resume suites reelles

Mr :Khammour.K Résumé : Suites réelles 4ème Math et Sc-exp Novembre 2015
 Suite arithmétique :
Un
suite arithmétique de raison r
1
UU
nn
r
Relation entre deux termes quelconques
Terme général (Relation entre
Un
et n)
UU
np
n p r  
0
UU
nnr  
si
0
U
est le premier terme de la suite
Somme
1
0 1 1 0
U U ............... U U
n
nk
k
1
0U
n
k
k
=
10
Nombre de termes 1 terme dernier terme U +U
22
er n
n
 Suite géométrique :
Un
suite géométrique de raison q
1
U =qU
nn
Relation entre deux termes quelconques
Terme général (Relation entre
Un
et n)
U =U np
np
q
0
U =U n
nq
si
0
U
est le premier terme de la suite
Somme
1
0 1 1 0
U U ............... U U
n
nk
k
1
0U
n
k
k
=
Nombre de termes
0
11
1 terme U
11
n
er qq
qq
 Propriétés sur la
k k k k
k I k I k I
U V U V
.
où IR
kk
k I k I
UU
.
nombre d'éléments de I
kI
er
nombre d'éléments de U 1 dernier indice 1 indice +1
n
k
kp np
Si on a : U V alors
n n k k
k I k I
UV
.
 Suites monotones :
Un
est croissante sur I ssi
1
U U 0
nn
pour tout
In
.
Un
est décroissante sur I ssi
1
U U 0
nn
pour tout
In
.
Un
est croissante sur I ssi
1
U =U
nn
pour tout
In
.
Remarque :
Pour étudier la monotonie d’une suite (croissante ou décroissante)
- On étudie le signe de
1
UU
nn
.
- Quand
U0
n
, on compare
1
U
U
n
n
par 1.
- Quand
1
U f U
nn
, On compare f(x) et x.
 Suite majorée – minorée – bornée :
Soit
Un
est définie sur I.
Un
est majorée s’il existe un réel M tel que pour tout
In
UnM
.

Un
est minorée s’il existe un réel m tel que
Unm
pour tout
In
.
Un
est bornée s’il existe deux réels m et M tels que
Un mM
pour tout
In
.
Remarque :
Pour démonter qu’une suite est majorée ou minorée ou bornée on utilise en général la
raisonnement par récurrence.
Exemple : Montrons que pour tout
In
,
Un ab
.
- 1ère étape : Vérifions pour n = n0 ,
0
Un ab
.
- 2ème étape : Supposons que
Un ab
Démontrons que
1
Un ab
.
1ère méthode : Encadrement, on part de
Un ab
et on démontre que
1
Un ab
.
2ème méthode : Différence , on démontre que
1
U0
nb
et que
1
U0
na
.
3ème méthode : Variation de la fonction f si
1
U f U
nn
.
 Si f est croissante
Un ab
alors
f( ) f(U ) f( )
n
ab
.
 Si f est croissante
Un ab
alors
f(b) f(U ) f(a)
n
.
 Suites convergentes :
 Une suite est convergente si elle admet une limite finie lorsque n tend vers 
0
nn
nn
Lim U l Lim U l
.
 Toute suite convergente est bornée (La réciproque est fausse : exemple :
1n
n
U
est bornée mais n’est pas convergente)
 Règle de convergence des suites monotones :
 Toute suite croissante et majorée est convergente.
 Toute suite décroissante et minorée est convergente.
1erhypothèse à partir d’un certain rang
2ème hypothèse
comportement en 
Conclusion
U
n n n
VW
nn
nn
Lim W Lim V l
Un
est convergente et
n
n
Lim U l
Unn V
0
n
n
Lim V
Un
est convergente et
0
n
n
Lim U
Un ab
n
n
Lim U l
a l b
Unn V
et '
nn
nn
Lim U l Lim V l
'll
Unn V
n
n
Lim V
n
n
Lim U
U
nn
V
n
n
Lim V
n
n
Lim U

 Recherche de la limite d’une suite :
1
U f U
nn
 Si
UnD
f est continue sur D
U est convergente vers
nl
alors
fll
Si -1< q < 1
0
n
n
Lim q
Si q >1
n
n
Lim q
Si q
1
Pas de limite
 Suites adjacentes :
 Deux suites U et V sont adjacentes lorsqu’elles vérifient :
Unn V
.
Un
est croissante et
n
V
est décroissante.
nn
n
Lim U V
= 0 .
 Deux suites adjacentes sont convergentes et ont la même limite.
Exercice d’application:
Soit a et b deux nombres réels vérifiant 0 < a < b. On définies les suites
n
U
et
n
V
par :
0 0 1 1 2
2U V U V
U , V , U ,V
UV
n n n n
nn
nn
ab
1) Vérifier que
n
U
et
n
V
sont strictement positives.
2) On pose pour tout entier naturel n Tn = Un – Vn.
a) Montrer que pour tout entier n , Tn >0 puis
11
0 T T
2
nn
.
b) En déduire par récurrence que, pour tout entier naturel n , on a :
0T 2
nn
ba
.
3) Démontrer alors que les suites
n
U
et
n
V
sont adjacentes.