Racines carrées

Racines carrées
I – Carré d’un nombre (Rappels)
Calculer le carré d’un nombre, c’est le multiplier par lui-même.
a² = a × a
Exemples
3² = 9
(– 5)² = (– 5) × (– 5) = 25 Attention ! – 5² = – 5 × 5 = – 25 donc (– 5)²  – 5²
1² = 1 0² = 0
Liste des carrés des premiers nombres entiers naturels
Nombre
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Carré
0
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
144
169
Remarque
Lorsqu’on calcule le carré d’un nombre, on obtient toujours un résultat positif.
II – Racine carrée d’un nombre positif
Définition
a est un nombre positif.
La racine carrée de a est le nombre positif dont le carré est égal à a.
Ce nombre est noté a.
Autrement dit : a × a = a.
Exemples
 a peut être un nombre entier.
81 = 9 car 9² = 81
49 = 7 car 7² = 49
0 = 0 1 = 1
 a peut être un nombre décimal ou rationnel.
0,25 = 0,5 car 0,5² = 0,25
4
9 = 2 3 car 
2
3
2
= 4
9
 a peut être un nombre irrationnel.
2, 3, 4,5, … sont des nombres irrationnels.
La touche > de la calculatrice permet d’obtenir une valeur approchée de ces nombres.
2  1,414
3  1,732
4,5  2,121
Remarque
Puisqu’un carré est toujours positif, on ne peut pas trouver de nombre dont le carré est négatif.
La racine carrée d’un nombre négatif n’existe donc pas.

III – Propriétés
On sait déjà, grâce à la définition, que : ( )
a2 = a.
Propriété 1
Si a est un nombre positif, alors a² = a.
Exemples
 6² = 6 15,3² = 15,3 
2
3
2
= 2
3
Attention ! Si a est un nombre négatif, la propriété 1 n’est plus vraie !
 (– 6)² = 36 = 6
Propriété 2 (Racine carrée d’un produit)
a, b sont des nombres positifs.
a × b = a × b
Exemples
3 × 8 = 3 × 8 = 24 6 = 2 × 3 = 2 × 3
2 × 18 = 2 × 18 = 36 = 6 45 = 9 × 5 = 9 × 5 = 3 × 5 = 3 5
Propriété 3 (Racine carrée d’un quotient)
a, b sont des nombres positifs.
a
b = a
b
Exemples
10
5 = 10
5 = 2 5 9 = 5
9 = 5
3
3
27 = 3
27 = 1 9 = 1 3
Attention ! En général, a + b  a + b.
Voyons le contre-exemple suivant :
16 + 9 = 25 = 5
16 + 9 = 4 + 3 = 7
IV – Méthodes
1) Ecrire un nombre a b sous la forme c
Exemple : Ecrire le nombre 5 3 sous la forme c.
5 3 = 25 × 3
= 25 × 3
= 75
2) Ecrire un nombre c sous la forme a b
Exemple : Ecrire le nombre 72 sous la forme a b avec a et b entiers positifs et b le plus petit possible.
72 = 36 × 2 On cherche une décomposition de 72 qui fait apparaître un carré.
= 6 × 2
= 6 2 On a bien obtenu la forme a b avec a = 6 et b = 2.

Remarque : Il existe plusieurs décompositions de 72 faisant apparaître un carré.
72 = 9 × 8 72 = 4 × 18
72 = 9 × 8 72 = 4 × 18
= 3 × 8 = 2 × 18
= 3 8 = 2 18
Les résultats obtenus sont bien de la forme a b mais le nombre b n’est pas le plus petit possible.
3) Réduire une somme
Exemple : Ecrire A = 45 + 6 5 – 20 sous la forme la plus simple possible.
A = 45 + 6 5 – 20 On décompose 45 et 20 en faisant apparaître un carré.
A = 9 × 5 + 6 5 – 4 × 5
A = 9 × 5 + 6 5 – 4 × 5
A = 3 × 5 + 6 5 – 2 × 5
A = 3 5 + 6 5 – 2 5
A = 7 5
4) Rendre entier le dénominateur d’une fraction
Exemple : Ecrire A = 3
5 et B = 3 2 6 avec un dénominateur entier.
A = 3
5 = 3 × 5 5 × 5 = 3 5
5 B = 3 2
6 = 3 2 × 6 6 × 6 = 312
6 = 12 2
5) Développer une expression comportant des
Exemple : Développer les expressions : A = 7(2 + 5) et B = 2 5( 2 + 1)
A = 7(2 + 5) B = 2 5( 2 + 1)
A = 7 × 2 + 7 × 5 B = 2 5 × 2 + 2 5 × 1
A = 14 + 7 5 B = 2 10 + 2 5
V – Equations de la forme x² = a
Propriété – Résolution de l’équation x² = a
Si a > 0 (a est positif), l’équation a deux solutions qui sont a et – a.
Si a = 0, l’équation a une seule solution qui est 0.
Si a < 0 (a est négatif), l’équation n’a aucune solution.
Exemples :
 x² = 9  x² = 7  x² = – 3
x = 9 ou x = – 9 x = 7 ou x = – 7 Il n’y a pas de solution.
x = 3 ou x = – 3 S = { 7 ; – 7} S = 
S = {3 ; – 3}
 x² – 5 = 31  2x² = 10  4x² – 2 = 7
x² = 31 + 5 x² = 10
2 4x² = 7 + 2
x² = 36 x² = 5 x² = 9
4
x = 36 ou x = – 36 x = 5 ou x = – 5 x = 9
4 ou x = – 9 4
x = 6 ou x = – 6 S = { 5 ; – 5} x = 3
2 ou x = – 3 2
S = {6 ; – 6} S = { 3
2 ; – 3 2 }
× 5
× 5 × 5
× 6
× 6
1
2

 – 2x² + 4 = 5x² – 6
– 2x² – 5x² = – 6 – 4
– 7x² = – 10
x² = – 10
– 7
x² = 10
7
x = 10
7 ou x = – 10 7
S = { 10
7 ; – 10 7 }
BILAN POUR LE CHAPITRE : RACINES CARREES
Je dois :
 connaître la définition d’une racine carrée (en particulier savoir que (a)² = a  a = a).
 connaître et utiliser les propriétés : a² = a ; a  b = a  b et a
b = a
b.
 savoir transformer, en détaillant, des expressions contenant des racines carrées :
- écrire un nombre a b sous la forme c (par exemple passer de 5 3 à 75);
- écrire un nombre c sous la forme a b (par exemple passer de 72 à 6 2);
- écrire un nombre ab avec un dénominateur entier (par exemple 2
3) ;
- calculer (a b)² (par exemple (5 3)²).
 savoir réduire et développer des expressions contenant des racines carrées.
Exemples : Réduire la somme S = – 27 + 2 75 ; Développer le produit P = 3 2(4 + 2 5).
 savoir résoudre des équations de la forme x² = a ou s’y ramenant (par exemple, résoudre l’équation 2x² = 26).