy
Pour θ, on procède indirectement.
On sait que
cosx
et
siny
Donc
cos x
et
sin y
, ce qui permet de déduire une mesure de à 2kπ près.
III) Angles associés et trigonométrie :
1) Formules :
Connaissant cos α et sin α, on peut facilement donner les cosinus et sinus de plusieurs autres
angles.