Fractions continues et sommes de deux carrés

Fractions continues et sommes de deux carrés
Dans cette partie on utilise les résultats et les notations de Fractions arithmétiques (niveau 2) On utilise aussi
dans la dernière question les résultats de Carrés de Z/pZ (niveau 1).
Tous les ak sont des entiers strictement positifs, les pk et les qk sont définis par les nombres
nn aaaa ,,,, 121 
.
1. Renversement d'une fraction continue.
Montrer que
21
1,,, aaa
p
pnn
n
n
et que
.,,,, 121
1aaaa
q
qnn
n
n
2. Fractions continues symétriques.
a. Montrer que
),,,,(),,,,( 121121 aaaaaaaa nnnn   
si et seulement si
.
1
nn qp
b. Lorsque la condition du a. est vérifiée, montrer que qn divise
.)1(
2n
n
p
3. On suppose n=2s et
).,,,,(),,,,( 121121 aaaaaaaa nnnn   
a. Montrer que
11 
ssss qppq
et
2
1
2
ss qq
sont premiers entre eux en calculant
).()(et )()( 111
2
1
2
111
2
1
2
  ssssssssssssssss pqpqqqqppqpqqqqp
b. Montrer que
112 
 sssss qppqp
et que
.
2
1
2
2
 sss qqq
4. Soit p et q deux entiers premiers entre eux tels que q divise p2+1 avec q>p.On note aussi
p’ l'entier tel que
.1
2pqp 
On admet qu'il existe n pair (égal à 2s) et des entiers
nn aaaa ,,,, 121 
tels que :
.,,,, 121 nn aaaa
q
p
a. Montrer que
.
12 ppp s
b. Montrer que
).()( 1221222    sssss ppqqpp
c. Montrer que
).,,,(),,,( 122221 aaaaaa ss  
En déduire que q est somme de deux
carrés premiers entre eux.
5. Soit p un entier non nul et q un diviseur de
.1
2p
a. Si q<p, montrer qu'il existe un r tel que
qr 1
et que q divise
.1
2r
b. Montrer que q est somme de deux carrés premiers entre eux.
6. Soit a et b deux entiers premiers entre eux et q un diviseur de
.
22 ba 
a. Montrer que a et b sont premiers avec q.
b. Montrer qu'il existe un entier tel que
).(01
22 qa 
c. Montrer que tout diviseur d'un nombre somme de deux carrés premiers entre eux est
encore un nombre somme de deux carrés premiers entre eux .
7.a. Montrer qu'un nombre premier congru à 1 modulo 4 est somme de deux carrés premiers
entre eux.

b. Montrer que, si un nombre est somme de deux carrés premiers entre eux, tous ses
facteurs premiers sont congrus à 1 modulo 4.
c. Montrer que, lorsque tous les facteurs premiers d'un nombre sont congrus à 1 modulo 4,
il est somme de deux carrés.
d. Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers congrus à 1 modulo 4.
C
Co om mm me en nt ta ai ir re es s
 La démonstration de la propriété admise dans l'énoncé de la question 4. se trouve dans
Fractions continues et algorithme d'Euclide (niveau 3).
 Cet texte est tiré de [Ser] mais l'idée du renversement d'une fraction continue figure déjà
dans Le premier mémoire de Galois (niveau 3) pour caractériser les irrationnels quadratiques
immédiatement périodiques.
 La démonstration présentée ici s'adapte aux fractions continues rationnelles.
S
So ol lu ut ti io on n
1. Les relations de récurrence s'écrivent :
.,,, 2112330122   nnnn ppapppapppap 
Comme p0 est nul, on déduit :
,
1
,,
1
,
1
,
1
1
2
1
3
2
4
4
3
2
1
3
3
2
22
1
n
n
n
n
n
p
p
a
p
p
p
p
a
p
p
p
p
a
p
p
ap
p
.,,,
1
1
1
puis 21
2
3
1
1aaa
a
a
a
a
p
pnn
n
n
n
n
Le raisonnement pour les q est identique au précédent (sauf que q0=1, q1=a1 ) :
.,,,
1
1
111
1
2
1
1aaa
a
a
a
a
q
qnn
n
n
n
n
2.a. Si
),,,,(),,,( 1121 aaaaaa nnn  
on a aussi :
. donc ,,,,,,, 1
1
1121   nn
n
n
nn
n
n
nqp
q
q
aaa
q
p
aaa 
Réciproquement,
.,,,,,,, si 11211 aaaaaaqp nnnnn   
De l'identité entre les deux
réduites d'ordre n, on déduit, grâce aux propriétés démontrées dans Fractions arithmétiques,
l'identité entre les deux n-uplets.
b. La relation
1
11 )1(    n nnnn qpqp
s'écrit alors
.)1( 1
1
2
 n nnn qpp
Ce qui montre bien que qn divise
.)1(
2n
n
p
3.a. Les relations
1
11 )1(    k kkkk qpqp
montrent que

,)1()()(
,)1()()(
111
2
1
2
1
1
1
11
2
1
2
s
s
ssssssss
s
s
ssssssss
qpqpqqqqp
qpqpqqqqp
et que qs et qs-1 sont premiers entre eux.
On peut alors conclure car un diviseur commun à
11
2
1
2et   ssssss pqpqqq
divisera aussi
qs et qs-1.
b. D'après les résultats déjà obtenus, on peut écrire
.,,,
,,, 1
,,,
,,1
,,,,,,,,
2
1
211
1
1
1
1
1
1
11
1
21
1211
2
2
ss
ssss
ss
s
s
ss
s
s
s
s
s
ss
s
ss
ssss
s
s
qq
pqpq
qq
q
q
pp
q
q
q
q
aa
aaa
aa
aa
aaaaaa
q
p
Les représentants de la fraction étant irréductibles, les deux numérateurs et les deux
dénominateurs sont respectivement égaux.
4.a. On a 0<p2s-1<p car p est le numérateur de la réduite d'ordre n (la suite des numérateurs
ainsi que celle des dénominateurs est croissante) .
D'autre part, comme q>p,
. finalementet 0 donc
1
012
2ppppp
p
p
ps
b. En utilisant
,1,, 121222 qppqqqpp ssss  
on obtient :
).(
1)(
12121212
1212
2
1222
ssss
sssss ppqpqpqqppq
pqpqpqpqpp
c. Comme p est premier avec q et qu'il ne peut diviser
12 
s
pp
à cause de l'inégalité du
a., la relation démontrée en b. entraîne
.et 12122    sss ppqpp
On en déduit, d'après la question 2., que
),,(),,( 11 aaaa nn  
, puis, d'après la question 3.,
que
.
2
1
2
 ss qqq
5.a. On peut choisir le reste de la division de p par q.
b. Soit q un diviseur (autre que 1 ou -1) de
.1
2p
Si p<q, la question 4.c. montre que q est somme de deux carrés. Sinon, il existe un r
strictement plus petit que q et tel que q divise
.1
2r
La question 4.c. permet de conclure
dans ce cas encore.
Les deux carrés sont deux dénominateurs consécutifs de la fraction continue et sont donc
premiers entre eux.
6.a. Un diviseur premier commun à q et a diviserait aussi
222 puis bba 
donc b en
contradiction avec le fait que a et b sont premiers entre eux. On en déduit
.1)( puis 1)( 2222  babbaa
b. Comme b est premier avec q, sa classe dans Z/qZ est inversible. On peut donc prendre
pour un représentant positif de l'inverse de la classe de b.

c. Soit q un diviseur de
22 ba 
, alors q divise
.pour 1
2app
D'après 5.b., le
nombre q est somme de deux carrés premiers entre eux.
7.a. Soit q un nombre premier congru à 1 modulo 4, d'après la question 2 de Carrés de Z/qZ,
il existe p tel que q divise
1
2p
. On conclut alors avec la question 5.
b. Si q est somme de deux carrés premiers entre eux, tout diviseur premier de q l'est aussi
(d'après 6.). La question 3. de Carrés de Z/qZ montre alors que ces diviseurs premiers sont
tous congrus à 1 modulo 4.
c. Réciproquement, supposons que tous les facteurs premiers d'un nombre q soient
congrus à 1 modulo 4, chacun d'eux est alors somme de deux carrés.
Exprimons la formule donnant le carré du module du produit de deux nombres complexes
sous la forme de l'identité
.)()())((222222 bababbaababa 
Ceci montre que le produit de deux nombres sommes de deux carrés reste une somme de deux
carrés. Ainsi q est encore une somme de deux carrés. (il n'est pas évident que les carrés soient
premiers entre eux)
d. Si
s
ppp ,,, 21 
sont des nombres premiers congrus à 1 modulo 4, considérons le
produit p de ces nombres et un diviseur premier q de
1
2p
.
Par construction, q est distinct de tous les pi. D'après 5., il est somme de deux carrés premiers
entre eux et donc congru à 1 modulo 4.
Ainsi, aucune énumération finie de nombres premiers congrus à 1 modulo 4 ne suffit à épuiser
tous les nombres de ce type.