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Chapitre 1 Term S
Divisibilité dans Z
Ce chapitre est un chapitre d’arithmétique qui est l’étude des propriétés des nombres
entiers donc tous les nombres avec lesquels on travaille désormais sont des nombres
entiers.
Rappel :
L’ensemble des nombres entiers naturels est IN = { …………………………….. }
L’ensemble des nombres entiers relatifs est Z = { ………………………………}
I. Diviseurs et multiples d’un entier :
A) Définition :
Soient a et b deux nombres entiers relatifs.
On dit que « b divise a »
lorsqu’il existe un nombre k tel que ……………………………………..
Ceci se note b a
Vocabulaire :
- On dit aussi que a est un ………………………….. de b
- On dit aussi que b est un ………………………….. de a
Notation :
- On note D(a) l’ ensemble des diviseurs d’un entier relatif non nul a
- On note a Z l’ ensemble des multiples d’un entier relatif non nul.
Exemples :
1 Prouver que 45 est un diviseur de 765.
2 Trouver tous les multiples de 6 qui sont dans I= [-19,3 ; 16]
3 A l’aide de la machine, déterminer D+ (20).
B) Propriétés :
Soient a et b deux nombres entiers relatifs
a b et b a a=b ou a = -b
Dem :
a | b donc b=ka ( avec kZ )
b | a donc a = k’b ( avec k Z )
donc b= kk’b
donc 1 = kk’
donc k et k’ divisent 1
donc k=1 ou k= -1
donc b= a ou b= -a
a=b ou a=-b donc
a
b
a
a
ou
donc
a
b
1
ou
ab
1
donc a divise b
et en faisant la même chose en divisant par b, on a :
donc
b
b
b
a
=1 ou
=1
donc b divise a
IN Z donc toutes les propriétés vraies dans Z sont vraies dans IN
Mais la réciproque est fausse :
Toutes les propriétés vraies dans IN ne sont vraies que pour une partie
de Z donc ne sont pas forcément vraies pour Z
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Soient a,b et c trois nombres entiers relatifs
i. Si a b alors a divise bc
ii. Si a b alors ca divise cb
iii. Si a b et a c alors a (b + c) ( quels que soient les entiers relatifs et )
iv. Si a b et b c alors …………….
Dem :
On dit que deux nombres sont premiers entre eux si ils n’ont aucun
diviseur commun hormis 1.
Exemple :
Montrer que 328 et 299 sont premiers entre eux.
II. Division euclidienne : 5 7 4
A. La division euclidienne dans N :
0n dit qu’on a effectué la …………………………………………… de 57 par 4.
Dans cette division , 57 est ……………………… et 4 est ………………………
Le quotient est…………………… et le reste est ……………
En terme d’égalité, ceci revient à dire que : 57 = ………………………………
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Soient a
IN et b
IN*
Il existe un unique couple (q ; r) d’entiers naturels tels que :
a = ………….…………….. avec …………………
On dit que q et r sont respectivement le quotient et le reste de la division
euclidienne de a par b
Théorème d’Archimède : (a ;b)IN x IN*, nIN tel que a < nb
( autrement dit : il existe toujours un multiple de b plus grand que a.
Démonstration :
existence de q et r :
Soit E={nIN / a < nb}
Cet ensemble n’est pas vide d’après la propriété d’Archimède
donc il existe un plus petit élément k tel que a< kb (propriété vue en activité )
donc k-1 E
donc (k-1)b a
donc (k-1)b a < kb
On pose q = k-1 donc k = q+1
donc qb a <(q+1)b
donc 0 a qb < (q+1)b qb
On pose r = a - qb donc 0 r < b
donc il existe bien un réel q et un réel r tels que
a = qb + r
0 r < b
unicité de q et r :
Je suppose que a=q1b + r1 = q2 b +r2 avec 0 r1 < b et 0 r2 < b
donc -b < -r1 0 et 0 r2 < b
donc -b < r2 r1 < b
or r2 r1 = (a- q2 b) (a- q1 b) = q1 b - q2 b = b(q1-q2)
donc r2 r1 = b(q1-q2)
donc r2 r1 est un multiple de b strictement compris entre b et b
or le seul multiple de b entre b et b est 0
donc r2 r1 = 0
donc r2 = r1 et de même q2 = q1
d’ où l’unicité de q et r
Exemples :
1 Déterminons le quotient et le reste de la division euclidienne de 117 par 23.
2 Le quotient de 394 par un nombre b est 17 et le reste est r.
Trouver toutes les valeurs de b et de r possibles.
B. La division euclidienne dans Z :
Soient a
Z et b
Z *
Il existe un unique couple d’entiers relatifs (q ; r) tels que :
a = b q + r avec 0 r < b
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Exemples :
1 a) Déterminons le quotient et le reste de la division euclidienne de 37 par 11
b) Déterminons le quotient et le reste de la division euclidienne de 37 par 11
c) Déterminons le quotient et le reste de la division euclidienne de 37 par -11
III. Congruences :
A. Définition :
Soient a et b deux entiers relatifs et n
IN tel que n
2.
On dit que a et b sont congrus modulo n lorsque les divisions euclidiennes de
a par n et b par n ont le même reste.
« a et b sont congrus modulo n » se dit aussi « a est congru à b modulo n »
et ceci se note a b (n)
Exemples :
1 2 est congru à 26 modulo 6 car, en partant de 2 en comptant de 6 en 6, on arrive à 26.
2 - 89 ……... (5) car
3 128 100 (……. )
( éviter modulo 28 )
Remarque : pour tout a
Z, a ….. (n)
B. Propriétés: Soit un entier n 2
a b (n) n (b - a )
Démonstration :
Si a 0 (n) n a
Démonstration :
Ceci se prouve facilement grâce à la propriété ci-dessus en prenant b=0
n |(b-a) donc b-a = nk avec k Z
donc b = a + nk
or si a=nq+r est la division euclidienne de a par n alors on a 0 r < n
donc b=(nq+r)+nk=n(q+k) + r avec 0 r < n
donc ceci est la division euclidienne de b par n
donc a b (n) car les deux divisions ont le même reste
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Soit n’ 2 tel que n’ n
Si a b (n) alors a b (n’)
Si a b (n) et b c (n) alors a c (n)
si a a’ (n)
et b b’ (n)
alors a+b a’+b’ (n) ( on peut ajouter deux congruences modulo un même nombre )
alors ab a’b’ (n) ( on peut multiplier deux congruences modulo un même nombre )
alors ap a’p (n)
alors ka ka (n)
avec k Z
Exemples :
Démonstration :
Soit n’ un nombre qui divise n et a b (n)
donc n | (b-a)
donc b-a = n x k or n = n’ x k’
donc b-a = n’ x k’ x k
donc n’ | (b-a)
donc a b (n’)
Application :
Trouver plusieurs entiers naturels n
tels que a b (n)
a b (24) donc …………………………
a b (42) donc …………………………
Démonstration :
a b (n) donc n | (b-a)
b c (n) donc n | (c-b)
donc n | (c-b)+(b-a)
donc n | (c-a)
donc a c (n)
Remarque :
Cette propriété va nous permettre d’enchaîner
de manière un peu abusive des congruences
modulo un même nombre
Exemple :
148 48 (5) …… (5)
Contre exemple :
Cette propriété ne doit pas entraîner des
erreurs graves du genre :
148 48 (5) et 48 3(9)
donc 148 48 (5) 3(9) >>> FAUX
Démonstration :
a a’ (n) donc a = a’ +kn
b b’ (n) donc b = b’ +k’n
donc a+b =………………………………………
donc a b = ………………………………………
donc ap = …………………………………………
donc k a = …………………………………………
1 142 ……… (7)
45 ……….(7)
donc 187 ………… (7)
2 44 ………. (7)
11 ……….. (7)
donc 484 ………..(7)
3 42 ….. (5)
73 ….. (5)
donc ………..=6 x 42 73 ……….(5)
donc ……….. …………….(5)
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