Les suites
I) Généralités
1°) Qu’est-ce qu’une suite (un) ?
Par définition, une suite est une application de dans qui, à un entier naturel associe un réel.
Mais plus concrètement, c’est tout simplement une suite de nombres « qui se suivent » comme l’indique le
nom… u0, u1, u2, etc… et puis un peu plus loin en généralisant, il y a le terme un.
Mais « c’est quoi ces un et un+1 ? » ? é__è
Tout simplement, un des termes de la suite, c’est un, celui qui vient juste après, c’est un+1 le terme suivant.
D’ailleurs, logiquement, si ce qui vient après un c’est un+1, alors ce qui vient avant un, c’est un-1 !!
Par exemple, si on regarde la suite de nombres : 1 , 4 , 7 , 10 , 13 , 16 , 19 , 22 , 25 , 28 , 31 , etc…
Si un est le terme qui vaut 19 dans cette suite, alors un+1 sera 22 et un-1 sera 16.
Ne pas alors confondre un+1 qui ici vaut 22 et un + 1 qui vaudra 19 + 1 = 20.
Il y a deux façons de définir une suite :
• Par récurrence
C’est quand on établit le lien entre un et un+1, autrement dit entre un terme et celui qui le suit. Ainsi si on
connaît cette relation et la valeur d’un terme, on peut calculer le terme suivant.
Exemple :
un+1 = 2un + 3
Si par exemple on connaît u4, alors on peut calculer u5 puisque c’est celui qui vient après.
Si par exemple ici, u4 = 7, alors
u5 = 2u4 + 3 = 2 × 7 + 3 = 14 + 3 = 17 u5 = 17
• Avec le terme général
Là on n’a pas le lien entre un et un+1 forcément mais on a mieux puisqu’on a le terme un en fonction de n.
Ce qui signifie que l’on peut dire ce que vaut un pour n’importe quelle valeur de n sans avoir à connaître ce
qui le précède.
Exemple :
un = 3n – 4
On peut calculer u100 par exemple.
u100 = 3 × 100 – 4 = 300 – 4 = 296 u100 = 296