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Quelques exemples d’énoncés ouverts…
Niveau 2de
Soit n un entier naturel quelconque.
1) Par quels nombres entiers le nombre n3−n est-il toujours divisible ? Comment expliquer ce résultat ?
2) Quel est le plus grand nombre entier naturel par lequel n4+2n3−n2−2n est toujours divisible ?
Compétences TICE : utiliser un tableur. Créer un test de divisibilité.
Compétences mathématiques : utiliser des notions élémentaires d’arithmétique, émettre une conjecture,
factoriser une expression.
Niveau 3e
1) Programmer sur un tableur l’algorithme d’Euclide (intervention possible du professeur…)
2) a) Utiliser l’algorithme pour conjecturer un résultat sur le PGCD de nombres constitués des chiffres 1, 2 et 3
utilisés chacun une unique fois.
b) Même question avec les chiffres 2, 3 et 4. Que peut-on conjecturer ?
c)Même question avec les chiffres 3, 4 et 5. Que peut-on conjecturer ?
d) Même question en prenant des chiffres quelconques mais toujours utilisés une unique fois. Quand peut-on
conjecturer quelque chose ?
Compétences TICE : utiliser le tableur pour programmer l’algorithme d’Euclide.
Compétences mathématiques : compréhension de l’algorithme pour le programmer, émettre une conjecture
"fluctuante", utilisation de critères de divisibilité. Un intérêt est ici la possibilité d’exhaustivité (et la méthode qui
permet cette exhaustivité…)
Variante niveau 2de ou plus
1) Programmer sur un tableur l’algorithme d’Euclide (intervention possible du professeur…)
2) Utiliser l’algorithme pour conjecturer un résultat sur le PGCD de nombres constitués des chiffres 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8 et 9 utilisés chacun une unique fois.
Que se passe-t-il si on oublie un chiffre ? Quels chiffres utiliser pour que le résultat reste vrai ?
Niveau 3e ou 2de
Compétences TICE : utiliser un logiciel de géométrie dynamique
pour construire une figure et pour faire afficher l'aire d'un polygone, créer
un point libre sur un segment.
Compétences mathématiques : calculer l'aire d'un polygone
Niveau 3e ou 2de
Soient I, J, K et L quatre points donnés.
Construire un quadrilatère ABCD tel que I, J, K et L soient les milieux des côtés.
Compétences TICE : utiliser un logiciel de géométrie dynamique pour faire des essais de constructions,
tester des conjectures.
Compétences mathématiques : utiliser la symétrie centrale, conjecturer, utiliser le raisonnement d'analyse-
synthèse
Soit ABCD un rectangle, M un point quelconque du segment [AD]
(MN) est parallèle à (AB)
Où placer M pour que l’aire du quadrilatère MKNL soit la plus
grande possible ? Quelle est la valeur de l’aire maximale ?