chap11-oscillateurs_meca_libres_1smp

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1S Cours Physique
Chap 11 : Oscillateurs mécaniques libres
Traduction du titre :
Oscillateur : système qui évolue périodiquement autour d’un état d’équilibre.
Mécanique : c’est une grandeur mécanique qui oscille: force, position, vitesse, accélération…
Libre : une fois en oscillation, le système évolue librement sans apport d’énergie extérieur.
Exemple typique : la balançoire (si personne ne pousse, et si on ne s’élance pas…).
I. Oscillateur mécanique non amorti
L’oscillateur reçoit de l’énergie pour entrer en oscillation puis, s’il est non amorti, son
énergie reste ………………………. tout comme ……………………………….. des
oscillations.
Hypothèse : la condition précédente n’est réalisée que si on néglige tous les
…………………………………………….
1. Le pendule simple
a) Description du système
Un pendule simple est constitué d’un objet ponctuel de masse m suspendu à un point
fixe par un fil de longueur l invariable et de masse négligeable.
Syst : Ref :
ext
F
: (à représenter)
C.I position (1) : à t = 0, Le pendule est lâché sans vitesse initiale (v0 = 0) à partir de la
position angulaire
0 = m.
b) Echanges énergétiques
Exo 1 : montrer que l’énergie mécanique totale reste constante entre deux positions quelconques (3) et (4) du pendule.
Exo 2 : compléter le tableau suivant, les trous (pointillés) et la conclusion.
position
Ec
Epp
Em = Ec + Epp
(0) départ
(1) verticale
(2) autre extrémité
(3) quelconque
De (0) à (1) : Ec et Epp 
De (1) à (2) : Ec ….. et Epp …..
De (2) à (1) : Ec ….. et Epp …..
De (1) à (0) : Ec ….. et Epp …..
Abcisse X = x, , ...
t
Xm
- Xm
Position
d’équilibre
Position d’équilibre
m
m
(1)
(0)
(2)
(3)
z

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Conclusion : l’énergie mécanique totale d’un pendule simple non amorti est ………………………
Durant les oscillations, il y a transformation mutuelle d’énergie …………………… en énergie ……………………………… sans
pertes.
Exo 3 : utiliser la constance de l’énergie mécanique pour :
- montrer que l’amplitude des oscillations est constante :
2 = - m,
- trouver l’expression de v1 au passage par la verticale (
1 = 0),
- trouver l’expression de v3 pour une position quelconque (
3).
c) Période propre du pendule
L’oscillateur étant libre, sa période correspondant à la durée d’une oscillation complète est appelée période propre et est notée T0.
c.1 Faites parler votre intuition
On veut savoir de quoi dépend cette période propre, afin d’obtenir une jolie formule… que nous aurons comprise (et même
construite !) et non subie...
Exo 4 : en vous aidant de l’analyse dimensionnelle, trouver les grandeurs caractéristiques du problème, la force responsable du
mouvement et proposer une expression homogène pour la période d’oscillation T0.
Vous avez du arriver à : T0 = k*f( )* ( l / g ) où k est une constante numérique pure (sans dimension) et f( ) une fonction de l’angle
que l’analyse dimensionnelle ne permet pas de trouver puisque n’a pas de dimension…

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c. 2 Vérifiez votre intuition
Testons, les paramètres qui peuvent intervenir ou non dans cette situation. Il n’est pas utile de mesurer la période, il suffit de comparer
la durée d’une oscillation pour 2 expériences réalisées en même temps.
ATTENTION : quand on « teste » un paramètre, il faut s’assurer que les autres restent fixés (constants) !
 Influence de la masse de l’objet. Veillez à ce que les 2 objets testés possèdent
bien la même forme, la même dimension et que les fils soient de même
longueur et écartés d’un même angle initial.
Observation : T1 …….. T2
Conclusion : la période propre ……………………………………………..
……………………………………………………………………………….
 Influence de la dimension de l’objet. Veillez à ce que les 2 objets testés
possèdent bien la même forme, et que les fils soient de même longueur et
écartés d’un même angle initial.
Rem : est-ce un problème si la masse des 2 objets n’est pas la même ?
Pourquoi ? ………………………..............................................................
Observation : T1 …….. T2
Conclusion : la période propre ……………………………………………..
……………………………………………………………………………….
 Influence de la forme de l’objet. Veillez à ce que les fils soient de même
longueur et écartés d’un même angle initial.
Rem : est-ce un problème si la masse et la dimension des 2 objets ne sont pas
les mêmes ? Pourquoi ? ………………………..................................................
Observation : T1 …….. T2
Conclusion : la période propre ……………………………………………..
……………………………………………………………………………….
 Influence de l’angle initial du pendule. Veillez à ce que les fils soient de
même longueur. Ne pas dépasser environ 20° comme angle initial.
Rem : est-ce un problème si la masse, la dimension et la forme des 2 objets ne
sont pas les mêmes ? Pourquoi ? ……………………….............................
Observation : T1 …….. T2
Conclusion : la période propre ……………………………………………..
……………………………………………………………………………….
 Influence de la longueur du pendule.
Rem : est-ce un problème si la masse, la dimension, la forme des 2 objets ne
sont pas les mêmes ? ni l’angle initial ? Pourquoi ? ………………………..
Observation : T1 …….. T2
Conclusion : la période propre ……………………………………………..
……………………………………………………………………………….
l1
l2 < l1
1
2 = 1
l1
l2 = l1
1
2 > 1
l1
l2 = l1
1
2 = 1
Forme 1
Forme 2 ≠ Forme 1
l1
l2 = l1
1
2 = 1
m1
m2 > m1
l1
l2 = l1
1
2 = 1
R1
R2 > R1

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 Détermination expérimentale du coefficient numérique k.
Connaissant l, mesurez précisément T0 et en déduire la valeur de k. On prendra g = 9,8 m/s2.
Mesure : T0 = ……………….. donc k = ……………………………………………………
Conclusion
La période propre des oscillations de faible amplitude d’un pendule simple non amorti est :
Elle ne dépend ni de la masse ni de l’amplitude des oscillations du pendule.
Rem 1 : la période du pendule ne dépend pas de sa masse car, en négligeant les frottements, on s’est placé dans un cas de chute libre
où les caractéristiques de tels mouvements ne dépendent pas des masses mises en jeu ((re)voir cours).
Rem 2 : la fonction f( ) non donnée par l’analyse dimensionnelle doit être universelle et on peut la déterminer par l’expérience (il
suffit de faire une mesure…).
 Pour de petits angles c’est une constante qui vaut 2 ; c’est-à-dire que la période ne dépend pas de l’amplitude angulaire des
oscillations, résultat découvert il y a près de 400 ans par Galilée (soi-disant en observant se balancer les lustres de la cathédrale
de Pise) et rassemblé sous le nom barbare d’isochronisme des oscillations.
 Pour des angles un peu plus grands, une bonne approximation de f( ) sera donnée par l’expression f( ) = 2 *(1 +
2/16 + ...)
résultat que l’on obtient après un bon PFD et 1h (un peu moins j’espère...) de douloureux calculs qui ne sont pas au programme
de TS !
Exo 5 : en utilisant l’expression précédente, calculer jusqu’à quellle valeur de l’angle l’isochronisme des oscillations est vérifié à
plus de 99 %.
Rem 3 : d’un point de vue physique, l’approche formelle précédente se résume de fait en ce que la seule façon d’obtenir un temps (en
secondes) à partir des différentes grandeurs caractéristiques du problème est de prendre la racine carrée du rapport entre une longueur
(en mètres) et une accélération (en mètres-par-seconde-carrée). Cette approche soulève alors naturellement de vraies questions
physiques comme celle qui consiste à se demander « pourquoi la masse n’intervient-elle pas dans la formule ? » L’approche formelle
montre qu’il n’y avait pas de place pour une masse dans notre équation ce qui signifie que la période du pendule ne peut tout
simplement pas dépendre de sa masse. Ce résultat masque en fait une simplification, au sens mathématique du terme, non triviale
(c’est un élément clé de la théorie de la relativité générale) entre la masse gravitationnelle (intervenant dans la formule P = mg*g)
mesurant l’intensité de l’interaction gravitationnelle sur le pendule, et la masse d’inertie (intervenant dans la formule F = mi*a) qui
régit l’accélération du mouvement sous l’effet de cette interaction. Ainsi un pendule deux fois plus lourd subit une force
gravitationnelle double mais l’accélération qui en résulte est la même, résultat valable pour tous les cas de chute libre.
Rem 4 : on pourrait pousser l’analyse plus loin et se rendre compte que la seule façon d’avoir une grandeur homogène à une vitesse
(en mètres-par-seconde) est de prendre la racine carrée du produit entre une longueur (en mètres) et une accélération (en mètres-par-
seconde-carrée). Ainsi, les vitesses caractéristiques du mouvement pendulaire (vitesse où le pendule repasse par sa position
d’équilibre par exemple) seront de la forme v = (g*l)*f’( ) où f’( ) est alors une autre fonction de l’angle , (grandeur sans
dimension). La conservation de l’énergie a permis d’établir au paragraphe 1.b que, dans le cas le plus général (pour une position
angulaire quelconque) f’( ) = 2*(cos - cos
m). Evidemment, au passage par la position d’équilibre vertical, (
= 0 et cos = 1, ce qui
simplifie la fonction.
m représente l’angle maximal que peut atteindre le pendule : m = 0 si le pendule est lâché sans vitesse initiale.
Période (1min19) : http://www.youtube.com/watch?v=c0NzBYLnOD8#t=68
Bilan complet : vitesse, énergies, accélération, forces (2min) : http://www.youtube.com/watch?v=jyHFXTZmWgI#t=62
Pendules de Galilée (1min29) : http://videosphysique.blogspot.de/search/label/Pendule%20Simple

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2. Le pendule élastique horizontal
a) Description du système
Un pendule élastique est constitué d’un solide de masse m de centre
d’inertie G relié à l’une des extrémités à un ressort de constante de
raideur k et de masse négligeable, et dont l’autre extrémité est fixe.
Syst : Ref :
ext
F
: (à représenter)
C.I position (1) : à t = 0, le pendule est lâché sans vitesse initiale (v0 = 0) à partir de l’abscisse x0 = xm.
b) Echanges énergétiques
Exo 6 : Montrer que l’énergie mécanique totale reste constante entre deux positions quelconques (3) et (4) du pendule.
On rappelle que, à chaque instant, le ressort exerce sur le solide une force de rappel :
R
F
= -
xk 
. Cette force est constante en
direction et sens, mais pas en intensité car elle augmente avec x. Son travail lorsque le système passe d’une position A à une
position B, se calcule par :
WAB (
R
F
) =
B
ARxdF 
*
=
dxxk
xB
xA
.
= k.[- x2/2]xBxA = - ½ k.(xB2- xA2) = ½ k.(xA2- xB2)
Exo 7 : compléter le tableau suivant, les trous (pointillés) et la conclusion.
position
Ec
Epe
Em = Ec + Epe
(0) départ
(1) « d’équilibre »
(2) autre extrémité
(3) quelconque
De (0) à (1) : Ec et Epe 
De (1) à (2) : Ec ….. et Epe …..
De (2) à (1) : Ec ….. et Epe …..
De (1) à (0) : Ec ….. et Epe …..
Conclusion : L’énergie mécanique totale d’un pendule élastique horizontal non amorti est ………………………
Durant les oscillations, il y a transformation mutuelle d’énergie ………………………………………………………… en énergie
……………………………… sans pertes.
Exo 8 : utiliser la constance de l’énergie mécanique pour :
- montrer que l’amplitude des oscillations est constante : x2 = - xm,
- trouver l’expression de v1 au passage par le « point d’équilibre » (x1 = 0),
- trouver l’expression de v3 pour une position quelconque (x3).
Position d’équilibre
x
xm
- xm
(0)
(1)
(2)
(3)
z
x