B. Propriétés: Soit un entier n 2

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Chapitre 1 – Term S
Divisibilité dans Z
Ce chapitre est un chapitre d’arithmétique qui est l’étude des propriétés des nombres
entiers donc tous les nombres avec lesquels on travaille désormais sont des nombres
entiers.
Rappel :
L’ensemble des nombres entiers naturels est IN = { …………………………….. }
L’ensemble des nombres entiers relatifs est Z = { ………………………………}
I. Diviseurs et multiples d’un entier :
A) Définition :
Soient a et b deux nombres entiers relatifs.
On dit que « b divise a »
lorsqu’il existe un nombre k tel que ……………………………………..
Ceci se note b a
Vocabulaire :
- On dit aussi que a est un ………………………….. de b
- On dit aussi que b est un ………………………….. de a
Notation :
- On note D(a) l’ ensemble des diviseurs d’un entier relatif non nul a
- On note a Z l’ ensemble des multiples d’un entier relatif non nul.
Exemples :
1 Prouver que –45 est un diviseur de 765.
2 Trouver tous les multiples de 6 qui sont dans I= [-19,3 ; 16]
3 A l’aide de la machine, déterminer D+ (20).
B) Propriétés :
Soient a et b deux nombres entiers relatifs
a  b et b  a  a=b ou a = -b
Dem :
a | b donc b=ka ( avec kZ )
b | a donc a = k’b ( avec k  Z )
donc b= kk’b
donc 1 = kk’
donc k et k’ divisent 1
donc k=1 ou k= -1
donc b= a ou b= -a
a=b ou a=-b donc
a
b
a
a
ou
ab a
a
donc
a
b
1
ou
ab
1
donc a divise b
et en faisant la même chose en divisant par b, on a :
donc
b
b
b
a
=1 ou
bb b
a
=1
donc b divise a
IN  Z donc toutes les propriétés vraies dans Z sont vraies dans IN
Mais la réciproque est fausse :
Toutes les propriétés vraies dans IN ne sont vraies que pour une partie
de Z donc ne sont pas forcément vraies pour Z

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Soient a,b et c trois nombres entiers relatifs
i. Si a  b alors a divise bc
ii. Si a  b alors ca divise cb
iii. Si a  b et a  c alors a  (b + c) ( quels que soient les entiers relatifs  et  )
iv. Si a  b et b  c alors …………….
Dem :
On dit que deux nombres sont premiers entre eux si ils n’ont aucun
diviseur commun hormis 1.
Exemple :
Montrer que 328 et 299 sont premiers entre eux.
II. Division euclidienne : 5 7 4
A. La division euclidienne dans N :
0n dit qu’on a effectué la …………………………………………… de 57 par 4.
Dans cette division , 57 est ……………………… et 4 est ………………………
Le quotient est…………………… et le reste est ……………
En terme d’égalité, ceci revient à dire que : 57 = ………………………………

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Soient a IN et b IN*
Il existe un unique couple (q ; r) d’entiers naturels tels que :
a = ………….…………….. avec ……………………
On dit que q et r sont respectivement le quotient et le reste de la division
euclidienne de a par b
Théorème d’Archimède : (a ;b)IN x IN*,  nIN tel que a < nb
( autrement dit : il existe toujours un multiple de b plus grand que a.
Démonstration :
 existence de q et r :
Soit E={nIN / a < nb}
Cet ensemble n’est pas vide d’après la propriété d’Archimède
donc il existe un plus petit élément k tel que a< kb (propriété vue en activité )
donc k-1  E
donc (k-1)b  a
donc (k-1)b  a < kb
On pose q = k-1 donc k = q+1
donc qb  a <(q+1)b
donc 0  a –qb < (q+1)b – qb
On pose r = a - qb donc 0  r < b
donc il existe bien un réel q et un réel r tels que
 a = qb + r
 0  r < b
 unicité de q et r :
Je suppose que a=q1b + r1 = q2 b +r2 avec 0  r1 < b et 0  r2 < b
donc -b < -r1  0 et 0  r2 < b
donc -b < r2 – r1 < b
or r2 – r1 = (a- q2 b) – (a- q1 b) = q1 b - q2 b = b(q1-q2)
donc r2 – r1 = b(q1-q2)
donc r2 – r1 est un multiple de b strictement compris entre –b et b
or le seul multiple de b entre –b et b est 0
donc r2 – r1 = 0
donc r2 = r1 et de même q2 = q1
d’ où l’unicité de q et r
Exemples :
1 Déterminons le quotient et le reste de la division euclidienne de 117 par 23.
2 Le quotient de 394 par un nombre b est 17 et le reste est r.
Trouver toutes les valeurs de b et de r possibles.
B. La division euclidienne dans Z :
Soient a Z et b Z *
Il existe un unique couple d’entiers relatifs (q ; r) tels que :
a = b q + r avec 0  r <  b 

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Exemples :
1 a) Déterminons le quotient et le reste de la division euclidienne de 37 par – 11
b) Déterminons le quotient et le reste de la division euclidienne de – 37 par 11
c) Déterminons le quotient et le reste de la division euclidienne de – 37 par -11
III. Congruences :
A. Définition :
Soient a et b deux entiers relatifs et n IN tel que n 2.
On dit que a et b sont congrus modulo n lorsque les divisions euclidiennes de
a par n et b par n ont le même reste.
« a et b sont congrus modulo n » se dit aussi « a est congru à b modulo n »
et ceci se note a  b (n)
Exemples :
1 2 est congru à 26 modulo 6 car, en partant de 2 en comptant de 6 en 6, on arrive à 26.
2 - 89  ……... (5) car
3 128  100 (……. ) ( éviter modulo 28 )
Remarque : pour tout a Z, a  ….. (n)
B. Propriétés: Soit un entier n  2
a  b (n)  n  (b - a )
Démonstration :
Si a  0 (n)  n  a
Démonstration :
Ceci se prouve facilement grâce à la propriété ci-dessus en prenant b=0
n |(b-a) donc b-a = nk avec k  Z
donc b = a + nk
or si a=nq+r est la division euclidienne de a par n alors on a 0  r < n
donc b=(nq+r)+nk=n(q+k) + r avec 0  r < n
donc ceci est la division euclidienne de b par n
donc a  b (n) car les deux divisions ont le même reste

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Soit n’  2 tel que n’  n
Si a  b (n) alors a  b (n’)
Si a  b (n) et b  c (n) alors a  c (n)
si a  a’ (n)
et b  b’ (n)
alors a+b  a’+b’ (n) ( on peut ajouter deux congruences modulo un même nombre )
alors ab  a’b’ (n) ( on peut multiplier deux congruences modulo un même nombre )
alors ap  a’p (n)
alors ka  ka’ (n) avec k  Z
Exemples :
Démonstration :
Soit n’ un nombre qui divise n et a  b (n)
donc n | (b-a)
donc b-a = n x k or n = n’ x k’
donc b-a = n’ x k’ x k
donc n’ | (b-a)
donc a  b (n’)
Application :
Trouver plusieurs entiers naturels n
tels que a  b (n)
a b (24) donc …………………………
a  b (42) donc …………………………
Démonstration :
a  b (n) donc n | (b-a)
b  c (n) donc n | (c-b)
donc n | (c-b)+(b-a)
donc n | (c-a)
donc a  c (n)
Remarque :
Cette propriété va nous permettre d’enchaîner
de manière un peu abusive des congruences
modulo un même nombre
Exemple :
148  48 (5)  …… (5)
Contre exemple :
Cette propriété ne doit pas entraîner des
erreurs graves du genre :
148  48 (5) et 48  3(9)
donc 148  48 (5)  3(9) >>> FAUX
Démonstration :
a  a’ (n) donc a = a’ +kn
b  b’ (n) donc b = b’ +k’n
donc a+b =………………………………………
donc a b = ………………………………………
donc ap = …………………………………………
donc k a = …………………………………………
1 142  ……… (7)
45  ……….(7)
donc 187  ………… (7)
2 44  ………. (7)
11  ……….. (7)
donc 484  ………..(7)
3 42  ….. (5)
73  ….. (5)
donc ………..=6 x 42 – 73  ……….(5)
donc ……….. …………….(5)