Leçon 17

Leçon 17
Cartes du champ électrostatique & du champ magnétostatique ; relations
avec leurs sources, symétries & invariances par groupes de
transformation, autres propriétés, exemples (PCSI).
------------------------Bibliographie :
 TecDoc Elec1 : très bien, chapitres séparés 6-7 & 14-15.
 Hachette Elec 1 : chapitre 2 (bien), puis 7.
 Ellipses Elec 1 : chapitre 2 (généralités), puis noyé dans III & IX. Pas pratique.
 Dunod Elec 1 : chapitre 2 (Curie). C’est léger !
I. TOPOGRAPHIE D’UN CHAMP VECTORIEL :
1. Rappel des définitions & propriétés :






Ligne de champ : réseau de courbes tangentes en tout point au vecteur champ ;
Equipotentielles : réseau de surfaces orthogonales aux lignes de champ (propriété du gradient, donc
pas d’utilité en magnétostatique : pas de potentiel scalaire).
Unicité : en tout point de l’espace, il ne passe qu’une ligne de champ & qu’une équipotentielle
(traduction du fait que champ & potentiel sont définis de façon univoque) ;
Interprétation : il résulte des calculs de flux & de circulation que le champ est le plus intense là où les
lignes de champ & les équipotentielles sont le plus serrées ;
2. Réalisation expérimentale : matérialisation de lignes de champ par un spectre (manips).
Cas de l’électrostatique : grains de blé dans l’huile, entre les armatures d’un condensateur.
Cas de la magnétostatique : grains de limaille de fer ou petites aiguilles aimantées.
On peut réaliser diverses expériences, donc divers spectres. Attention aux questions ! Dans les deux
cas de champs, la matérialisation des lignes de champ fait intervenir des dipôles (électriques ou
magnétiques), & donc dans les deux cas, il faut prouver qu’un dipôle à l’équilibre s’oriente dans la
direction du champ, soit :


  
 
  
couple nul (soit p  E  0 ou m  B  0 , les vecteurs p & m étant respectivement les moments
dipolaire & magnétique, donc le dipôle se place parallèlement au champ, mais çà ne donne pas son
sens ;
 
 
énergie d’interaction minimale (soit Wint   p.E ou Wint  m.B , donc  MC cos  mini), M étant le
module du moment (constant, car dipôle rigide) & C le module du champ, conduisant à :
déplacement par translation sous l’action de la force vers les zones de champ intense (C maxi), puis
rotation sous l’action du couple pour réaliser  cos  mini, soit   0 , donc orientation dans le sens
du champ ;
3. Carte de champ : désigne l’ensemble (lignes de champ, équipotentielles). Ne peut être obtenue
que par simulation sur ordinateur, qui peut alors fournir une représentation en relief (3D avec un logiciel
de calcul comme Mathematica ou Maple). Voir TecDoc. Est-ce vraiment dans le sujet ?
II. PROPRIETES DE SYMETRIE & D’INVARIANCE :
1. Symétries :


Principe de Curie : un phénomène physique (donc un champ par exemple) possède au moins les
éléments de symétrie de ses causes (donc de la distribution qui le crée).

« Vrais » vecteurs : les « vrais » vecteurs (par exemple, le champ électrostatique E ou le potentiel 
vecteur A ) appartiennent aux plans de symétrie & sont orthogonaux aux plans d’antisymétrie.
Ces règles simples permettent, sans calculs, de trouver la direction du vecteur cherché, ce qui est
suffisant pour l’utilisation des théorèmes généraux, mais on remarquera que ces propriétés de symétrie
ne donnent pas le sens du vecteur : pour le connaître, voir 2 (relation avec les sources). Attention ! Le
plan utilisé doit impérativement passer par le point où on calcule le champ.
Exemples : choisir des exemples précis de distributions.

Symétrie cylindrique : alors r = HM est seule variable, & donc les trois composantes du champ ne
peuvent dépendre que de cette quantité. Si l’on prend un point M hors de l’axe de révolution Oz,
alors le plan P = OMz est un plan de symétrie, donc le champ lui appartient. Le plan Q, orthogonal en
M à P, est lui aussi plan de symétrie, donc le champ appartient à l’intersection des deux plans, il est


donc radial (perpendiculaire à l’axe Oz). Il en résulte que : E  E r ( r ).u r .

Symétrie sphérique : alors r = OM est seule variable, & donc les trois composantes du champ ne
peuvent dépendre que de cette quantité. Si l’on prend un point M hors de l’axe Oz, alors le plan
méridien P = OMz est un plan de symétrie, donc le champ lui appartient. Si l’on considère le plan Q

contenant l’axe OM & le vecteur unitaire u passant par M, c’est aussi un plan de symétrie, le


champ lui appartient d’où : E  E r ( r ).u r .


« Pseudo »- vecteurs : les « pseudo »- vecteurs (par exemple, le champ magnétique B )
appartiennent aux plans d’antisymétrie & sont orthogonaux aux plans de symétrie.
Cette règle ne donnant pas le sens du champ, on aura recours, si besoin est, à la règle du tirebouchon qui relie le sens du champ magnétique à celui du courant qui le crée (cf TD).
Exemple : choisir un exemple précis (éviter le tore !).

Symétrie cylindrique : alors r = HM est seule variable, & donc les trois composantes du champ ne
peuvent dépendre que de cette quantité. Le plan P = OMz est un plan de symétrie, donc le champ lui
est orthogonal. Courants suivant Oz, donc le plan Q orthogonal à P en M, est plan d’antisymétrie, &


le champ lui appartient, d’où : B  B (r)u . On rappelle qu’il n’existe pas de champ magnétique à
symétrie sphérique.
2. Relation avec les sources :



Champ électrique : les lignes de champ sortent d’une charge positive, & rentrent dans une charge
négative.
Champ magnétique : le sens du champ se déduit de celui du courant par la règle du tire-bouchon.


Le potentiel - vecteur élémentaire dA créé par l’élément de courant I .dl lui est parallèle & de même
sens.
3. Invariances :
Position du problème : les invariances ne concernent que des translations & des rotations, à la
différence des symétries (voir plus haut) qui sont liées à des réflexions ou des considérations de
parité, & donc concernent des symétries par rapport à des plans.

Traduction mathématique : pour être paré pour les questions, être bref (aller directement à la
dernière ligne), car le jury n’aimera peut-être pas ! Une invariance par translation suivant la
coordonnée x (ou par rotation suivant la coordonnée ) signifie que le problème étudié est
globalement invariant pour toute translation d’amplitude a suivant la direction x (ou pour toute
rotation d’amplitude  suivant l’axe de rotation ). Il en résulte que, pour toute grandeur f
caractéristique du système étudié, on doit vérifier la condition : f ( x  a )  f ( x ) x, a (cas de la
translation) ou bien f (  )  f () ,  (cas de la rotation). Théorème des accroissements finis
f
f
f ( x  a)  f ( x)  a

 0 f , d’où la condition mathématique traduisant l’invariance :
x
x


 0 (translation) ou
 0 (rotation).
x

En règle générale, le problème étudié nécessite, pour sa description, 3 variables indépendantes. Si
l’on a une invariance, alors une variable tombe & on parlera de symétrie faible. Si l’on a deux
invariances, alors deux variables tombent & on parlera de symétrie forte (condition nécessaire pour
l’utilisation du théorème de Gauss en électrostatique & du théorème d’Ampère en magnétostatique).

Application à l’électrostatique : utilisation du théorème de Gauss dans le cas d’un problème à
symétrie forte. Dans le cadre de l’électrostatique, les symétries fortes rencontrées sont la symétrie
sphérique ( r = OM seule variable) & la symétrie cylindrique (r = HM seule variable) sont les plus
courantes.
Alors le potentiel électrostatique V ne peut dépendre que de r, & donc une équipotentielle (V = cste) doit
vérifier V(r) = cste, ce qui définit une sphère de centre O en coordonnées sphériques & un cylindre
ouvert d’axe Oz en coordonnées cylindriques). Dans le théorème de Gauss, l’inconnue est donc le champ

Q
E , & on ne sait résoudre ce problème que si on peut arriver à la forme : E.  int , où  représente
o

tout ou partie de la surface fermée S. Il faut donc avoir : E.dS  E.dS & la surface de Gauss est une
équipotentielle. Dans tous les cas de symétrie forte, l’utilisation du seul théorème de Gauss suffit à
déterminer totalement le champ électrostatique, ce qui ne sera pas le cas du théorème d’Ampère en
magnétostatique (car les courbes & les surfaces ouvertes ne se ferment pas de la même façon).

Application à la magnétostatique : utilisation du théorème d’Ampère dans le cas d’un problème à
symétrie forte, donc dans le cadre de la magnétostatique, limité aux symétries cylindriques &
toriques.
Alors le champ ne peut dépendre que de r, & de la même façon, on ne sait résoudre ce problème que
si on peut arriver à la forme : B.L   o I int , où L représente tout ou partie de la courbe fermée C. Donc :
la courbe d’Ampère est une ligne de champ. Ampère permet de déterminer totalement le champ
magnétique que si L correspond à la ligne de champ entière (rare, cas du tore & du fil infini). Sinon,
effectuer une limite appropriée sur un problème à symétrie faible nécessitant un calcul avec le théorème
de Biot & Savart.