PRODUIT SCALAIRE DANS L`ESPACE

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PRODUIT SCALAIRE DANS L’ESPACE
I – Rappels sur le produit scalaire dans le plan
1. Différentes expressions du produit scalaire
Soient
u
et
v
deux vecteurs du plan.
 Si l’un des vecteurs est nul alors le produit scalaire est nul.
 Si ces deux vecteurs sont non nuls, le produit scalaire de
u
et
v
est le réel :
u v AB AC AB AC cosBAC   
,
AB et AC
étant deux représentants respectifs de
u
et
v
.
Remarque : Ce produit scalaire est indépendant des représentants. On peut donc choisir des
représentants de même origine.
Propriétés :
1. Si H est le projeté orthogonal de C sur (AB) et K le projeté orthogonal de B
sur (AC), on a :
AB AC AB AH AK AC
.
2. Si
u
et
v
sont deux vecteurs colinéaires et de même sens, alors :
u v u v
, c’est-à-dire
AB AC AB AC
.
Si
u
et
v
sont deux vecteurs colinéaires de sens contraire, alors :
u v u v  
, c’est-à-dire
AB AC AB AC  
.
3.
uu
est noté
2
u
et est appelé carré scalaire de
u
.
On a
u u u u
donc
2
2
22
u u et AB AB
.
4. Soient
u, v et w trois vecteurs du plan et k un réel,
u v v u
u kv ku v k u v
u v w u v u w  
222
u v u 2u v v   
22
u v u v u v   
222
u v u 2u v v   
5.
2 2 2
1
u v u v u v
2
.
6.
u et v
sont orthogonaux si, et seulement si,
u v 0
.
Exercice n°1 :
Soit ABCD un rectangle tel que AB = 4 et AD = 3.
Soient A’ et C’ les projetés orthogonaux respectifs de A et C sur (BD).
1. a. Calculer
BA BD
.
b. En déduire
cosABD, puis une valeur approchée de ABD.
2. a. Calculer
AC DB
.
b. En déduire A’C’.

2
Exercice n°2 :
Soit ABC un triangle rectangle et isocèle en A. Soient I et J les points tels
que
11
AI AB et AJ AC
33
, K le milieu de [IC].
Démontrer que les droites (AK) et (JB) sont perpendiculaires.
Avec des coordonnées
 Dans un repère orthonormé, si
u
et
v
ont respectivement pour coordonnées (x ; y) et
(x’ ; y’), alors
22
u v xx' yy' et u x y   
.
 Dans un repère orthonormé, si A et B sont deux points du plan de coordonnées
respectives
A A B B
x ; y et x ; y
, alors
2
2
B A B A
AB x x y y   
.
Applications à la géométrie
 Dans un parallélogramme ABDC,
2 2 2
1
AB AC AD AB AC .
2
 Dans un triangle ABC,
2 2 2
1
AB AC AB AC BC .
2
 Soient A et B deux points du plan et I le milieu du segment [AB], alors, pour tout
point M du plan,
2 2 2 2
1
MA MB 2MI AB
2
(Théorème de la médiane).
 Soient ABC un triangle et a, b et c les longueurs respectives des côtés [BC], [AC] et
[AB], alors :
2 2 2
a b c 2bccosA  
. (cette formule porte le nom de Al Kashi)
On obtient deux autres formules par permutation circulaire des lettres.
2. Équations de droites et cercles dans un plan
Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
Définition :
Un vecteur normal d’une droite est un vecteur non nul orthogonal à tout vecteur
directeur de cette droite.
Propriétés :
 Si
n a; b
est un vecteur normal de la droite d, alors une équation de d s’écrit sous la
forme
ax by c 0  
.
Réciproquement, si a et b sont deux réels non nuls, l’équation
ax by c 0  
est
l’équation d’une droite dont le vecteur de coordonnées (a ; b) est un vecteur normal.
 Le cercle de centre I (a ; b) et de rayon R est l’ensemble des points M(x ; y) tels que :
22
IM R
. Une équation de ce cercle est
2
22
x a y b R   
.
Le cercle de diamètre [AB] est l’ensemble des points M du plan tels que :
MA MB 0
.

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Exercice n°3 :
Dans un repère orthonormé, on donne les points :
A 1; 3 , B 2; 5 et C 1; 4
.
1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle en A.
2. Déterminer une équation du cercle circonscrit au triangle ABC.
3. Déterminer une équation de la médiatrice de [BC].
3. Distance d’un point à une droite dans le plan
Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
Définition :
Soient d une droite du plan et M un point quelconque du plan.
On appelle distance du point M à la droite d la distance MH où H est le projeté
orthogonal de M sur d.
Activité :
Soient
AA
A x ; y
un point du plan et d une droite d’équation
ax by c 0  
avec a
et b deux réels non nuls.
Démontrer que la distance de A à la droite d est
AA
22
ax by c
ab
.
Propriété :
Soient d une droite d’équation
ax by c 0  
avec a et b deux réels non nuls et
AA
A x ; y
un point du plan.
La distance du point A à la droite d est égale à
AA
22
ax by c
ab
.
Exercice n°4 :
Dans un repère orthonormé, on donne la droite d d’équation
3x 4y 7 0  
et le
point
A 2; 1
.
1. Déterminer la distance de A à la droite d.
2. Vérifier que les points
B 1; 1 et C 1; 2,5
appartiennent à la droite d.
3. Déterminer l’aire du triangle ABC et en déduire la distance h de B à la droite
(AC). Donner une valeur approchée de cette distance.

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II – Produit scalaire dans l’espace
1. Définition
Soient
vetu
deux vecteurs de l’espace. A, B et C trois points de l’espace
vérifiant
ACvetABu
.
Il existe au moins un plan (P) contenant les trois points A, B et C.
Le produit scalaire des deux vecteurs
vetu
de l’espace est le produit scalaire
des deux vecteurs
ACetAB
, calculé dans le plan (P).
Remarque : On admet que le produit scalaire est indépendant du choix des représentants
des deux vecteurs et du choix du plan.
2. Expressions du produit scalaire
Normes et angles
Projection orthogonale
Si
vetu
sont non nuls
u v u v cos   
où  = ;BAC
Si
u
est non nul
u v AB AH
,
où H est le projeté orthogonal de C sur (AB)
Exercice n°5 :
Soit ABC un triangle équilatéral de côté a. Sur la perpendiculaire au plan (ABC)
en C, on place le point D tel que CD = a. Soit H le projeté de A sur (BD).
1° Démontrer que
BD
4
1
=BH
.
2° Calculer la valeur approchée à
1
10 -
près de l’angle ;DBA.
3. Règles de calcul (admises)
 Pour tous vecteurs
wetv,u
de l’espace, et tout réel k :
u•v=v•u
)v•u(k=v•)uk(
w•u+v•u=)w+v(•u
 Par définition, deux vecteurs
vetu
sont orthogonaux si, et seulement si,
0=v•u
.
A
B
C
A
Aa
A
A
A
C
H
B
(P)
u
v
u
A
v
A

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4. Orthogonalité dans l’espace
Droites orthogonales
Deux droites (D) et (D’) de vecteurs directeurs respectifs
vetu
sont orthogonales si, et seulement si,
0=v•u
.
Droite et plan perpendiculaires
Une droite (D) de vecteur directeur
u
et un plan (P)
de base
( )
w,v
sont perpendiculaires (ou orthogonaux) si, et
seulement si,
0=v•u
et
0=w•v
.
Exercice n°6 :
Soit ABCDEFGH un cube. Démontrer que la droite (AG) est orthogonale au
plan (CFH).
5. Vecteur normal
Par définition, un vecteur directeur d’une droite perpendiculaire au plan (P) est appelé
vecteur normal à (P).
Soit A un point de l’espace et
n
un vecteur non nul.
L’ensemble des points M de l’espace tel que
0=n•AM
est le plan passant par A et de vecteur normal
n
.
Exemple :
Soit [AB] un segment de milieu I. L’ensemble des points M de l’espace
équidistants des points A et B est le plan médiateur du segment [AB] : c’est le plan
passant par I et de vecteur normal
AB
.
Exercice n°7 :
Soient O un point de l’espace,
n
un vecteur unitaire et (P) le plan
passant par O et orthogonal à
n
. On désigne par H le projeté orthogonal d’un point M sur
le plan (P).
Exprimer
OH
à l’aide des vecteurs
OM
et
n
.
6. Plans perpendiculaires
Par définition, deux plans sont perpendiculaires lorsque l’un contient une droite
perpendiculaire à l’autre.
P
w
v
u
(D’)
(D)
M
A
n