Racines carrées

Racines carrées
I – Carré d’un nombre (Rappels)
Calculer le carré d’un nombre, c’est le multiplier par lui-même.
a² = a × a
Exemples
3² = 9
(– 5)² = (– 5) × (– 5) = 25
1² = 1
0² = 0
Attention !
– 5² = – 5 × 5 = – 25 donc (– 5)²  – 5²
Liste des carrés des premiers nombres entiers naturels
Nombre
Carré
0
0
1
1
2
4
3
9
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
16 25 36 49 64 81 100 121 144 169
Remarque
Lorsqu’on calcule le carré d’un nombre, on obtient toujours un résultat positif.
II – Racine carrée d’un nombre positif
Définition
a est un nombre positif.
La racine carrée de a est le nombre positif dont le carré est égal à a.
Ce nombre est noté a.
Autrement dit :
a × a = a.
Exemples
 a peut être un nombre entier.
81 = 9 car 9² = 81
49 = 7 car 7² = 49
0=0
1=1
 a peut être un nombre décimal ou rationnel.
0,25 = 0,5 car 0,5² = 0,25
22 4
4 2
= car 3 =
  9
9 3
 a peut être un nombre irrationnel.
2, 3, 4,5, … sont des nombres irrationnels.
La touche > de la calculatrice permet d’obtenir une valeur approchée de ces nombres.
2  1,414
3  1,732
4,5  2,121
Remarque
Puisqu’un carré est toujours positif, on ne peut pas trouver de nombre dont le carré est négatif.
La racine carrée d’un nombre négatif n’existe donc pas.
III – Propriétés
2
On sait déjà, grâce à la définition, que : ( a) = a.
Propriété 1
Si a est un nombre positif, alors a² = a.
Exemples
 6² = 6
15,3² = 15,3
22 2
3 =
  3
Attention ! Si a est un nombre négatif, la propriété 1 n’est plus vraie !
 (– 6)² = 36 = 6
Propriété 2 (Racine carrée d’un produit)
a, b sont des nombres positifs.
a×b= a× b
Exemples
3 × 8 = 3 × 8 = 24
2 × 18 = 2 × 18 = 36 = 6
6= 2×3= 2× 3
45 = 9 × 5 = 9 × 5 = 3 × 5 = 3 5
Propriété 3 (Racine carrée d’un quotient)
a, b sont des nombres positifs.
a
a
=
b
b
Exemples
10
=
5
3
=
27
10
= 2
5
3
=
27
5
5
5
=
=
9
9 3
1 1
=
9 3
Attention ! En général, a + b  a + b.
Voyons le contre-exemple suivant :
16 + 9 = 25 = 5
16 + 9 = 4 + 3 = 7
IV – Méthodes
1) Ecrire un nombre a b sous la forme c
Exemple : Ecrire le nombre 5 3 sous la forme c.
5 3 = 25 × 3
= 25 × 3
= 75
2) Ecrire un nombre c sous la forme a b
Exemple : Ecrire le nombre 72 sous la forme a b avec a et b entiers positifs et b le plus petit possible.
72 = 36 × 2
=6× 2
=6 2
On cherche une décomposition de 72 qui fait apparaître un carré.
On a bien obtenu la forme a b avec a = 6 et b = 2.
Remarque : Il existe plusieurs décompositions de 72 faisant apparaître un carré.
72 = 9 × 8
72 = 4 × 18
72 = 9 × 8
=3× 8
=3 8
72 = 4 × 18
= 2 × 18
= 2 18
Les résultats obtenus sont bien de la forme a b mais le nombre b n’est pas le plus petit possible.
3) Réduire une somme
Exemple : Ecrire A = 45 + 6 5 – 20 sous la forme la plus simple possible.
A = 45 + 6 5 – 20
A= 9×5+6 5– 4×5
A= 9× 5+6 5– 4× 5
A=3× 5+6 5–2× 5
A=3 5+6 5–2 5
A=7 5
On décompose 45 et 20 en faisant apparaître un carré.
4) Rendre entier le dénominateur d’une fraction
Exemple : Ecrire A =
A=
3
3 2
et B =
avec un dénominateur entier.
5
6
3 × 5 3× 5 3 5
=
=
5
5× 5
5× 5
B=
1
3 2 × 6 3 2 × 6 3 12
12
=
=
=
2
6 × 6
6× 6 2 6
5) Développer une expression comportant des
Exemple : Développer les expressions : A = 7(2 + 5) et B = 2 5( 2 + 1)
A = 7(2 + 5)
A=7×2+7× 5
A = 14 + 7 5
B = 2 5( 2 + 1)
B=2 5× 2+2 5×1
B = 2 10 + 2 5
V – Equations de la forme x² = a
Propriété – Résolution de l’équation x² = a
Si a > 0 (a est positif), l’équation a deux solutions qui sont a et – a.
Si a = 0, l’équation a une seule solution qui est 0.
Si a < 0 (a est négatif), l’équation n’a aucune solution.
Exemples :
 x² = 9
x = 9 ou x = – 9
x = 3 ou x = – 3
S = {3 ; – 3}
 x² = 7
x = 7 ou x = – 7
S = { 7 ; – 7}
 x² = – 3
Il n’y a pas de solution.
S=
 x² – 5 = 31
x² = 31 + 5
 2x² = 10
x² = 10
2
 4x² – 2 = 7
4x² = 7 + 2
x² = 36
x² = 5
x² = 94
x = 36 ou x = – 36
x = 5 ou x = – 5
x=
x = 6 ou x = – 6
S = { 5 ; – 5}
x = 3 ou x = – 3
S = {6 ; – 6}
9
4
ou x = –
2
2
3
2
S={ ;–
3}
2
9
4
 – 2x² + 4 = 5x² – 6
– 2x² – 5x² = – 6 – 4
– 7x² = – 10
x² = – 10
x² =
–7
10
7
10
7
x=
ou x = –
10
7
S={
;–
10
7
10 }
7
BILAN POUR LE CHAPITRE : RACINES CARREES
Je dois :





connaître la définition d’une racine carrée (en particulier savoir que ( a)² = a  a = a).
a
a
connaître et utiliser les propriétés : a² = a ; a  b = a  b et
= .
b
b
savoir transformer, en détaillant, des expressions contenant des racines carrées :
- écrire un nombre a b sous la forme c (par exemple passer de 5 3 à 75);
- écrire un nombre c sous la forme a b (par exemple passer de 72 à 6 2);
2
a
- écrire un nombre
avec un dénominateur entier (par exemple
);
b
3
- calculer (a b)² (par exemple (5 3)²).
savoir réduire et développer des expressions contenant des racines carrées.
Exemples : Réduire la somme S = – 27 + 2 75 ; Développer le produit P = 3 2(4 + 2 5).
savoir résoudre des équations de la forme x² = a ou s’y ramenant (par exemple, résoudre l’équation 2x² = 26).