Trigonométrie, angles orientés I. Radian Le radian est une mesure d’angle. Le cercle trigonométrique est, dans un repère (O ; ) du plan, le cercle de centre O et de rayon 1. M est un point de ce cercle, I est le point de coordonnées (1 ;0). Une mesure, en radians de l’angle IOM est la longueur de l’arc de cercle IM Cette longueur est proportionnelle à l’angle. D’où la correspondance : 180° correspondent à radians (angle plat) II. Angles orientés. Def : et sont deux vecteurs non nuls. M et M’ sont les points tels que : A et B sont les points d’intersection du cercle trigonométrique et des demidroites [OM) et [OM’) respectivement. l est la longueur de l’arc AB dans le sens positif. Les nombres de la forme l +2k avec k ∈ ℤ sont les mesures de l’angle orienté de vecteurs ( ; Def : la mesure principale de l’angle orienté de vecteurs ( ; est celle qui appartient à l’intervalle ]– ] III. Sinus et cosinus. a. Définitions Def : M est un point du cercle trigonométrique. On considère l’angle orienté de vecteurs ( ; ) et une mesure de cet angle orienté alors : cos ( ; ) = cos = abscisse de M et sin ( ; ) = sin = ordonnée de M Remarque : ces définitions sont cohérentes avec celles de sin et cos vues dans le triangle rectangle. Conséquence : pour tout réel , on a : –1 ≤ cos ≤ 1 et –1 ≤ sin ≤ 1 Propriété : pour tout réel , on a : cos² + sin² =1 b. Tableau des valeurs remarquables. A connaitre ! cos sin 0 1 0 –1 0 1 0 c. Propriétés est une mesure d’un angle orienté cos(–cos() et sin(–) = – sin cos(–cos et sin(–sin cos(–cos et sin(sin cos ( –sin et sin ( cos IV. cos ( sin et sin ( cos Propriétés des angles orientés Dans toute cette partie, , et a. Colinéarité et sont colinéaires ssi ( ; sont trois vecteurs non nuls = + k, k entier relatif . Si les 2 vecteurs sont de même sens, une mesure de ( ; S’ils sont de sens opposés, une mesure de ( ; est 0 est Cette propriété permet de montrer le parallélisme de deux droites, l’alignement de 3 points … b. ( ; ( ; c. Relation de Chasles : ( ;