2 Suite de nombres réels

PROPRIETES DES NOMBRES
REELS ET SUITES DE NOMBRES
REELS
1 AXIOMES DES REELS ET PREMIERES CONSEQUENCES
On admet l’existence d’un ensemble noté R (ensemble des nombres réels) tel que N  Z  Q  R satisfaisant les
propriétés suivantes :
1.1
« R EST UN CORPS COMMUTATIF »
R est muni de deux lois de composition interne :
RxRR
RxRR
(x, y)  x+y
(x, y)  xy
satisfaisant :
  x, y Є R x+y=y+x et xy=yx
  x, y, z Є R x+(y+z)=(x+y)+z et x(yz)=(xy)z
  0 Є R /  x Є R x+0 = x et  1 Є R /  x Є R 1x=x
  x Є R,  -x Є R / x+(-x)=0 et  x Є R,  x-1 Є R / xx-1=1
  x, y, z Є R x(y+z)=xy+xz
1.2
« R EST UN ENSEMBLE TOTALEMENT ORDONNE »
R est muni d’une relation d’ordre  tel que :
  x, y Є R xy ou y  x
  x, y Є R et  z Є R xy => x+z  y+z
  x, y Є R x0 et y0 => xy0
1.3
« R EST ARCHIMEDIEN »
 x Є R,  y Є R et y > 0  n Є N / nyx
1.4
AXIOME DE CANTOR OU LA PROPRIETE DES SEGMENTS EMBOITES
Soit ([an, bn] )n0 une suite d’intervalle emboîtés telle que  n Є N anan+1 et bn+1bn.
Donc [an+1 et bn+1]  [an, bn].
Alors nЄN [an, bn] est un ensemble non vide.
1.5
DEFINITION :
Soit x Є R, on appelle valeur absolue de x et on note |x | le nombre :
- x si x 0
- -x si x0
De manière générale : |x | = Max (x, -x)
1.5.1
Propositions sur les valeurs absolues :
-
1.6
 a > 0, |x |  a  -axa
 x, y Є R |x||y|=|xy|
 x, y Є R |x+y| |x|+|y|
 x, y Є R | |x|-|y|| |x-y|
(inégalité triangulaire)
THEOREME :
(Q est dense dans R)
Soit a, b Є R tel que a<b. Alors il existe un nombre rationnel c Є ]a, b[
1
Preuve :
- Premier cas : Supposons d’abord 0a<b. R est archimédien dit qu’il existe q Є N tel que 1/q <b-a.
Fixons donc un tel entier q. A nouveau, le fait que R est archimédien donne l’existence de p Є N tel
que p*1/qb (2).
Considérons le plus petit entier p satisfaisant (2). Soit c= (p-1)/q Є Q.
On a c<b par définition de p. Donc :
c-a= p/q – 1/q – a  (b-a) – 1/q >0 par construction de q.
On a donc c Є ]a, b[. On a donc trouvé un élément c Є Q  ( ]a, b[ )
- Deuxième cas : a<0<b alors 0 Є Q  ( ]a, b[ )
- Troisième cas : a<b0 on a 0-b<-a : on retrouve le premier cas.
1.7
THEOREME :
Propriété des bornes supérieure et inférieure :
Soit A une partie non vide majorée de R (respectivement minorée de R). alors A admet une borne supérieure
(respectivement inférieure)
Preuve admise
2 SUITE DE NOMBRES REELS
Une suite de nombres réels est la donnée d’une application de N (ou du complémentaire d’une partie finie de N)
à valeur dans R :
NR
n  f(n)
En général, on utilise les notations un, vn, rn, an pour désigner le nombre réel associé au nombre entier n.
On note la suite (un)n0 et on appelle un le terme de rang n de la suite (un)n0.
Exemple : on écrit, on considère la suite (un)n0 avec un=(-1)n/n.
2.1
DEFINITION 1
Soient (un)n0 et (vn)n0 deux suites de nombres réels.
On dit que la suite (vn)n0 est une suite extraite de la suite (un)n0 si et seulement s’il existe une application
strictement croissante de NN notée  telle que  n Є N vn=u(n).
Exemple :
Soit (un)n0 la suite un=(-1)n/n, vn=1/(2n) alors vn est une suite extraite de (un)n0 car vn=u2n. Donc la fonction  est
la fonction :
NN
n  2n
2.2
DEFINITION 2
Une suite de nombres réels (un)n0 est dite :
- majorée si et seulement si  M Є R tel que  n Є N un  M
- minorée si et seulement si  m Є R tel que  n Є N mun
- bornée si et seulement si elle est majorée et minorée.
Exemple :
La suite (un)n0 avec un=n si n est pair et un = 1/n si n est impair.
(un)n0 n’est pas majorée (donc n’est pas bornée). Par contre, elle est minorée car  n Є N o un.
2.3
DEFINITION 3
Soit (un)n0 une suite de nombres réels. On dit que (un)n0 est convergente et converge vers le nombre réel a si et
seulement si   > 0  N Є N /  n  N |un – a | < 
Propriétés :
2
-
Soit (un)n0 une suite convergente (un)n0 est bornée.
Soit (un)n0 une suite de nombre réels convergente. Alors il existe un et un seul nombre réel a tel que
(un)n0 converge vers a.
Ce nombre unique est appelé la limite de (un)n0 lorsque n tend vers a et on l’écrit :
Limn->¤¤ un = a.
Preuve
Supposons que (un)n0 converge vers a et a’ avec aa’.
On considère le nombre ’ = |a-a’|/2 :
o (un)n0 converge vers a donc  N1 Є N tel que si n N1 alors |un-a|< 
o (un)n0 converge vers a’ donc  N1 Є N tel que si n N2 alors |un-a’|<
Donc, par exemple pour N=N1+N2 on a |un-a| <  et |un-a’| <  donc on a :
|a-a’|=|(un-a)+(a’-un)|  (inégalité triangulaire) |un-a|+|un-a’| < ’ + ’ = |a-a’| (définition de ’).
On a donc |a-a’| < |a-a’|. Ce qui est absurde.
Donc a est unique.
Propositions sur les suites convergentes
Soient (un)n0, (vn)n0 deux suites convergentes avec limn->¤¤ un = a et limn->¤¤ vn = b.
 la suite (wn)n0 = (un+vn)n0 est convergente vers a+b
 la suite (rn)n0 = (un-vn)n0 est convergente vers a-b
 la suite (tn)n0 = (un*vn)n0 est convergente vers a*b
 Si a0  N1 /  n N1 un0 et la suite (sn)n0 = 1/(un)n0 est convergente vers 1/a.
2.4
DEFINITION 4
Une suite (un)n0 qui n’est pas convergente est dite divergente. Parmi les suites convergentes on en distingue une
catégorie particulière.
2.5
DEFINITION 5
Soit (un)n0 une suite de nombres réels. On dit que :
- (un)n0 tend vers +¤¤ lorsque n tend vers +¤¤   M >0  N Є N, n N => unM
- (un)n0 tend vers -¤¤ lorsque n tend vers +¤¤   m <0  N Є N, nN => un<m
Proposition
Soient (un)n0 une suite croissante (respectivement décroissante). Alors (u n)n0 est convergente si et seulement elle
est majorée (respectivement minorée).
Une suite croissante non majorée tend vers +¤¤.
Une suite décroissante non minorée tend vers -¤¤.
Preuve
On fait le cas ou (un)n0 est croissante majorée.
E={x Є R /  n Є N / x=un }
E est une partie non vide majorée, donc E admet une borne supérieure. On va montrer que (un)n0 converge vers l.
  > 0  N Є N ,  n N |un –l|<.
Soit  > 0 considérons le nombre l-.
Donc il existe N Є N / l-<uN <un
D’autre part un  l par définition de la limite.
Donc  n Є N l-<un <l+, c’est à dire |uN-l|<. CQFD
Si la suite des (un)n0 n’est pas majorée :
Donc  M >0 M n’est pas un majorant de (un)n0 . Donc il existe N Є N tel que uN>M.
Mais la suite (un)n0 étant croissante, on a  n Є N, unuN>M.
On a vu que  n 0  N Є N / n N uN>M.
Ce qui est la définition de (un)n0 tend vers +¤¤.
Remarques :
Si (un)n0 est une suite divergente, elle peut ne pas tendre vers l’infini.
Une suite peut ne pas être bornée et ne pas tendre vers +¤¤
3
2.6
DEFINITION 4
Soient (un)n0 et (vn)n0 deux suites.
On dit que (un)n0 et (vn)n0 sont adjacentes si et seulement :
- (un)n0 est croissante et (vn)n0 est décroissante.
(un-vn)n converge vers 0.
-
2.7
DEFINITION 5
Une suite (un)n0 est dite de Cauchy si et seulement si   > 0  N  N /  p, q  N | up – uq |<
2.8
THEOREMES
Une suite est dite de Cauchy si et seulement si elle est convergente.
Soit E une partie infinie et bornée de R, alors il existe une suite (u n)n0 composée d’une infinité d’éléments
distincts de E telle que (un)n0 est convergente. (Théorème de Bolzano Weierstrass)
Corollaire du théorème de Bolzano Weierstrass :
Soit (un)n0 une suite de nombres réels bornée, alors il existe une suite extraite (v n)n0 de (un)n0 qui est
convergente.
4
A Retenir
PROPRIETES DES NOMBRES REELS ET SUITES DE NOMBRES REELS
Axiome des réels et les conséquences
On admet l’existence d’un ensemble noté R (ensemble des nombres réels) tel que N  Z  Q  R satisfaisant les
propriétés suivantes :
R est un corps commutatif
R est un ensemble totalement ordonné
C’est à dire :
C’est à dire
R est muni de deux lois de composition interne :
RxRR
RxRR
(x, y)  x+y
(x, y)  xy
satisfaisant :
  x, y Є R x+y=y+x et xy=yx
  x, y, z Є R x+(y+z)=(x+y)+z et x(yz)=(xy)z
  0 Є R /  x Є R x+0 = x et  1 Є R /  x Є R 1x=x
  x Є R,  -x Є R / x+(-x)=0 et  x Є R,  x-1 Є R / xx-1=1
  x, y, z Є R x(y+z)=xy+xz
R est muni d’une relation d’ordre  tel que :
  x, y Є R xy ou y  x
  x, y Є R et  z Є R xy => x+z  y+z
  x, y Є R x0 et y0 => xy0
R est archimédien
 x Є R,  y Є R et y > 0  n Є N / nyx
Axiome de Cantor ou la propriété des segments emboîtés
Soit ([an, bn] )n0 une suite d’intervalle emboîtés telle que  n Є N anan+1 et bn+1bn.
Donc [an+1 et bn+1]  [an, bn].
Alors nЄN [an, bn] est un ensemble non vide.
Valeur absolue : définition et propriétés :
définition
Propriétés
Soit x Є R, on appelle valeur absolue de x et on note |x | le
nombre :
- x si x 0
- -x si x0
De manière générale : |x | = Max (x, -x)
Q est dense dans R
 a > 0, |x |  a  -axa
 x, y Є R |x||y|=|xy|
 x, y Є R |x+y| |x|+|y| (inégalité triangulaire)
 x, y Є R | |x|-|y|| |x-y|
Propriété des bornes supérieure et inférieure :
Soit a, b Є R tel que a<b. Alors il existe un
nombre rationnel c Є ]a, b[
Soit A une partie non vide majorée de R (respectivement
minorée de R). alors A admet une borne supérieure
(respectivement inférieure)
Définitions sur les suites :
(1) Définition d’une suite
Une suite de nombres réels est la
donnée d’une application de N
(ou du complémentaire d’une
partie finie de N) à valeur dans
R:
NR
n  f(n)
(5) Limite d’une suite
Soit (un)n0 une suite de nombres
réels. On dit que :
=> (un)n0 tend vers +¤¤ lorsque
n tend vers +¤¤   M >0  N Є
N, n N => unM
=> (un)n0 tend vers -¤¤ lorsque n
tend vers +¤¤   m <0  N Є
N, nN => un<m
(2) Suite extraite
Soient (un)n0 et (vn)n0 deux suites de nombres réels.
On dit que la suite (vn)n0 est une suite extraite de la suite (un)n0 si et
seulement s’il existe une application strictement croissante de NN notée 
telle que  n Є N vn=u(n).
(3) Suites bornées
Une suite de nombres réels (un)n0 est dite :
 majorée si et seulement si  M Є R tel que  n Є N un  M
 minorée si et seulement si  m Є R tel que  n Є N mun
 bornée si et seulement si elle est majorée et minorée.
(4) Suites convergentes
Soit (un)n0 une suite de nombres réels. On dit que (un)n0 est convergente et
converge vers le nombre réel a si et seulement si   > 0  N Є N /  n  N
|un – a | < 
Une suite (un)n0 qui n’est pas convergente est dite divergente
5
(6) Suites adjacentes
Soient (un)n0 et (vn)n0 deux suites.
On dit que (un)n0 et (vn)n0 sont adjacentes si et seulement :
- (un)n0 est croissante et (vn)n0 est décroissante.
(un-vn)n converge vers 0.
-
(7) Suite de Cauchy
Une suite (un)n0 est dite de Cauchy si et seulement
si   > 0  N  N /  p, q  N | up – uq |<
Propriétés sur les suites convergentes
(1) Soit (un)n0 une suite convergente (un)n0 est bornée.
(2) Soit (un)n0 une suite de nombre réels convergente. Alors il existe un et un seul nombre réel a tel que (u n)n0
converge vers a. Ce nombre unique est appelé la limite de (un)n0 lorsque n tend vers a et on l’écrit : Limn->¤¤ un =
a.
(3) Soient (un)n0, (vn)n0 deux suites convergentes avec limn->¤¤ un = a et limn->¤¤ vn = b.
 la suite (wn)n0 = (un+vn)n0 est convergente vers a+b
 la suite (rn)n0 = (un-vn)n0 est convergente vers a-b
 la suite (tn)n0 = (un*vn)n0 est convergente vers a*b
 Si a0  N1 /  n N1 un0 et la suite (sn)n0 = 1/(un)n0 est convergente vers 1/a.
(4) Soient (un)n0 une suite croissante (respectivement décroissante). Alors (u n)n0 est convergente si et seulement
elle est majorée (respectivement minorée).
Une suite croissante non majorée tend vers +¤¤.
Une suite décroissante non minorée tend vers -¤¤.
(5) Une suite est dite de Cauchy si et seulement si elle est convergente.
Théorème de Bolzano Weierstrass
Soit E une partie infinie et bornée de R, alors il existe une suite (un)n0 composée d’une infinité d’éléments
distincts de E telle que (un)n0 est convergente. (Théorème de Bolzano Weierstrass)
Corollaire du théorème de Bolzano Weierstrass :
Soit (un)n0 une suite de nombres réels bornée, alors il existe une suite extraite (v n)n0 de (un)n0 qui est
convergente.
6
Exercices
CORRECTION FEUILLE D’EXERCICES 1
EXERCICES SUR LES SUITES
Remarque très importante : dans un exercice, lorsqu’on demande d’étudier une suite, il s’agit de calculer sa
limite en distinguant différents cas si nécessaire.
Exercice 1
Si x>1 alors x=1+a avec a>0. Par récurrence, on peut montrer que pour tout n, on a u n=xn > 1+na (a > 0). Donc
limn+¤¤ un = +¤¤.
Si x=1, un est constante et limn+¤¤un = 1
Si 0x<1 alors on peut étudier la suite vn = 1/(un) avec lim vn=+¤¤ (on se trouve dans le premier cas).
Donc lim un=0.
Exercice 2
Par récurrence on peut montrer que a partir d’un rang N,  n>N, un=0, donc que lim un=0.
Sinon :
On suppose que un0 :
| un+1 |  k | un|, donc | un+2 |  k| un+1 |  k² | un | c’est à dire |un+p |  kp |un | et pour 0<k<1 limp+¤¤kp=0.
Donc lim un=0.
Exercice 3
On peut travailler en valeur absolu, auquel cas on étudiera lim|un+1 /un|=|l| avec 0|l|<1.
On pose >0 tel que | l |+<1, il existe n0 > N tel que pour tout nn0 on a | ( |un+1|/|un| - |l|) | < .
On a donc |un+1|/|un| < |l|+. On pose alors k=|l|+, on a donc |un+1|k|un|. Puis voir l’exercice 2 pour la fin de cet
exercice.
Exercice 4
On étudie un+1/un. On trouve que lim un+1/un = 1/x. Donc lim un=0.
Exercice 5
De même, d’après le résultat de l’exercice 3, on trouve que lim un=0.
Exercice 6
Il faut simplifier l’expression de un. On sait par exemple que 1+3+5+…2n-1=n² et que 1+2+3+…+n=n(n+1)/2.
A partir de cela, on peut simplifier l’expression de un et calculer sa limite. On trouve lim un=2.
Exercice 7
Le principe est de factoriser tous les dénominateurs par n². On obtient alors :
U n=
n
n
+…+
n
n²(1+1/n²)
n²(1+2/n²)
C’est à dire : un =
1
n²(1+n/n²)
1
+…+
1
n(1+1/n²)
n(1+2/n²)
n(1+n/n²)
Ce n’est seulement qu’ensuite on peut utiliser l’indication de l’énoncé. On prend u=1/n², puis u=2/n² et ainsi de
suite. On obtient la suite d’inéquations suivantes :
1-1/n² < 1/(1+1/n²) < 1
1-2/n² < 1/(1+2/n²) < 1
1-3/n² < 1/(1+3/n²) < 1
…
1-n/n² < 1/(1+n/n²) < 1
__________________
on additionne membre à membre toutes les inégalités et on obtient alors :
n – ( [1+2+3+…+n]/n²) < un < n, c’est à dire :
7
1 – (1/n3)(n(n+1)/2 < un < 1. Or le membre de droite et le membre de gauche tendent tous les deux vers 1. Donc,
par encadrement, on peut dire que le membre du centre (c’est à dire un) tend vers 1 quand n tend vers +¤¤.
Donc limnn un = 1
Exercice 8
1 - On veut montrer que Sn n’est pas une suite de Cauchy, il s’agit donc de démontrer la négation de la définition
de la suite de Cauchy qui est :
  >0  N0  N tel que  (n, p)  N² (nN0 et pN0) => | un – up | < 
(rappel : une suite est de Cauchy  La suite est convergente)
La négation est donc :
  >0  N0  N  (n, p)  N² ((nN0 et pN0) ^ | un – up |  )
On choisit =1/2. On a :
S2n= 1 + 1/2 +…+ 1/n + 1/(n+1) + 1/2n
Sn = 1 + 1/2 +…+1/n
S2n – Sn = 1/(n+1) + 1/(n+2) +…+ 1/2n.
On peut minorer cela. En effet, sachant que 1/2n est le plus petit des n termes de la suite S 2n – Sn on puet donc
dire que S2n – Sn  1/2n *n = 1/2
On a donc montrer la négation, donc Sn ne converge pas.
2 – De plus, on a Sn+1 – Sn = 1/(n+1)  0. Donc Sn est croissante.
On a donc Sn croissante mais pas convergente. Donc elle n’est pas majorée, donc S n tend vers +¤¤
Exercice 9
L’exercice semble mal posé par rapport à l’ordre du cours car, en effet nous avons vu qu’une suite est de Cauchy
si et seulement si elle est convergente.
Rappelons la définition de suite convergente :   >0  N0  N tel que  (n, p)  N² (nN0 =>|Sn+p– Sn|< .
Soit  > 0. Soit N0  N tel que N0 >1/ (par exemple N0 >1/ + 1). Soit nN0 on a |Sn+p– Sn| < 1/n  1/N0 <
Donc Sn est de Cauchy. Donc la suite est convergente et lim Sn = e.
Exercice 10
La méthode est similaire aux deux exercices précédents
Exercice 11
On a (un)n0 croissante et (vn)n0 décroissante. De plus unvn pour tout n.
Donc on a un  vn  vn-1  …  v0 donc  n unv0 qui est fixe. Donc la suite (un)n0 est croissante majorée, donc
elle est convergente. De même on a vn  un  un-1 …u0 fixe. Donc (vn)n0 est décroissante minorée, donc elle
est convergente. Donc les deux suites sont convergentes et vn – un  0 et (vn – un)n0 converge car c’est la
composition de deux suites convergentes.
De plus, lim (vn – un) 0  lim vn – lim un 0. Donc lim un  lim vn.
Exercice 12
On pose (un) = (S2n) = 1 – ½ + 1/3 +…+ (-1)2n-1/2n et (vn) = (S2n+1) = 1 – ½ + 1/3 +…+ (-1)2n/(2n+1). On a alors
(un – vn) = -1/(2n+1) qui tend vers 0 quand n tend vers l’infini.
On étudie ensuite la suite un (on trouve qu’elle est croissante en trouvant que un+1 – un >0) et la suite vn (on
trouve qu’elle est décroissante en trouvant que vn+1 – vn <0).
Conclusion : les deux suites sont adjacentes, donc elles convergent vers la même limite l.
Exercice 13
Méthode similaire à l’exercice 12. On trouve que (un)n1 est croissante. Et vn, wn sont décroissantes. On peut
donc en déterminer que un et vn sont adjacentes et que un et wn sont adjacentes.
Exercice 14
Pour montrer que vn  un, faire par récurrence : vrai pour n=0, puis faire au rang n.
Pour montrer que un est croissante et vn est décroissante voir la méthode dans les exercices précédents.
On alors toutes les propriétés pour dire que les deux suites sont adjacentes.
Exercice 18
Montrer la monotonie signifie qu’il faut montrer si la suite est croissante ou décroissante (méthodes précédentes)
On doit ensuite trouver que la suite est croissante et majorée à 3 donc elle est convergente.
8