But : Réussir les exercices sur les suites

Les suites
I) Généralités
1°) Qu’est-ce qu’une suite (un) ?
Par définition, une suite est une application de  dans  qui, à un entier naturel associe un réel.
Mais plus concrètement, c’est tout simplement une suite de nombres « qui se suivent » comme l’indique le
nom… u0, u1, u2, etc… et puis un peu plus loin en généralisant, il y a le terme un.
Mais « c’est quoi ces un et un+1 ? » ? é__è
Tout simplement, un des termes de la suite, c’est un, celui qui vient juste après, c’est un+1 le terme suivant.
D’ailleurs, logiquement, si ce qui vient après un c’est un+1, alors ce qui vient avant un, c’est un-1 !!
Par exemple, si on regarde la suite de nombres : 1 , 4 , 7 , 10 , 13 , 16 , 19 , 22 , 25 , 28 , 31 , etc…
Si un est le terme qui vaut 19 dans cette suite, alors un+1 sera 22 et un-1 sera 16.
Ne pas alors confondre un+1 qui ici vaut 22 et un + 1 qui vaudra 19 + 1 = 20.
Il y a deux façons de définir une suite :
• Par récurrence
C’est quand on établit le lien entre un et un+1, autrement dit entre un terme et celui qui le suit. Ainsi si on
connaît cette relation et la valeur d’un terme, on peut calculer le terme suivant.
Exemple :
un+1 = 2un + 3
Si par exemple on connaît u4, alors on peut calculer u5 puisque c’est celui qui vient après.
Si par exemple ici, u4 = 7, alors
u5 = 2u4 + 3 = 2 × 7 + 3 = 14 + 3 = 17
u5 = 17
• Avec le terme général
Là on n’a pas le lien entre un et un+1 forcément mais on a mieux puisqu’on a le terme un en fonction de n.
Ce qui signifie que l’on peut dire ce que vaut un pour n’importe quelle valeur de n sans avoir à connaître ce
qui le précède.
Exemple :
un = 3n – 4
On peut calculer u100 par exemple.
u100 = 3 × 100 – 4 = 300 – 4 = 296
u100 = 296
1
2°) Sens de variations d’une suite
Définition
● Une suite (un) est croissante si pour tout n de , un + 1 ≥ un ou encore un + 1 – un ≥ 0
Autrement dit, (un) est croissante si dans tous les termes qui se suivent, « celui d’après est toujours supérieur
à celui d’avant ».
● Une suite (un) est décroissante si pour tout n de , un + 1 ≤ un ou encore un + 1 – un ≤ 0
Autrement dit, (un) est décroissante si dans tous les termes qui se suivent, « celui d’après est toujours
inférieur à celui d’avant ».
● Une suite (un) est constante si pour tout n de , un + 1 = un
Autrement dit, (un) est constante si tous les termes valent la même chose.
Exemple :
Déterminer le sens de variations de la suite (un) de terme général un = n 2
On regarde le signe de un + 1 – un
un + 1 = (n + 1) 2 = n 2 + 2n + 1
et un = n 2
Donc un + 1 – un = n 2 + 2n + 1 – n 2 = 2n + 1
Pour tout n, un + 1 – un = 2n + 1 ≥ 0 car n est un entier naturel donc (un) est croissante.
3°) Représentation graphique d’une suite
La représentation graphique d’une suite est tout simplement un ensemble de points de coordonnées (n ; un)
En abscisse on a les entiers n et en ordonnée le nombre un qui correspond.
Cela donne un ensemble de point et il ne faut surtout pas les relier !!
Exemple :
On considère la suite (un) de terme général un = n 2
On a u0 = 0
u1 = 1
u2 = 4
u3 = 9 …. On a alors la représentation suivante :
y
10
u3 9
8
7
6
5
u2 4
3
2
u1 1
u
-1 0 0
1
2
3
4
5
6
7
x
II) Suites arithmétiques
2
1°) Qu’est-ce qu’une suite arithmétique de raison r ?
Définition
Une suite (un) est dite arithmétique de raison r si pour tout n de , un+1 = un + r
« on passe d’un terme au terme suivant en rajoutant toujours le même nombre r »
Par exemple, si on considère la suite arithmétique de terme initial u0 = 5 et de raison 3, on aura
u1 = 5 + 3 = 8
u2 = 8 + 3 = 11
u3 = 11 + 3 = 14 etc…
2°) Terme général d’une suite arithmétique
Intuitivement, si l’on fixe le départ à u0, alors on obtient ceux d’après
u1 = u0 + r
u2 = u1 + r = u0 + r + r = u0 + 2r
u2 = u0 + 2r
u3 = u2 + r = u0 + 2r + r = u0 + 3r
u3 = u0 + 3r
Et ainsi de suite… Du coup on peut généraliser et trouver un pour tout n !!
un = u0 + n × r
Ou encore, c’est pareil, un
= u0 + r × n
Ainsi, si par exemple on a une suite arithmétique de raison 3 et de terme initial u0 = 5, on aura d’après la
formule que vous êtes tenus de retenir et de savoir retrouver (suivez le truc d’avant !!)
un = u0 + r × n
un = 5 + 3 × n donc un = 5 + 3n
Et après ça on peut calculer u100 = 5 + 3×100 = 5 + 300 = 305
Mais si on commence par autre chose que u0 ? O__o
Pas de panique !! Si au lieu de commencer par u0, on commence par u1, alors on décale d’un cran.
un = u1 + (n – 1) × r
Et si on commence par u2 ? Alors on décale de deux crans !!
un = u2 + (n – 2) × r
Bah généralisons, si on commence par up alors on décale de p crans !!
un = up + (n – p) × r
Ainsi si par exemple on a une suite arithmétique de raison 4 et de terme initial u7 = 5, on aura d’après la
formule ci-dessus
un = u7 + (n – 7) × r = 5 + (n – 7) × 4 = 5 + 4n – 28 = 4n – 23
un = 4n – 23
3
II) Suites géométriques
1°) Qu’est-ce qu’une suite géométrique de raison q ?
Définition
Une suite (un) est dite géométrique de raison qsi pour tout n de , un+1 = un × q
« on passe d’un terme au terme suivant en multipliant toujours le même nombre q »
Par exemple, si on considère la suite géométrique de terme initial u0 = 5 et de raison 3, on aura
u1 = 5 × 3 = 15
u2 = 15 × 3 = 45
u3 = 45 × 3 = 135 etc…
2°) Terme général d’une suite géométrique
Intuitivement, si l’on fixe le départ à u0, alors on obtient ceux d’après
u1 = u0 × q
u2 = u1 × q = u0 × q × q = u0 × q 2
u2 = u0 × q 2
u3 = u2 × q = u0 × q 2 × q = u0 × q 3
u3 = u0 × q 3
Et ainsi de suite… Du coup on peut généraliser et trouver un pour tout n !!
un = u0 × q n
Ainsi, si par exemple on a une suite géométrique de raison 3 et de terme initial u0 = 5, on aura d’après la
formule que vous êtes tenus de retenir et de savoir retrouver (suivez le truc d’avant !!)
un = u0 × q n
un = 5 × 3 n
Et après ça on peut calculer u100 = 5 × 3 100 mais là ça fait beaucoup X__x
Mais si on commence par autre chose que u0 ? O__o
Pas de panique !! Si au lieu de commencer par u0, on commence par u1, alors on décale d’un cran.
un = u1 × q n - 1
Et puis pareil que l’autre hein généralisons, si on commence par up alors on décale de p crans !!
un = up × q n – p
Ainsi si par exemple on a une suite géométrique de raison 4 et de terme initial u7 = 5, on aura d’après la
formule ci-dessus
un = u7 × q n - 7 = 5 × 4 n – 7
Et là du coup u100 = 5 × 4 100-7 = 5 × 4 93
Voilà c’est tout pour l’essentiel, maintenant il va falloir apprendre ces formules, et surtout n’oubliez pas
d’apprendre ces formules car pour réussir, il suffit d’apprendre ces formules avec les exemples qui suivent
pour bien comprendre comment ça marche, OK ? Si vous ne les apprenez pas je mords è__é
4