Le cours - Playmaths

1 http://playmaths.free.fr
L
Li im mi it te es s C Co on nt ti in nu ui it té é
I. Limites à l’infini
1) Limite finie à l’infini
f(x) tend vers l quand x tend vers +∞, si tout intervalle ouvert contenant l contient toutes
les valeurs de f(x) pour x « assez grand ».
( C'est à dire ∀  >0, ∃ A tel que ∀ x > A, f(x)  ] l- ;l+[ )
On note
x
lim
f(x) = l (ou
lim
f= l)
On définit de manière analogue
x
lim
f(x) = l
Soit C la courbe représentative de la fonction f.
Si
x
lim
f(x) = l, on dit que la droite (d) d’équation y = l est asymptote horizontale à C en .
Fonctions usuelles :
x
lim
Error!
= 0
x
lim
2
x
1
= 0
x
lim
3
x
1
= 0
x
lim
x
1
= 0
2) Limite infinie à l’infini
f(x) tend vers +∞ quand x tend vers +∞ si pour toute valeur réelle A, on a f(x) > A pour x
« assez grand ».
On note
x
lim
f(x) = +∞ ou
lim
f = +∞.
∀ A, ∃
0
x
, ∀ x >
0
x
, f(x) > A
On définit de manière analogue les limites infinies en .
x
lim
x² = +∞
x
lim
x3 = +∞
x
lim
x = +∞
x
lim
xn = +∞
x
lim
x² = +∞
x
lim
x3 = -∞
x
lim
xn =
-∞ si n est impair
+∞ si n est pair
Ex 17-18 p.92
Ex 67 p.96

2 http://playmaths.free.fr
II. Limites en un réel a. Continuité
1) Limite en a
Soit a un nombre réel et f une fonction définie en tout point d’un intervalle ouvert contenant
a, ou ne contenant pas a, mais a étant une borne de l’ensemble de définition de f.
a) Limite infinie en a
Dire qu’une fonction a pour limite en a, signifie que f(x) peut-être rendu aussi grand que
l’on veut à condition que x soit suffisamment proche de a.
On note
ax
lim
f(x) = +∞.
Interprétation graphique :
On dit que la droite d’équation x = a est asymptote verticale à la courbe.
Remarque : selon que x > a ou x < a, on parle de limite à droite en a, ou de limite à gauche en
a.
b) Limite finie en a
Dire que f admet pour limite l en a, c’est dire que f(x) peut être rendu aussi proche que l’on
veut de l à condition que x soit suffisamment proche de a.
On note
ax
lim
f(x) = l
Ex 9-10-15-16 p.91
Ex 20 à 25 p.93
Ex 66
2) Continuité
La notion de continuité de f a pour objet de traduire mathématiquement le fait que sa
courbe représentative peut se tracer sans « trou », sans « lever le crayon ».
a) Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant a.
f est continue en a quand
ax
lim
f(x) = f(a).
( ou si
0h
lim
f(a+h) = f(a))
On dit qu’une fonction est continue sur  ou sur un intervalle ouvert I quand elle est continue
en tout point de  ou de cet intervalle.
Exemples :
Fonction continue Fonction discontinue Fonction avec un « trou »

3 http://playmaths.free.fr
b) Propriétés
Les fonctions polynômes, cosinus, sinus sont continues sur .
La fonction racine carrée est continue sur [0 ; +∞ [.
Les fonctions rationnelles sont continues sur chacun des intervalles où elles sont définies.
Toute fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur I. ( Attention, la réciproque est
fausse : fonctions racine carrée et valeur absolue )
c) Fonction entière
Définition :
Pour tout réel x, il existe un unique entier n tel que
1nxn 
.
On appelle fonction partie entière, la fonction notée E qui au réel x de l’intervalle [n ; n+1[
associe l’entier n. On note E(x) = n.
Représentation graphique
Continuité : le fonction est définie en 1, mais sa limite à gauche n’est pas égale à sa limite à
droite. E n’a donc pas de limite en 1.
Ex 51 à 56 p.95
Ex 70 p.97
III. Opérations sur les limites.
On considère deux fonctions f et g de limites connues en a.
a désigne soit un nombre (y compris 0), soit +∞, soit -∞.
1) Limite d’une somme.
ax
lim
f(x)
l
l
l
+∞
-∞
+∞
ax
lim
g(x)
l’
+∞
-∞
+∞
-∞
-∞
ax
lim
(f(x) + g(x))
l + l’
+∞
-∞
+∞
-∞
FI

4 http://playmaths.free.fr
2) Limite d’un produit.
ax
lim
f(x)
l
l≠0
∞
0
ax
lim
g(x)
l’
∞
∞
∞
ax
lim
(f(x).g(x))
l
l’
∞
∞
FI
3) Limite d’un quotient.
ax
lim
f(x)
l
l≠0
l
∞
0
∞
ax
lim
g(x)
l’≠0
0
∞
l’
0
∞
ax
lim
)x(g
)x(f
'l
l
∞
0
∞
FI
FI
Quand le dénominateur tend vers 0, le signe n’est pas forcément constant ; on est alors
amené à étudier la limite à gauche ( x < a) et la limite à droite (x > a).
4) Théorèmes :
1) La limite en plus ou moins l’infini d’une fonction polynôme est égale à la limite de son terme
de plus haut degré.
2) La limite en plus ou moins l’infini d’une fonction rationnelle est égale à la limite du rapport
de ses termes de plus haut degré.
Exemples :
Ex 11 à 14 p. 91
Ex 26 à 43 p. 93-94
Ex 63-64-72-73 p.96
IV. Fonctions composées
1) Définition
Soient u et v deux fonctions définies respectivement sur Du
et Dv.
La fonction obtenue en appliquant successivement u puis v
est la composée de u par v, notée vou.
La fonction vou est définie :
sur l’ensemble D des réels x de Du tels que u(x) appartienne
à Dv et par (vou) (x) = v (u(x))

5 http://playmaths.free.fr
Sous réserve de l’existence de cette fonction, l’expression de la fonction composée vou est
donnée par le montage :
x
u
u(x) =
X
X
v
v(X) = v(u(x)) = (vou)(x)
Dans l’écriture f(x) = (vou)(x), u est placé juste devant x, ce qui indique que l’on applique u à
x, puis on applique v à u(x).
Attention !
En général, vou uov
Exemples :
Soit v(x) =
x
et u(x) = 5-x
Déterminer vou puis uov
Déterminer leur ensemble de définition
Soit f définie sur ]
2
5
; +∞ [ par f(x) =
5x2
1
.
Décomposer la fonction f à l’aide de deux fonctions usuelles g et u, de façon à ce que f= gou.
2) Limite d’une fonction composée
Soit a, l et l’ des nombres réels ou
õ
Soit u et g deux fonctions dont la composée gou existe sur un intervalle contenant le nombre
réel a, ou de borne a.
Si
ax
lim
u(x) = l et si
lX
lim
g(X) = l’ alors
ax
lim
gou(x) = l’
x
u
u(x) =
X
ax 
lX 
X
g
g(X) = g(u(x)) = (gou)(x)
lX 
'l)x(gou 
Exemples :
Exemples :
Déterminer les limites suivantes :
)x24²x9(lim
x
)x34²x9(lim
x
)xx²x(lim
x
xcos1
xsin
lim
0x 