II) Sous

Structures Algébriques
Définitions ......................................................................................................... 3
Groupes ............................................................................................................. 7
I) Définitions ............................................................................................ 7
II) Sous-groupe ......................................................................................... 7
1) Propriétés diverses .......................................................................... 9
2) Application à (Z,+) .......................................................................... 9
3) Application au groupe des permutations ......................................... 9
Index des notions ............................................................................................ 11

Définitions
Soit E un ensemble.
Def (loi de composition interne) : On appelle « loi de composition
interne » sur E une application f de
EE
dans E. Soient
Eyx ,
.
L’image
yxf ,
est appelée composé de x et y et se note
généralement
yxT
.
Rq : Si E est fini, on peut décrire la loi de composition par sa table
de Pythagore.
nninnn
njijjj
ni
ni
n
eeeeeee
eeeeeee
eeeeeee
eee
eeeE
TTT
TTT
TTT
,,,
1
1
11111
1
21
Def (commutatif, associatif) : La loi de composition T est dite :
- commutative ssi
xyyxEyx TT, 
- associative ssi
zyxzyxEzyx TTTT,, 
Def (centre) : On appelle centre de E (relativement à T) le sous-
ensemble C les éléments qui commutent avec tous les autres.
xyyxEyExC TT 
Un élément du centre est appelé central.
Def (élément neutre) : Un élément
Ee
est dit élément neutre si :
xexxeEx  TT
.
Def (élément simplifiable) : Un élément
Ex
est simplifiable si
 'T'T
''TT
', yyxyxy
yyyxyx
Eyy
Def (élément symétrisable) : Un élément
Ex
est dit
symétrisable s’il existe un élément neutre e et s’il existe
Ex'
tel
que
exxxx  T''T
.

On dit que
'x
est le symétrique de x.
Def (permutation) : Une bijection de E dans E est appelée
permutation de E.
Rq : 1) S’il existe un élément neutre, alors il est unique.
2) Si
'x
est le symétrique de x, alors x est le symétrique de
'x
.
3) Si
'x
et
'y
sont les symétriques de x et y, et si T est
associative, alors
'T' xy
est le symétrique de
yxT
.
4) Si T est associative, et si x est symétrisable, alors x est
simplifiable.
5) Si
Ex
est simplifiable et symétrisable, alors son
symétrique est unique.
6) Soient X et Y deux parties de E.
On note
YX T
l’ensemble :
yxzYyXxEzYX TT 
Soit
Ex
, on note
xYxY
YxYx
TT
TT
7) Une partie
EX 
est dite stable (relativement à T) si
XXX T
.
Prop : Soient E un ensemble, T une loi de composition sur E
associative, et
Exx n,,
1
.
Alors le composé de
n
xx ,,
1
, dans cet ordre, ne dépend pas du
parenthésage, et on le note
n
xxx TTT 21 
.
Notations :
- une loi de composition associative est souvent notée
multiplicativement :
xyyxyxyx T
Le composé est appelé produit
L’élément neutre est appelé unité et est souvent noté 1.
Un élément symétrisable est dit inversible, son symétrique est
appelé inverse, et noté
1
x
.
On note
n
x
le produit nième de x avec lui-même.

- une loi de composition associative et commutative est
souvent notée additivement.
Le composé s’appelle une somme, le symétrique, un opposé noté
x
, et l’élément neutre peut être noté 0.