04 - La chute

Cours n°4 : La chute
1) Le champ de pesanteur terrestre
Il est possible de caractériser en tout point de l’espace la capacité d’attraction de la terre sur un objet
par la définition de la notion de champ de pesanteur.
Cette définition se fait par l’utilisation de la notion de vecteur champ qui permet d’indiquer de
manière unique la direction, le sens et l’intensité de cette capacité d’attraction en un point de
l’espace.
Ce vecteur champ permet de déduire la force agissant sur l’objet en ce même point de l’espace.
L’ensemble de ces vecteurs champ constitue la notion de champ de pesanteur.
La variation de la valeur de ce champ de pesanteur terrestre en fonction de l’altitude étant très
faible, il est possible de le considérer comme constant jusqu’à des altitudes de quelques kilomètres.
La valeur du champ de pesanteur est ainsi le vecteur constant 𝑔⃗ , que l’on appelle accélération de la
pesanteur et qui est défini par :
𝑔⃗
𝑢
⃗⃗𝑧
𝑔⃗ = −𝑔 𝑢
⃗⃗𝑧
avec ‖𝑔⃗‖ = 𝑔 = 9,81 𝑚 ∙ 𝑠 −2
Un corps de masse 𝑚 situé au voisinage de la terre va subir l’attraction de la terre, qui correspond à
la définition de son poids à partir de la notion de champ de pesanteur. On a :
𝑃⃗⃗ = 𝑚 𝑔⃗
où 𝑃⃗⃗ est le vecteur poids.
2) La chute libre
2.1) Définition des hypothèses de chute libre
Un projectile de masse 𝑚 est lancé avec une vitesse initiale 𝑣⃗0 , selon une trajectoire de dimensions
suffisamment faibles de manière à pouvoir considérer le champ de pesanteur comme uniforme.
La chute libre est par définition le mouvement d’un objet soumis uniquement à son propre poids.
Durant une chute libre, on néglige :
- La poussée d’Archimède si 𝜌𝑎𝑖𝑟 ≪ 𝜌𝑠𝑜𝑙𝑖𝑑𝑒
- Les frottements de l’air
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2.2) Caractéristiques dynamiques du mouvement de chute libre
On étudie la trajectoire du projectile dans le référentiel terrestre supposé galiléen.
Bilan des forces : poids du projectile 𝑃⃗⃗ = 𝑚 𝑔⃗
2nde loi de Newton :
∑ 𝐹⃗ = 𝑚 𝑎⃗ ⇒ 𝑃⃗⃗ = 𝑚 𝑎⃗ ⇒ 𝑚 𝑔⃗ = 𝑚 𝑎⃗
⇒ 𝑎⃗ = 𝑔⃗
Le mouvement de chute libre est un mouvement uniformément varié suivant l’accélération de la
pesanteur.
𝑧
𝐺
𝑔⃗
𝑘⃗⃗
𝑖⃗
𝑗⃗
𝑦
𝑂
On a dans un repère orthonormal (𝑂, 𝑖⃗, 𝑗⃗, 𝑘⃗⃗ ) tel que
(𝑂𝑧) soit vertical ascendant, le vecteur accélération
suivant :
𝑥
𝑎𝑥 = 𝑥̈ = 0
𝑎⃗ |𝑎𝑦 = 𝑦̈ = 0
𝑎𝑧 = 𝑧̈ = −𝑔
2.3) Etude de cas
Il est nécessaire de distinguer plusieurs cas dans l’étude du mouvement de chute libre en fonction
des conditions initiales du problème.
2.3.1) Chute libre sans vitesse initiale
Le mobile étudié est ici lâché sans vitesse initiale. On a les conditions initiales suivantes :
𝑥̇ 0 = 0
𝑣⃗0 |𝑦̇ 0 = 0
𝑧̇0 = 0
𝑥0 = 0
𝑟⃗0 |𝑦0 = 0
𝑧0 = 0
On intègre alors le vecteur accélération en tenant compte des conditions initiales du problème.
On a :
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𝑥̈ = 0
𝑎⃗(𝑡) | 𝑦̈ = 0
𝑧̈ = −𝑔
𝑥̇ = 𝑥̇ 0
𝑣⃗(𝑡) |𝑦̇ = 𝑦̇ 0
𝑧̇ = −𝑔 𝑡 + 𝑧̇0
⇒
On a donc :
𝑥̇ = 0
𝑣⃗(𝑡) | 𝑦̇ = 0
𝑧̇ = −𝑔 𝑡
Par intégration du vecteur vitesse, on a :
𝑥(𝑡) = 𝑥0
𝑦(𝑡) = 𝑦0
𝑟⃗(𝑡) |
1
𝑧(𝑡) = − 𝑔𝑡 2 + 𝑧0
2
Ce qui donne :
𝑟⃗(𝑡) |
𝑎⃗ ∙ 𝑣⃗ = 𝑔2 𝑡 > 0
⇒
𝑥(𝑡) = 0
𝑦(𝑡) = 0
1
𝑧(𝑡) = − 𝑔𝑡 2
2
le mouvement est accéléré suivant l’axe 𝑂𝑧.
Un objet lâché sans vitesse initiale et en chute libre est en mouvement rectiligne uniformément
accéléré suivant la direction verticale.
A l’instant t, on a la hauteur de chute ℎ ainsi que la vitesse de l’objet :
1
ℎ = 𝑔𝑡 2
2
et
𝑣=𝑔𝑡
2.3.2) Chute libre avec vitesse initiale verticale
Le mobile est lancé verticalement avec une vitesse 𝑣0 positive ou négative non nulle.
Conditions initiales du problème
𝑥̇ 0 = 0
𝑣⃗0 | 𝑦̇ 0 = 0
𝑧̇0 = 𝑣0
𝑥0 = 0
𝑟⃗0 |𝑦0 = 0
𝑧0 = 0
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Par intégration, on a :
𝑥̈ = 0
𝑦̈
𝑎⃗(𝑡) | = 0
𝑧̈ = −𝑔
⇒
𝑥̇ = 𝑥̇ 0
𝑣⃗(𝑡) |𝑦̇ = 𝑦̇ 0
𝑧̇ = −𝑔 𝑡 + 𝑧̇0
𝑥̇ = 0
𝑣⃗(𝑡) |𝑦̇ = 0
𝑧̇ = −𝑔 𝑡 + 𝑣0
Par intégration du vecteur vitesse, on obtient :
𝑥(𝑡) = 𝑥0
𝑦(𝑡) = 𝑦0
𝑟⃗(𝑡) |
1
𝑧(𝑡) = − 𝑔 𝑡 2 + 𝑣0 𝑡 + 𝑧0
2
Ce qui donne :
𝑟⃗(𝑡) |
Contexte n°1 : 𝑣0 < 0 ⇒
Hauteur de chute : ℎ =
𝑥(𝑡) = 0
𝑦(𝑡) = 0
1
𝑧(𝑡) = − 𝑔 𝑡 2 + 𝑣0 𝑡
2
Le projectile est lancé vers le bas
1
𝑔 𝑡𝑐2
2
Contexte n°2 : 𝑣0 > 0 ⇒
− 𝑣0 𝑡𝑐
ou 𝑡𝑐 est le temps de chute.
Le projectile est lancé vers le haut
Temps de montée 𝑡𝑚 pour 𝑧̇ = 0 ⇒ −𝑔 𝑡𝑚 + 𝑣0 = 0
⇒
𝑡𝑚 =
𝑣0
𝑔
Position maximale 𝑧𝑚 = 𝑧(𝑡𝑚 )
1 2
1 𝑣0 2
𝑣0
𝑧𝑚 = − 𝑔𝑡𝑚
+ 𝑣0 𝑡𝑚 = − 𝑔 ( ) + 𝑣0
2
2
𝑔
𝑔
𝑣2
Hauteur maximale : 𝑧𝑚 = 2𝑔0
Temps au repassage 𝑡0 à l’origine 𝑧(𝑡0 ) = 0
⇒
1
− 𝑔𝑡02 + 𝑣0 𝑡0 = 0
2
L’objet repasse en 𝑂 au bout du temps
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⇒
𝑡0 =
2𝑣0
𝑔
2𝑣0
𝑔
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!
Lorsque un objet est en chute libre, il peut soit tomber soit monter tant que 𝑎⃗ = 𝑔⃗
2.3.3) Chute libre avec vitesse initiale formant un angle 𝜶 avec l’horizontale – le tir parabolique
𝝅
avec (𝜶 ≠ ± 𝟐 )
Conditions initiales du problème
𝑧
𝑥0 = 0
𝑟⃗0 |𝑦0 = 0
𝑧0 = 0
𝑣⃗0
𝑥̇ 0 = 𝑣0 cos 𝛼
𝑣⃗0 | 𝑦̇ 0 = 0
𝑧̇0 = 𝑣0 sin 𝛼
𝛼
𝑘⃗⃗
𝑗⃗
𝑦
𝑂
𝑖⃗
𝑥
L’intégration de l’accélération nous donne :
𝑥̇ = 𝑣0 cos 𝛼
𝑦̇
𝑣⃗(𝑡) | = 0
𝑧̇ = −𝑔 𝑡 + 𝑣0 sin 𝛼
Puis l’intégration de la vitesse nous donne :
𝑥(𝑡) = 𝑣0 𝑡 cos 𝛼
𝑦(𝑡) = 0
𝑟⃗(𝑡) |
1
𝑧(𝑡) = − 𝑔 𝑡 2 + 𝑣0 𝑡 sin 𝛼
2
On peut alors éliminer le paramètre 𝑡 dans les équations horaires :
𝑡=
𝑥
𝑣0 cos 𝛼
2
1
𝑥
𝑥
𝑧 = − 𝑔(
) + 𝑣0 sin 𝛼
2 𝑣0 cos 𝛼
𝑣0 cos 𝛼
L’équation de la trajectoire est donc :
𝑧=−
𝑔
𝑥
2𝑣02 cos 2 𝛼
2
+ 𝑥 tan 𝛼
Portée
On appelle portée l’abscisse de chute du projectile notée 𝑥𝑝 .
La portée 𝑥𝑝 est telle que 𝑧 = 0
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⇒ −
𝑔
𝑥
2𝑣02 cos2 𝛼
⇒ 𝑥 (−
2
+ 𝑥 tan 𝛼 = 0
𝑔
𝑥
2𝑣02 cos 2 𝛼
+ tan 𝛼) = 0
⇒ 𝑥 = 0 ou 𝑥 = 𝑥𝑝
−
𝑔
𝑥 + tan 𝛼 = 0
2
2𝑣0 cos2 𝛼 𝑝
⇒
𝑥𝑝 =
𝑥𝑝 =
2𝑣02 cos 𝛼 sin 𝛼
𝑔
⇒
𝑥𝑝 =
2𝑣02 cos 2 𝛼 tan 𝛼
𝑔
𝑣02 sin 2𝛼
𝑔
Flèche :
On appelle flèche l’altitude maximale 𝑧𝐹 atteinte par le projectile.
L’altitude maximale est atteinte pour 𝑧̇ = 0 au temps 𝑡𝐹 .
−𝑔 𝑡𝐹 + 𝑣0 sin 𝛼 = 0
⇒
𝑡𝐹 =
𝑣0 sin 𝛼
𝑔
𝑡𝐹 est donc la durée pour atteindre l’altitude maximale.
On obtient :
𝑧𝐹 =
𝑣02 sin2 𝛼
2𝑔
Les coordonnées du maximum sont donc :
𝑥𝑝 𝑣02 sin 2𝛼
𝑥𝐹 =
=
2
2𝑔
|
𝑟⃗𝑆 𝑦𝐹 = 0
|
𝑣02 sin2 𝛼
𝑧𝐹 =
2𝑔
Au final il faudra bien poser les conditions initiales du problème pour pouvoir intégrer l’accélération
et déterminer les équations horaires du mouvement du projectile.
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2.3.4) Le tir parabolique – cas général – synthèse des résultats
𝑣⃗0
𝑧𝐹
𝐻
𝐹
𝛼
0
Accélération : { 0
−𝑔
𝑣0 cos 𝛼
0
Vitesse : {
−𝑔 𝑡 + 𝑣0 sin 𝛼
𝑥𝐹
𝑥𝑝
𝑥(𝑡) = 𝑣0 𝑡 cos 𝛼
𝑦(𝑡)
=0
Equations horaires : {
1
𝑧(𝑡) = − 𝑔 𝑡 2 + 𝑣0 𝑡 sin 𝛼 + 𝐻
2
Equation de la trajectoire :
𝑧=−
𝑔
𝑥
2𝑣02 cos2 𝛼
2
+ 𝑥 tan 𝛼 + 𝐻
Formules pour 𝛼 ≠ 0
𝐹=
𝑣02 sin2 𝛼
2𝑔
𝑃=
𝑣02 sin 2𝛼
𝑔
Portée :
Pour 𝛼 = 0
𝑥𝑝 =
𝑃
𝐻
(1 + √1 + )
2
𝐹
Portée :
2𝐻
𝑥𝑝 = 𝑣0 √
𝑔
Temps de chute :
𝑡𝑐 =
𝑥𝑝
𝑣0 cos 𝛼
Temps de chute :
Flèche :
𝑥𝐹 =
𝑡𝑐 =
𝑃
2
𝑧𝐹 = 𝐹 + 𝐻
𝑡𝐹 =
𝑥𝑝
2𝐻
=√
𝑣0
𝑔
𝑣0 sin 𝛼
𝑔
Angle 𝛼 :
tan 𝛼 =
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4 𝐹 2(𝑧𝐹 − 𝐻)
=
𝑃
𝑥𝐹
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3) Chute verticale dans un fluide visqueux
Lorsqu’un corps chute dans un fluide visqueux, il n’est plus possible de parler de chute libre.
Quand le corps s’enfonce dans le fluide, il subit des forces non négligeables devant son poids.
3.1) Etablissement de l’équation du mouvement (𝝆𝒔𝒐𝒍𝒊𝒅𝒆 > 𝝆𝒇𝒍𝒖𝒊𝒅𝒆 )
𝑂
⃗⃗⃗A
Π
𝑓⃗
𝑃⃗⃗
𝑣⃗
Système = solide assimilé à un point matériel
Référentiel = référentiel terrestre supposé galiléen
⃗⃗z
u
Un solide de masse m , de volume 𝑉, de masse volumique 𝜌𝑠
est lâché sans vitesse initiale dans un fluide visqueux de
masse volumique 𝜌𝑙 .
𝑧
On travaillera avec 𝜌𝑠 > 𝜌𝑙 car dans le cas contraire le solide va flotter à la surface du fluide.
Bilan des forces :
Poids : 𝑃⃗⃗ = 𝑚𝑔 u
⃗⃗z = 𝜌𝑠 𝑉𝑔 u
⃗⃗z
⃗⃗⃗A = −𝜌𝑙 𝑉𝑔 u
Poussée d’Archimède : Π
⃗⃗z
Force de frottement fluide : 𝑓⃗ = −𝑓(𝑣) u
⃗⃗z
On a : 𝑣⃗ = 𝑣 u
⃗⃗z car l’objet chute
2nde loi de Newton (RFD)
⃗⃗A + 𝑓⃗ = 𝑚
𝑃⃗⃗ + ⃗Π
𝑑𝑣⃗
𝑑𝑡
Le mouvement étant suivant l’axe 𝑂𝑧., on projette la RFD suivant cette direction. On a :
𝑚𝑔 − 𝜌𝑙 𝑉𝑔 − 𝑓(𝑣) = 𝑚
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑑𝑣 𝑓(𝑣) 𝑚𝑔 − 𝜌𝑙 𝑉𝑔
+
=
𝑑𝑡
𝑚
𝑚
si 𝑚 = 𝜌𝑠 𝑉 , l'équation s'écrit :
(𝜌𝑠 − 𝜌𝑙 )𝑉𝑔
𝑑𝑣
1
+
𝑓(𝑣) =
𝑑𝑡 𝜌𝑠 𝑉
𝜌𝑠 𝑉
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𝑑𝑣
1
𝜌𝑙
+
𝑓(𝑣) = (1 − ) 𝑔
𝑑𝑡 𝜌𝑠 𝑉
𝜌𝑠
3.2) Cas du frottement laminaire (faibles vitesses) 𝑓⃗ = −𝑘 𝑣 u
⃗⃗z
L’équation précédente devient :
𝑑𝑣
𝑘
𝜌𝑙
+
𝑣 = (1 − ) 𝑔
𝑑𝑡 𝜌𝑠 𝑉
𝜌𝑠
Rappel mathématique
Une équation différentielle du type
𝑦 ′ + 𝑎𝑦 = 𝑏
se résout par :
𝑦 = 𝐴𝑒 −𝑎𝑡 +
⇒
𝑘
𝑦(𝑡) = 𝐴𝑒 −𝑚𝑡 +
𝑏
𝑎
𝑚𝑔
𝜌𝑙
(1 − )
𝑘
𝜌𝑠
Condition initiale 𝑣(0) = 0
⇒
𝐴+
𝑚𝑔
𝜌𝑙
(1 − ) = 0
𝑘
𝜌𝑠
⇒
𝐴=−
𝑚𝑔
𝜌𝑙
(1 − )
𝑘
𝜌𝑠
𝑘
𝑚𝑔
𝜌𝑙
(1 − ) (1 − 𝑒 − 𝑚𝑡 )
𝑘
𝜌𝑠
𝑣(𝑡) =
On définit la vitesse limite 𝑣𝑙𝑖𝑚 telle que :
𝑣𝑙𝑖𝑚 = lim 𝑣(𝑡)
𝑡→+∞
𝑘
𝑚𝑔
𝜌𝑙
(1 − ) (1 − 𝑒 − 𝑚𝑡 )
𝑡→+∞ 𝑘
𝜌𝑠
𝑣𝑙𝑖𝑚 = lim
𝑣𝑙𝑖𝑚 =
𝑚𝑔
𝜌𝑙
(1 − )
𝑘
𝜌𝑠
On définit la constante de temps 𝜏 telle que :
𝜏=
𝑚
𝑘
L’expression de 𝑣 devient alors :
𝑡
𝑣(𝑡) = 𝑣𝑙𝑖𝑚 (1 − 𝑒 − 𝜏 )
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𝑣(𝑡)
𝑣𝑙𝑖𝑚
0,63 𝑣𝑙𝑖𝑚
0,5 𝑣𝑙𝑖𝑚
𝑡1⁄
2
𝜏
𝑡
5𝜏
Valeurs à connaître :
𝑣(𝜏) = 𝑣𝑙𝑖𝑚 (1 − 𝑒 −1 ) = 0,63 𝑣𝑙𝑖𝑚 = 63% 𝑣𝑙𝑖𝑚
𝑣(5𝜏) = 𝑣𝑙𝑖𝑚 (1 − 𝑒 −5 ) = 0,993 𝑣𝑙𝑖𝑚 = 99,3% 𝑣𝑙𝑖𝑚
On peut considérer que l’on est en régime permanent à 𝑡 = 5𝜏
Soit 𝑡1⁄ le temps au bout duquel le solide a atteint la moitié de sa vitesse limite. On a :
2
𝑣 (𝑡1⁄ ) =
2
𝑡1⁄
𝑣𝑙𝑖𝑚
2
= 𝑣𝑙𝑖𝑚 (1 − 𝑒 − 𝜏 )
2
⇒ 𝑡1⁄ = 𝜏 ln 2
2
3.3) Cas du frottement turbulent (vitesses élevées) 𝑓⃗ = −𝑘 𝑣 2 u
⃗⃗z
On a : 𝑓(𝑣) = 𝑘 𝑣 2
L’équation différentielle devient :
𝑑𝑣 𝑘 2
𝜌𝑙
+ 𝑣 = (1 − ) 𝑔
𝑑𝑡 𝑚
𝜌𝑠
L’équation n’est pas linéaire est sa résolution est difficile et pas au programme du concours.
On peut toutefois déterminer la valeur de la vitesse limite en régime permanent.
En régime permanent (𝑡 → +∞), les grandeurs physiques ne dépendent plus du temps. On a :
lim 𝑣(𝑡) = 𝑣𝑙𝑖𝑚 = 𝑐𝑡𝑒
𝑡→+∞
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⇒
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𝑑𝑣
=0
𝑡→+∞ 𝑑𝑡
lim
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𝑘 2
𝜌𝑙
𝑣𝑙𝑖𝑚 = (1 − ) 𝑔
𝑚
𝜌𝑠
2
𝑣𝑙𝑖𝑚
=
𝑚𝑔
𝜌𝑙
(1 − )
𝑘
𝜌𝑠
D’où l’expression de la vitesse limite en régime turbulent :
𝑚𝑔
𝜌𝑙
𝑣𝑙𝑖𝑚 = √
(1 − )
𝑘
𝜌𝑠
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