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Soient a
IN et b
IN*
Il existe un unique couple (q ; r) d’entiers naturels tels que :
a = ………….…………….. avec ……………………
On dit que q et r sont respectivement le quotient et le reste de la division
euclidienne de a par b
Théorème d’Archimède : (a ;b)IN x IN*, nIN tel que a < nb
( autrement dit : il existe toujours un multiple de b plus grand que a.
Démonstration :
existence de q et r :
Soit E={nIN / a < nb}
Cet ensemble n’est pas vide d’après la propriété d’Archimède
donc il existe un plus petit élément k tel que a< kb (propriété vue en activité )
donc k-1 E
donc (k-1)b a
donc (k-1)b a < kb
On pose q = k-1 donc k = q+1
donc qb a <(q+1)b
donc 0 a –qb < (q+1)b – qb
On pose r = a - qb donc 0 r < b
donc il existe bien un réel q et un réel r tels que
a = qb + r
0 r < b
unicité de q et r :
Je suppose que a=q1b + r1 = q2 b +r2 avec 0 r1 < b et 0 r2 < b
donc -b < -r1 0 et 0 r2 < b
donc -b < r2 – r1 < b
or r2 – r1 = (a- q2 b) – (a- q1 b) = q1 b - q2 b = b(q1-q2)
donc r2 – r1 = b(q1-q2)
donc r2 – r1 est un multiple de b strictement compris entre –b et b
or le seul multiple de b entre –b et b est 0
donc r2 – r1 = 0
donc r2 = r1 et de même q2 = q1
d’ où l’unicité de q et r
Exemples :
1 Déterminons le quotient et le reste de la division euclidienne de 117 par 23.
2 Le quotient de 394 par un nombre b est 17 et le reste est r.
Trouver toutes les valeurs de b et de r possibles.
B. La division euclidienne dans Z :
Soient a
Z et b
Z *
Il existe un unique couple d’entiers relatifs (q ; r) tels que :
a = b q + r avec 0 r < b