I) Variables aléatoires réelles

Probabilités
Introduction à la théorie des probabilités ...................................................... 3
I) Modélisation du « hasard » ................................................................. 3
II) Un peu d’histoire ................................................................................. 4
III) Etymologie ...................................................................................... 4
Probabilité à densité sur R. .............................................................................. 5
I) Tribu borélienne de R .......................................................................... 5
II) Probabilité à densité ............................................................................ 5
Variables aléatoires. Lois de probabilités. ..................................................... 7
I) Définitions ............................................................................................ 7
II) Fonction de répartition des variables aléatoires réelles ...................... 7
III) Loi des variables aléatoires réelles ................................................. 8
Vecteurs aléatoires ......................................................................................... 11
I) Vecteurs aléatoires ............................................................................. 11
II) Fonction de répartition des vecteurs aléatoires ................................. 11
III) Lois des vecteurs aléatoires à densité ........................................... 12
IV) Intégration ..................................................................................... 12
V) Lois marginales .................................................................................. 14
VI) Indépendance ................................................................................ 15
VII) Propriétés de l’espérance et des variables aléatoires réelles ....... 16
Fonctions caractéristiques ............................................................................. 19
I) Variables aléatoires réelles ............................................................... 19
II) Vecteurs aléatoires ............................................................................. 20
Vecteurs gaussiens .......................................................................................... 23
I) Variables aléatoires gaussiennes réelles ........................................... 23

II) Lois gaussiennes multi-variées, ou vecteur gaussien ......................... 23
Espérances conditionnelles ............................................................................ 25
I) Définition et caractérisation .............................................................. 25
II) Quelques exemples de calcul de E[Y/X] ............................................ 25
Index des notions ............................................................................................ 29

Introduction à la théorie des probabilités
I) Modélisation du « hasard »
1) Premières définitions
Def (expérience aléatoire) : Procédure ou expérience de la vie
quotidienne, politique, économique ou autre dont on peut dire
deux choses au sujet du résultat : c’est un élément d’un ensemble
bien déterminé et connu à l’avance de résultats possibles.
On ne sait pas à l’avance quel résultat on va obtenir.
espace fondamental qui décrit tous les résultats possibles et
l’expérience aléatoire à modéliser.
A
σ-algèbre (ou tribu) des évènements
 PA
La classe de parties contenant Ω est stable par complémentarité et
union dénombrable.
Def (probabilité) :
1;0: AP
tel que
1P
.
Def (σ-additivité) :
A n AA ,,
1
1
1
Øii
iiji APAPjiAA 
Rq : une modélisation n’est pas unique.
2) Exemples de modélisation
a) Ω est fini
N
NN2cardcard,, 1 PPA
Il y a autant probabilités sur
P
que de N-uplets
N
pp ,,
1
vérifiant :
1
10
1
N
ii
i
p
pi

Ai i
Ai i
i
i
pAPAPA
b) Ω est dénombrable
0
cardcard  N
 ,,,
1n
xx
 PA
Il y a autant de probabilités sur
 P,
que de suites
*
Ni
i
p
vérifiant :
1
10
1
*
N
ii
i
p
pNi
Ai i
Ai i
i
i
pAPAPA
c) Ω est infini non dénombrable
A ?
Si
 PA
, les seules probabilités sont des sommes de mesures
de Dirac (mesures ponctuelles).
Si Ω est un espace topologique muni d’ouverts, on prend pour A la
tribu borélienne (engendrée par les ouverts)
P : « mesure » de masse totale 1.
II) Un peu d’histoire
III) Etymologie

Probabilité à densité sur R.
Si
R
, alors
P
est trop « grosse » on utilise alors la tribu de
Borel (France, 1871-1956) notée
RB
.
I) Tribu borélienne de R
Def (tribu borélienne) : On appelle tribu borélienne de R la tribu
engendrée par la classe des intervalles ouverts.
bxaRx
babal  ;
lR B
: la plus petite tribu qui contient l.
Rq :
RR PB strict
Prop : Les ensembles suivants sont dans
RB
1.
xRx ;
2.
';' xRx 
3.
 ;xRx
4.
 ;'' xRx
5.
babaRba ;; 2
6.
aRa
Def (tribu trace) :
RBIBI BB 
II) Probabilité à densité
Def (fonction borélienne) :
Soit
RRf :
. On dit qu’elle est borélienne si :
RBfRB BB  1
Def (densité de probabilité) :
On dit que la fonction borélienne
RRRRf BB ,,: 
est une
densité de probabilité si :
(1)
0 xfRx