RACINE CARREE 1) Racine carrée d’un nombre positif a) Définition Soit a un nombre positif. La racine carrée de a (noté ) est le nombre positif dont le carré est a. Pour tout nombre « a » positif, . Remarque : Le symbole est appelé radical. Si a est un nombre strictement négatif alors n’existe pas. Exemple : Cas où On sait que : est un nombre entier 0² = 0 1² = 1 2² = 4 3² = 9 4² = 16 5² = 25 Donc On dit que : 0, 1, 4, 9, 16, 25, ….sont des carrés parfaits (carré des nombres entiers). Cas où est un nombre rationnel non entier : Cas où est un nombre irrationnel : approchées de ces nombres avec la calculatrice. …… On ne peut obtenir que des valeurs b) Propriétés Pour tout nombre positif a, on a : . Démonstration : Par définition de la racine carrée. Exemples : ….. , Pour tout nombre positif a, on a : Démonstration : Par définition, positif et son carré vaut a², donc . est le nombre qui élevé au carré donne a². Or a est un nombre . Remarque : Si a est un nombre positif, alors Exemple : ; existe et on a : ; ….. EXERCICE 1 : Compléter les pointillés. Exemple : 2² = 4, 2 est positif donc : a) …… = 6², ….. est positif donc ….. = 6. b) 17² = 249, …... est positif donc ….. = ….. . c) ……² = 16, ….. est positif donc …..= …… . d) ……² = ….., …... est positif donc = …… . e) ….² = 81, ….. est positif donc = ……. . = ….. . e) ……² = ….. , …… est positif donc EXERCICE 2 : Calculer. a) b) c) d) e) f) b) c) e) f) EXERCICE 3 : Calculer. a) d) 2) Racines carrées et opérations a) Multiplication et division Le produit des racines carrées de deux nombres positifs est égal à la racine carrée de leur produit. Ainsi, pour tous nombres positifs a et b, on a : . Démonstration : . Or, par définition de la racine carrée, dont le carré est ab. On obtient donc : Exemples : Ecrire un nombre . , sous la forme Technique : On écrit a sous la forme On utilise la formule On conclut Exemple : Ecrire sous la forme (propriété liée à la définition) avec c nombre entier positif. est le seul nombre positif EXERCICE 4 : Ecrire sous la forme (a est un entier positif) a) b) c) d) e) f) Ecrire un nombre sous la forme avec b le plus petit possible Technique : On cherche le plus grand carré parfait qui divise c On écrit c sous la forme a²b où a² est le plus grand carré parfait trouvé On utilise la formule On conclut en utilisant la formule liée à la définition : Exemple : Ecrire sous la forme a avec a et b nombres entiers positifs et b le plus petit possible. 36 est le plus grand carré parfait qui divise 72. . On obtient alors : EXERCICE 5 : Ecrire sous la forme EXERCICE 6 : Ecrire sous la forme EXERCICE 7 : Ecrire sous la forme avec a, b, et c trois entiers relatifs. où a et b sont deux entiers relatifs et b le plus petit possible. avec a, b, et c trois entiers relatifs. Le quotient des racines carrées de deux nombres positifs est égal à la racine carrée de leur quotient. Ainsi, pour tous nombres positifs a et b, b 0 on a : Exemple : . , Transformer un quotient de racines carrées pour obtenir un dénominateur entier Technique : On transforme le quotient de racines carrées en racine carrée d’un quotient (formule cidessus) On simplifie le quotient et on le réécrit comme un quotient de racines carrées On multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre se trouvant au dénominateur On conclut en utilisant les formules suivantes : et Exemple : Soit l’expression . Calculer B et donner le résultat sans radical au dénominateur. b) Addition et soustraction Attention : Les propriétés précédentes ne s’étendent pas à l’addition et la soustraction. Exemple : et et donc donc EXERCICE 8 : Ecrire les quotients suivants avec un dénominateur entier.