Niveau 2de - Mathématiques académie de Rouen

Quelques exemples d’énoncés ouverts…
Niveau 2de
Soit n un entier naturel quelconque.
1) Par quels nombres entiers le nombre n3−n est-il toujours divisible ? Comment expliquer ce résultat ?
2) Quel est le plus grand nombre entier naturel par lequel n4+2n3−n2−2n est toujours divisible ?
Compétences TICE : utiliser un tableur. Créer un test de divisibilité.
Compétences mathématiques : utiliser des notions élémentaires d’arithmétique, émettre une conjecture,
factoriser une expression.
Niveau 3e
1) Programmer sur un tableur l’algorithme d’Euclide (intervention possible du professeur…)
2) a) Utiliser l’algorithme pour conjecturer un résultat sur le PGCD de nombres constitués des chiffres 1, 2 et 3
utilisés chacun une unique fois.
b) Même question avec les chiffres 2, 3 et 4. Que peut-on conjecturer ?
c)Même question avec les chiffres 3, 4 et 5. Que peut-on conjecturer ?
d) Même question en prenant des chiffres quelconques mais toujours utilisés une unique fois. Quand peut-on
conjecturer quelque chose ?
Compétences TICE : utiliser le tableur pour programmer l’algorithme d’Euclide.
Compétences mathématiques : compréhension de l’algorithme pour le programmer, émettre une conjecture
"fluctuante", utilisation de critères de divisibilité. Un intérêt est ici la possibilité d’exhaustivité (et la méthode qui
permet cette exhaustivité…)
Variante niveau 2de ou plus
1) Programmer sur un tableur l’algorithme d’Euclide (intervention possible du professeur…)
2) Utiliser l’algorithme pour conjecturer un résultat sur le PGCD de nombres constitués des chiffres 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8 et 9 utilisés chacun une unique fois.
Que se passe-t-il si on oublie un chiffre ? Quels chiffres utiliser pour que le résultat reste vrai ?
Niveau 3e ou 2de
Compétences TICE : utiliser un logiciel de géométrie dynamique
pour construire une figure et pour faire afficher l'aire d'un polygone, créer
un point libre sur un segment.
Compétences mathématiques : calculer l'aire d'un polygone
Niveau 3e ou 2de
Soient I, J, K et L quatre points donnés.
Construire un quadrilatère ABCD tel que I, J, K et L soient les milieux des côtés.
Compétences TICE : utiliser un logiciel de géométrie dynamique pour faire des essais de constructions,
tester des conjectures.
Compétences mathématiques : utiliser la symétrie centrale, conjecturer, utiliser le raisonnement d'analyse-
synthèse
AB
DC
MN
K
L
Soit ABCD un rectangle, M un point quelconque du segment [AD]
(MN) est parallèle à (AB)
Où placer M pour que l’aire du quadrilatère MKNL soit la plus
grande possible ? Quelle est la valeur de l’aire maximale ?

Niveau 3e ou 2de
ABC est un triangle équilatéral de côté 6 cm et P un point à l'intérieur de ce triangle. On appelle L, M et N les
projetés orthogonaux respectifs de P sur [ AB ], [ BC ] et [ AC ] .Quelle position donner à P pour que la longueur
PL+PM+PN soit minimale ?
Compétences TICE : utiliser un logiciel de géométrie dynamique pour construire un figure et faire afficher
une somme de longueurs
Compétences mathématiques : connaître les propriétés d'un triangle équilatéral, calculer l'aire du triangle
équilatéral de plusieurs façons.
Niveau 2de
Compétences TICE : utiliser un tableur pour observer une situation et tester des conjectures.
Compétences mathématiques : observer et conjecturer, exprimer en fonction d'un des entiers le produit de
trois entiers consécutifs, développer une expression
Niveau 1S
On considère un point O, un cercle C de centre O et un point A extérieur au cercle.
M est un point quelconque du cercle C. La droite ( AM ) recoupe le cercle C en un point P. On désigne par I le
milieu du segment [ MP ].
Quel est l'ensemble des points I lorsque M se déplace sur le cercle C
Compétences TICE : utiliser un logiciel de géométrie dynamique pour construire un figure, créer un point
libre sur un cercle, obtenir la trace du lieu d'un point.
Compétences mathématiques : propriétés du triangle isocèle, du triangle rectangle, utiliser la double
inclusion.
Niveau TS
Un roi décide de distribuer à ses ministres une certaine quantité de pièces d'or. Il décide de répartir ainsi les
pièces :
au premier des ministres, il donne cinq pièces d'or ;
au second, il donne le double du premier moins deux pièces ;
au troisième, il donne le double du second moins trois pièces ; et ainsi de suite…
Le ne ministre, avide, désire sa part sans attendre son tour.
Peut-on exprimer sa part en fonction de son rang ?
Compétences TICE : utiliser un tableur pour incrémenter, utiliser l'assistant graphique
Compétences mathématiques : reconnaître une croissance exponentielle, tester des conjectures.
Remarque : En 1S, on peut mettre sur la voie en faisant tester les différences et quotients successifs
1 2 3 4 + 1 = 52
2 3 4 5 + 1 = 112 coïncidence ou pas ?
3 4 5 6 + 1 = 192