Fractions continues et sommes de deux carrés
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Fractions continues et sommes de deux carrés Dans cette partie on utilise les résultats et les notations de Fractions arithmétiques (niveau 2) On utilise aussi dans la dernière question les résultats de Carrés de Z/pZ (niveau 1). Tous les ak sont des entiers strictement positifs, les pk et les qk sont définis par les nombres a1 , a2 ,, an1 , an . 1. Renversement d'une fraction continue. p q Montrer que n1 a n , a n1 ,, a 2 et que n1 a n , an1 ,, a2 , a1 . pn qn 2. Fractions continues symétriques. a. Montrer que (a1 , a2 ,, an1 , an ) (an , an1 ,, a2 , a1 ) si et seulement si pn qn1 . b. Lorsque la condition du a. est vérifiée, montrer que qn divise pn (1) n . 2 3. On suppose n=2s et (a1 , a2 ,, an1 , an ) (an , an1 ,, a2 , a1 ). a. Montrer que q s p s p s 1q s 1 et qs qs 1 sont premiers entre eux en calculant 2 2 ps (qs qs1 ) qs (qs ps qs1 ps 1 ) et ps1 (qs qs 1 ) qs 1 (qs ps qs 1 ps1 ). 2 2 2 2 b. Montrer que p2 s q s p s p s 1q s 1 et que q2 s qs qs 1 . 2 2 4. Soit p et q deux entiers premiers entre eux tels que q divise p2+1 avec q>p.On note aussi p’ l'entier tel que p 2 1 qp . On admet qu'il existe n pair (égal à 2s) et des entiers a1 , a2 ,, an1 , an tels que : p a1 , a 2 ,, a n 1 , a n . q a. Montrer que p p2 s 1 p. b. Montrer que p2 s ( p2 s q2 s 1 ) q2 s ( p p2 s 1 ). c. Montrer que (a1 , a2 ,, a2 s ) (a2 s ,, a2 , a1 ). En déduire que q est somme de deux carrés premiers entre eux. 5. Soit p un entier non nul et q un diviseur de p 2 1. a. Si q<p, montrer qu'il existe un r tel que 1 r q et que q divise r 2 1. b. Montrer que q est somme de deux carrés premiers entre eux. 6. Soit a et b deux entiers premiers entre eux et q un diviseur de a 2 b 2 . a. Montrer que a et b sont premiers avec q. b. Montrer qu'il existe un entier tel que 2 a 2 1 0(q). c. Montrer que tout diviseur d'un nombre somme de deux carrés premiers entre eux est encore un nombre somme de deux carrés premiers entre eux . 7.a. Montrer qu'un nombre premier congru à 1 modulo 4 est somme de deux carrés premiers entre eux. b. Montrer que, si un nombre est somme de deux carrés premiers entre eux, tous ses facteurs premiers sont congrus à 1 modulo 4. c. Montrer que, lorsque tous les facteurs premiers d'un nombre sont congrus à 1 modulo 4, il est somme de deux carrés. d. Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers congrus à 1 modulo 4. Commentaires La démonstration de la propriété admise dans l'énoncé de la question 4. se trouve dans Fractions continues et algorithme d'Euclide (niveau 3). Cet texte est tiré de [Ser] mais l'idée du renversement d'une fraction continue figure déjà dans Le premier mémoire de Galois (niveau 3) pour caractériser les irrationnels quadratiques immédiatement périodiques. La démonstration présentée ici s'adapte aux fractions continues rationnelles. Solution 1. Les relations de récurrence s'écrivent : p2 a2 p1 p0 , p3 a3 p2 p1 , , pn an pn1 pn2 . Comme p0 est nul, on déduit : p p p1 1 p 1 1 1 , 2 , 3 , , n 1 , p1 p 4 p2 pn2 p 2 a 2 p3 pn a3 a4 an p2 p3 p n 1 p 1 puis n1 an , an1 ,, a2 . 1 pn an an1 1 a3 a2 Le raisonnement pour les q est identique au précédent (sauf que q0=1, q1=a1 ) : qn1 1 an , an1 ,, a1 . 1 qn an an1 1 a2 a1 2.a. Si (a1 , a2 ,, an ) (an , an1 ,, a1 ), on a aussi : a1 , a2 ,, an pn q an , an1 ,, a1 n1 , donc pn qn1 . qn qn Réciproquement, si pn qn1 , a1 , a2 ,, an an , an1 ,, a1 . De l'identité entre les deux réduites d'ordre n, on déduit, grâce aux propriétés démontrées dans Fractions arithmétiques, l'identité entre les deux n-uplets. b. La relation p n q n 1 p n 1q n (1) n 1 s'écrit alors pn pn1qn (1) n1. 2 Ce qui montre bien que qn divise pn (1) n . 2 3.a. Les relations p k q k 1 p k 1q k (1) k 1 montrent que p s (q s q s 1 ) q s (q s p s q s 1 p s 1 ) (1) s 1 q s 1 , 2 2 p s 1 (q s q s 1 ) q s 1 (q s p s q s 1 p s 1 ) (1) s q s , et que qs et qs-1 sont premiers entre eux. 2 2 On peut alors conclure car un diviseur commun à qs qs1 et qs ps qs 1 ps 1 divisera aussi qs et qs-1. 2 2 b. D'après les résultats déjà obtenus, on peut écrire p2 s 1 1 a1 ,, a s , a s 1 ,, a 2 s a1 ,, a s , a1 ,, a s , a s 1 ,, a2 s a s , a s 1 ,, a1 q2 s qs p s p s 1 q s q s 1 q p q p a1 ,, a s , s s2 s 1 2 s 1 . q q s 1 q s q s 1 s q s q s 1 q s 1 Les représentants de la fraction étant irréductibles, les deux numérateurs et les deux dénominateurs sont respectivement égaux. 4.a. On a 0<p2s-1<p car p est le numérateur de la réduite d'ordre n (la suite des numérateurs ainsi que celle des dénominateurs est croissante) . D'autre part, comme q>p, p2 1 0 p donc 0 p p et finalement p p2 s 1 p. p b. En utilisant p p2 s , q q2 s , 1 pq2 s 1 p2 s 1q, on obtient : p2 s ( p2 s q2 s 1 ) p 2 pq2 s 1 1 qp pq2 s 1 pq2 s 1 p2 s 1q qp pq2 s 1 q( p p2 s 1 ). c. Comme p est premier avec q et qu'il ne peut diviser p p 2 s 1 à cause de l'inégalité du a., la relation démontrée en b. entraîne p p2 s q2 s 1 et p p2 s 1 . On en déduit, d'après la question 2., que (a1 ,, an ) (an ,, a1 ) , puis, d'après la question 3., que q qs qs 1 . 2 2 5.a. On peut choisir le reste de la division de p par q. b. Soit q un diviseur (autre que 1 ou -1) de p 2 1. Si p<q, la question 4.c. montre que q est somme de deux carrés. Sinon, il existe un r strictement plus petit que q et tel que q divise r 2 1. La question 4.c. permet de conclure dans ce cas encore. Les deux carrés sont deux dénominateurs consécutifs de la fraction continue et sont donc premiers entre eux. 6.a. Un diviseur premier commun à q et a diviserait aussi a 2 b 2 puis b 2 donc b en contradiction avec le fait que a et b sont premiers entre eux. On en déduit a (a 2 b 2 ) 1 puis b (a 2 b 2 ) 1. b. Comme b est premier avec q, sa classe dans Z/qZ est inversible. On peut donc prendre pour un représentant positif de l'inverse de la classe de b. c. Soit q un diviseur de a 2 b 2 , alors q divise p 2 1 pour p a. D'après 5.b., le nombre q est somme de deux carrés premiers entre eux. 7.a. Soit q un nombre premier congru à 1 modulo 4, d'après la question 2 de Carrés de Z/qZ, il existe p tel que q divise p 2 1 . On conclut alors avec la question 5. b. Si q est somme de deux carrés premiers entre eux, tout diviseur premier de q l'est aussi (d'après 6.). La question 3. de Carrés de Z/qZ montre alors que ces diviseurs premiers sont tous congrus à 1 modulo 4. c. Réciproquement, supposons que tous les facteurs premiers d'un nombre q soient congrus à 1 modulo 4, chacun d'eux est alors somme de deux carrés. Exprimons la formule donnant le carré du module du produit de deux nombres complexes sous la forme de l'identité (a 2 b 2 )(a 2 b 2 ) (aa bb) 2 (ab ab) 2 . Ceci montre que le produit de deux nombres sommes de deux carrés reste une somme de deux carrés. Ainsi q est encore une somme de deux carrés. (il n'est pas évident que les carrés soient premiers entre eux) d. Si p1 , p 2 , , p s sont des nombres premiers congrus à 1 modulo 4, considérons le produit p de ces nombres et un diviseur premier q de p 2 1 . Par construction, q est distinct de tous les pi. D'après 5., il est somme de deux carrés premiers entre eux et donc congru à 1 modulo 4. Ainsi, aucune énumération finie de nombres premiers congrus à 1 modulo 4 ne suffit à épuiser tous les nombres de ce type.
