Trigonométrie, angles orientés Radian Le radian est une mesure d

Trigonométrie, angles orientés
I. Radian
Le radian est une mesure d’angle.
Le cercle trigonométrique est, dans un repère (O ; ) du plan, le cercle de centre O
et de rayon 1.
M est un point de ce cercle, I est le point de coordonnées (1 ;0). Une mesure, en
radians de l’angle IOM est la longueur de l’arc de cercle IM
Cette longueur est proportionnelle à l’angle. D’où la correspondance :
180° correspondent à  radians (angle plat)
II. Angles orientés.
Def : et sont deux vecteurs non nuls. M et M’ sont les points tels que :
A et B sont les points d’intersection du cercle trigonométrique et des demi-
droites [OM) et [OM’) respectivement. l est la longueur de l’arc AB dans le sens
positif.
Les nombres de la forme l +2k avec k ∈ ℤ sont les mesures de l’angle orienté de
vecteurs ( ;

Def : la mesure principale de l’angle orienté de vecteurs (; est celle qui
appartient à l’intervalle ]– ]
III. Sinus et cosinus.
a. Définitions
Def : M est un point du cercle trigonométrique. On considère l’angle orienté de
vecteurs (; ) et  une mesure de cet angle orienté alors :
cos ( ; ) = cos  = abscisse de M et sin ( ; ) = sin = ordonnée de M
Remarque : ces définitions sont cohérentes avec celles de sin et cos vues dans le triangle
rectangle.
Conséquence : pour tout réel , on a : –1 ≤ cos ≤ 1 et –1 ≤ sin ≤ 1
Propriété : pour tout réel , on a : cos² + sin² =1
b. Tableau des valeurs remarquables. A connaitre !
0
cos
1
0
–1
sin
0
1
0

c. Propriétés  est une mesure d’un angle orienté
 cos(–cos() et sin(–) = – sin
 cos(–cos  et sin(–sin 
 cos(–cos  et sin(sin 
 cos ( –sin  et sin ( cos 
 cos ( sin  et sin ( cos 
IV. Propriétés des angles orientés
Dans toute cette partie, , et sont trois vecteurs non nuls
a. Colinéarité
et sont colinéaires ssi (; =  + k, k entier relatif .
Si les 2 vecteurs sont de même sens, une mesure de (; est 0
S’ils sont de sens opposés, une mesure de (; est 
Cette propriété permet de montrer le parallélisme de deux droites, l’alignement
de 3 points …
b. (;
(;
c. Relation de Chasles : ( ;