resume suites reelles

Mr :Khammour.K
4ème Math et Sc-exp
Résumé : Suites réelles
Novembre 2015
 Suite arithmétique :
 Un  suite arithmétique de raison r
U n 1  U n  r
Relation entre deux termes quelconques
Terme général (Relation entre U n et n)
Un  U p   n  p  r
U n  U 0  n  r si U 0 est le premier terme de la suite
n 1
n 1
U
Somme U 0  U1  ...............  U n 1   U k
k 0
k 0
k
=
Nombre de termes er
n
1 terme  dernier terme    U n1 +U0 

2
2
 Suite géométrique :
 Un  suite géométrique de raison q
U n 1 =qU n
Relation entre deux termes quelconques
Terme général (Relation entre U n et n)
Un =U p q
U n =U 0 q n si U 0 est le premier terme de la suite
n 1
n 1
Somme U 0  U1  ...............  U n 1   U k
 U k =1er terme 
k 0
 Propriétés sur la

 U
kI

k 0

1  q Nombre de termes
1  qn
 U0 
1 q
1 q
 Vk    U k    Vk  .
kI
k I
 U     U  où   IR .
kI

k
n p 
k
kI
k
      nombre d'éléments de I 
kI
n
 nombre d'éléments de  U k  n  p  1  dernier indice  1er indice +1
k p
 Si on a : U n  Vn alors
 U    V  .
kI
k
kI
k
 Suites monotones :



 Un  est croissante sur I ssi U n1  U n  0 pour tout n I .
 Un  est décroissante sur I ssi U n1  U n  0 pour tout n I .
 Un  est croissante sur I ssi U n1 =U n pour tout n I .
Remarque :
Pour étudier la monotonie d’une suite (croissante ou décroissante)
- On étudie le signe de U n 1  U n .
U n 1
par 1.
Un
-
Quand U n  0 , on compare
-
Quand Un1  f  Un  , On compare f(x) et x.
 Suite majorée – minorée – bornée :
Soit  Un  est définie sur I.

 Un  est majorée s’il existe un réel M tel que pour tout
n I U n  M .


 Un  est minorée s’il existe un réel m tel que
 Un  est bornée s’il existe deux réels m et M
U n  m pour tout n I .
tels que m  U n  M pour tout n I .
Remarque :
Pour démonter qu’une suite est majorée ou minorée ou bornée on utilise en général la
raisonnement par récurrence.
Exemple : Montrons que pour tout n I , a  U n  b .
-
1ère étape : Vérifions pour n = n0 , a  U n0  b .
-
2ème étape : Supposons que a  U n  b Démontrons que a  U n 1  b .
1ère méthode : Encadrement, on part de a  U n  b et on démontre que a  U n 1  b .
2ème méthode : Différence , on démontre que U n 1  b  0 et que U n 1  a  0 .
3ème méthode : Variation de la fonction f si Un1  f  Un  .

Si f est croissante a  U n  b alors f(a )  f(U n )  f(b) .

Si f est croissante a  U n  b alors f(b)  f(U n )  f(a) .
 Suites convergentes :
 Une suite est convergente si elle admet une limite finie lorsque n tend vers +∞
Lim U n   l  Lim U n  l   0 .
n
n
 Toute suite convergente est bornée (La réciproque est fausse : exemple : U n   1
n
est bornée mais n’est pas convergente)
 Règle de convergence des suites monotones :
 Toute suite croissante et majorée est convergente.
 Toute suite décroissante et minorée est convergente.
1erhypothèse à partir d’un certain rang
Vn  U n  Wn
Un  Vn
a  Un  b
U n  Vn
U n  Vn
Vn  U n
2ème hypothèse
comportement en +∞
Lim Wn   Lim Vn   l
n 
n
Lim Vn   0
n 
Lim U n   l
Lim U n   l et Lim Vn   l '
Lim Vn   
 Un  est convergente et
Lim U n   l
n 
 Un  est convergente et
Lim U n   0
n
al b
n 
n
Conclusion
n
l l'
Lim U n   
n
n 
n
n 
Lim Vn   
Lim U n   

Recherche de la limite d’une suite : Un1  f  Un 
Un  D

Si
{
alors f  l   l
f est continue sur D
U n est convergente vers l
Lim  q n   0
Si -1< q < 1
n 
Lim  q n   
Si q >1
n 
Si q  1
Pas de limite
 Suites adjacentes :
 Deux suites U et V sont adjacentes lorsqu’elles vérifient :
 U n  Vn .


 Un  est croissante et Vn  est décroissante.
Lim U n  Vn  = 0 .
n 
 Deux suites adjacentes sont convergentes et ont la même limite.
Exercice d’application:
Soit a et b deux nombres réels vérifiant 0 < a < b. On définies les suites Un  et Vn  par :
2Un Vn
U  Vn
U0  a, V0  b, Un1 
,V  n
Un  Vn n1
2
1) Vérifier que Un  et Vn  sont strictement positives.
2) On pose pour tout entier naturel n Tn = Un – Vn.
1
a) Montrer que pour tout entier n , Tn >0 puis 0  Tn 1  Tn .
2
b) En déduire par récurrence que, pour tout entier naturel n , on a : 0  Tn  b n a .
2
3) Démontrer alors que les suites Un  et Vn  sont adjacentes.