2 Suite de nombres réels

PROPRIETES DES NOMBRES
REELS ET SUITES DE NOMBRES
REELS

1
1 AXIOMES DES REELS ET PREMIERES CONSEQUENCES
On admet l’existence d’un ensemble noté R (ensemble des nombres réels) tel que N Z Q R satisfaisant les
propriétés suivantes :
1.1 « R EST UN CORPS COMMUTATIF »
R est muni de deux lois de composition interne :
R x R R R x R R
(x, y) x+y (x, y) xy
satisfaisant :
  x, y Є R x+y=y+x et xy=yx
  x, y, z Є R x+(y+z)=(x+y)+z et x(yz)=(xy)z
  0 Є R /  x Є R x+0 = x et  1 Є R /  x Є R 1x=x
  x Є R,  -x Є R / x+(-x)=0 et  x Є R,  x-1 Є R / xx-1=1
  x, y, z Є R x(y+z)=xy+xz
1.2 « R EST UN ENSEMBLE TOTALEMENT ORDONNE »
R est muni d’une relation d’ordre tel que :
  x, y Є R xy ou y  x
  x, y Є R et  z Є R xy => x+z  y+z
  x, y Є R x0 et y0 => xy0
1.3 « R EST ARCHIMEDIEN »
x Є R, y Є R et y > 0 n Є N / ny x
1.4 AXIOME DE CANTOR OU LA PROPRIETE DES SEGMENTS EMBOITES
Soit ([an, bn] )n
0 une suite d’intervalle emboîtés telle que
n Є N an an+1 et bn+1 bn.
Donc [an+1 et bn+1] [an, bn].
Alors
nЄN [an, bn] est un ensemble non vide.
1.5 DEFINITION :
Soit x Є R, on appelle valeur absolue de x et on note |x | le nombre :
- x si x 0
- -x si x 0
De manière générale : |x | = Max (x, -x)
1.5.1 Propositions sur les valeurs absolues :
-  a > 0, |x |  a  -axa
-  x, y Є R |x||y|=|xy|
-  x, y Є R |x+y| |x|+|y| (inégalité triangulaire)
-  x, y Є R | |x|-|y|| |x-y|
1.6 THEOREME :
(Q est dense dans R)
Soit a, b Є R tel que a<b. Alors il existe un nombre rationnel c Є ]a, b[

2
Preuve :
- Premier cas : Supposons d’abord 0a<b. R est archimédien dit qu’il existe q Є N tel que 1/q <b-a.
Fixons donc un tel entier q. A nouveau, le fait que R est archimédien donne l’existence de p Є N tel
que p*1/qb (2).
Considérons le plus petit entier p satisfaisant (2). Soit c= (p-1)/q Є Q.
On a c<b par définition de p. Donc :
c-a= p/q – 1/q – a  (b-a) – 1/q >0 par construction de q.
On a donc c Є ]a, b[. On a donc trouvé un élément c Є Q  ( ]a, b[ )
- Deuxième cas : a<0<b alors 0 Є Q  ( ]a, b[ )
- Troisième cas : a<b0 on a 0-b<-a : on retrouve le premier cas.
1.7 THEOREME :
Propriété des bornes supérieure et inférieure :
Soit A une partie non vide majorée de R (respectivement minorée de R). alors A admet une borne supérieure
(respectivement inférieure)
Preuve admise
2 SUITE DE NOMBRES REELS
Une suite de nombres réels est la donnée d’une application de N (ou du complémentaire d’une partie finie de N)
à valeur dans R :
N  R
n  f(n)
En général, on utilise les notations un, vn, rn, an pour désigner le nombre réel associé au nombre entier n.
On note la suite (un)n0 et on appelle un le terme de rang n de la suite (un)n0.
Exemple : on écrit, on considère la suite (un)n0 avec un=(-1)n/n.
2.1 DEFINITION 1
Soient (un)n
0 et (vn)n 0 deux suites de nombres réels.
On dit que la suite (vn)n
0 est une suite extraite de la suite (un)n 0 si et seulement s’il existe une application
strictement croissante de N N notée telle que n Є N vn=u
(n).
Exemple :
Soit (un)n0 la suite un=(-1)n/n, vn=1/(2n) alors vn est une suite extraite de (un)n0 car vn=u2n. Donc la fonction  est
la fonction :
 N  N
n  2n
2.2 DEFINITION 2
Une suite de nombres réels (un)n
0 est dite :
- majorée si et seulement si M Є R tel que n Є N un M
- minorée si et seulement si m Є R tel que n Є N m un
- bornée si et seulement si elle est majorée et minorée.
Exemple :
La suite (un)n0 avec un=n si n est pair et un = 1/n si n est impair.
(un)n0 n’est pas majorée (donc n’est pas bornée). Par contre, elle est minorée car  n Є N o un.
2.3 DEFINITION 3
Soit (un)n
0 une suite de nombres réels. On dit que (un)n 0 est convergente et converge vers le nombre réel a si et
seulement si > 0 N Є N / n N |un – a | <
Propriétés :

3
- Soit (un)n0 une suite convergente (un)n0 est bornée.
- Soit (un)n0 une suite de nombre réels convergente. Alors il existe un et un seul nombre réel a tel que
(un)n0 converge vers a.
Ce nombre unique est appelé la limite de (un)n0 lorsque n tend vers a et on l’écrit :
Limn->¤¤ un = a.
Preuve
Supposons que (un)n0 converge vers a et a’ avec aa’.
On considère le nombre ’ = |a-a’|/2 :
o (un)n0 converge vers a donc  N1 Є N tel que si n N1 alors |un-a|< 
o (un)n0 converge vers a’ donc  N1 Є N tel que si n N2 alors |un-a’|<
Donc, par exemple pour N=N1+N2 on a |un-a| <  et |un-a’| <  donc on a :
|a-a’|=|(un-a)+(a’-un)|  (inégalité triangulaire) |un-a|+|un-a’| < ’ + ’ = |a-a’| (définition de ’).
On a donc |a-a’| < |a-a’|. Ce qui est absurde.
Donc a est unique.
Propositions sur les suites convergentes
Soient (un)n
0, (vn)n 0 deux suites convergentes avec limn->¤¤ un = a et limn->¤¤ vn = b.
 la suite (wn)n0 = (un+vn)n0 est convergente vers a+b
 la suite (rn)n0 = (un-vn)n0 est convergente vers a-b
 la suite (tn)n0 = (un*vn)n0 est convergente vers a*b
 Si a0  N1 /  n N1 un0 et la suite (sn)n0 = 1/(un)n0 est convergente vers 1/a.
2.4 DEFINITION 4
Une suite (un)n
0 qui n’est pas convergente est dite divergente. Parmi les suites convergentes on en distingue une
catégorie particulière.
2.5 DEFINITION 5
Soit (un)n
0 une suite de nombres réels. On dit que :
- (un)n
0 tend vers +¤¤ lorsque n tend vers +¤¤
M >0 N Є N, n N => un M
- (un)n
0 tend vers -¤¤ lorsque n tend vers +¤¤
m <0 N Є N, n N => un<m
Proposition
Soient (un)n
0 une suite croissante (respectivement décroissante). Alors (un)n 0 est convergente si et seulement elle
est majorée (respectivement minorée).
Une suite croissante non majorée tend vers +¤¤.
Une suite décroissante non minorée tend vers -¤¤.
Preuve
On fait le cas ou (un)n0 est croissante majorée.
E={x Є R /  n Є N / x=un }
E est une partie non vide majorée, donc E admet une borne supérieure. On va montrer que (un)n0 converge vers l.
  > 0  N Є N ,  n N |un –l|<.
Soit  > 0 considérons le nombre l-.
Donc il existe N Є N / l-<uN <un
D’autre part un  l par définition de la limite.
Donc  n Є N l-<un <l+, c’est à dire |uN-l|<. CQFD
Si la suite des (un)n0 n’est pas majorée :
Donc  M >0 M n’est pas un majorant de (un)n0 . Donc il existe N Є N tel que uN>M.
Mais la suite (un)n0 étant croissante, on a  n Є N, unuN>M.
On a vu que  n 0  N Є N / n N uN>M.
Ce qui est la définition de (un)n0 tend vers +¤¤.
Remarques :
Si (un)n0 est une suite divergente, elle peut ne pas tendre vers l’infini.
Une suite peut ne pas être bornée et ne pas tendre vers +¤¤

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2.6 DEFINITION 4
Soient (un)n0 et (vn)n0 deux suites.
On dit que (un)n0 et (vn)n0 sont adjacentes si et seulement :
- (un)n0 est croissante et (vn)n0 est décroissante.
- (un-vn)n converge vers 0.
2.7 DEFINITION 5
Une suite (un)n0 est dite de Cauchy si et seulement si   > 0  N  N /  p, q  N | up – uq |<
2.8 THEOREMES
Une suite est dite de Cauchy si et seulement si elle est convergente.
Soit E une partie infinie et bornée de R, alors il existe une suite (un)n
0 composée d’une infinité d’éléments
distincts de E telle que (un)n
0 est convergente. (Théorème de Bolzano Weierstrass)
Corollaire du théorème de Bolzano Weierstrass :
Soit (un)n
0 une suite de nombres réels bornée, alors il existe une suite extraite (vn)n 0 de (un)n 0 qui est
convergente.