doc - Baudrand

1
Chapitre I : analyse, étude de fonctions
Limites, continuité, branches infinies
1. Soit n un entier naturel et fn définie par : fn(0) = 0, et si x > 0 : fn(x) = (nx+1).e–1/x.
Etudier la continuité de fn. Etudier la limite de fn en +.
2. Soit g définie sur R* par :g(x) =
1e x
x
3
.
Montrer que g est continue sur R*.
Montrer que g est prolongeable par continuité en 0.
Etudier les branches infinies de Cg.
3. Soit g définie sur R+* \ {1} par g(x) =
1 x
x.ln(x)
et prolongée par continuité en 0 et en 1. Que
valent g(0), g(1) ? Etudier la branche infinie de Cg.
4. Soit n appartenant à N. Montrer que gn : ]0, 1[ R, x  x.(ln(1/x))n est continue sur ]0, 1[
et admet un prolongement par continuité fn sur [0, 1].
5. Soit f définie sur ]–1, 1[ par f(x) = (1 – x2).ln(
x- 1 x 1
). Montrer que f est continue. Etudier la
parité de f et montrer que f se prolonge en une fonction continue sur [–1, 1].
6. Soit f : R R :
t 
sinon 0
1] [0, t si )tt(12 32
Montrer que f est continue sur R.
7. Etudier les variations de f définie par f(x) = ex + ln(x) puis les branches infinies de Cf.
Tracer Cf.
8. Mêmes questions avec f(x) = lnx – 2 + 1 + 2/x.
9. Etudier les branches infinies de Cf avec :
1°) f(x) = x –
4
1
(x + 1).e–x.
2°) f(x) = x +
x
.
3°) f(x) = x +
x
.sin(x).
Théorème des valeurs intermédiaires
10. Utiliser un théorème du cours pour montrer que la fonction logarithme népérien est une
bijection de ]0, +[ sur R. Etudier la bijection réciproque, à l’aide de ce théorème :
ensembles de départ et d’arrivée, continuité, sens de variation, dérivée.

2
11. Soit f définie par f(x) =
1x x
2
1°) Montrer que f définit une bijection de l’intervalle ]1, +[ sur un intervalle à préciser. Soit
alors g la bijection réciproque de f]1, +[. Etudier g : ensemble de définition, continuité, sens
de variation, dérivabilité. Calculer f(2). En déduire g’ (2/3).
2°) Expliciter g(y).
12. (escp 88 oe) Soit f définie par f(x) = x.ln(x).
1°) Etudier la variation de f. Préciser les branches infinies de Cf.
2°) Montrer qu’il existe une fonction réelle g et une seule sur l’intervalle [–1/e, +[ telle
que, pour tout point x de cet intervalle, on ait : g(x).ln(g(x)) = x.
3°) Etudier la variation de g. En particulier, déterminer la limite de g en +. Tracer sur la
même figure les courbes représentatives de f et g.
4°) Montrer que
x
lim
ln(x)
g(x))ln(
= 1 . En déduire lorsque x tend vers + la limite de
x
g(x).ln(x)
13. Soit f définie pour x appartenant à [0, 1] par f(x) =
1x3x
2
.
1°) Montrer que f est une bijection de [0, 1] sur un intervalle que l’on précisera. Etudier la
bijection réciproque f –1: ensemble de définition, continuité, sens de variation.
2°) Etudier la dérivabilité de f–1 sur son ensemble de définition.
Calculer (f–1)’(0).Représenter graphiquement C(f) et C(f–1) dans un même repère
orthonormé. Préciser les pentes des tangentes aux points d’abscisses 0 et 1.
14. Soit g(x) =
1 2x 1 x
– ln(x) pour x > 0. Etudier g : continuité, limites, sens de variation.
Préciser les branches infinies de C(g). Montrer que l’équation g(x) = 0 admet une solution
unique dans ]0, +[. Donner une valeur approchée de cette solution, en indiquant la
méthode employée et la précision obtenue.
15. (escae 88 oe) A) Soit h : ]0, +[ R , x 
x
ex
.
1°) Etudier la variation de h. Préciser les branches infinies de C(h).
2°) n étant un entier supérieur ou égal à 2, justifier l’existence et l’unicité d’un réel dn
appartenant à ]0, 1[ tel que h(dn) = h(n). Déterminer les entiers naturels p et q tels que
100
1 p
d
100
p2
et
100
1 q
d
100
q3
.
B) Soit n un entier supérieur ou égal à 2. On considère gn : [0, +[ R telle que :
gn(x) = (n – x).e
x
– n
1°) Etudier les variations de gn.
2°) En déduire l’existence d’un unique réel an vérifiant : an > 0 et gn(an) = 0. Démontrer que
n – 1 < an < n. On pose alors an = n – dn avec dn dans ]0, 1[. Vérifier que h(dn) = h(n) où h est
la fonction définie au A). En déduire à 10–2 près la valeur de a2 et a3. Trouver le signe de
gn(x), pour x dans R+.

3
C) Avec toujours n supérieur ou égal à 2, on considère fn définie sur ]0, +[ par :
0 x si
1ex
x)(f
0)0(f
x
n
n
n
1°) Etudier la continuité de fn.
2°) Etudier la dérivabilité de fn. Préciser la tangente à C(fn) à l’origine
3°) Etudier les variations de fn. On démontrera : pour x > 0, fn '(x) =
2x
1-n
)1e( x
.gn(x) ,où gn
est la fonction définie au B). Démontrer que fn(an) = (n –an).ann – 1.
4°) Etudier pour m > n la position relative de C(fm) et C(fn).
5°) Construire C(f2) et C(f3) (2 cm en abscisse, 10 cm en ordonnée).
16. Montrer que l’équation x3 – 5x2 + 4x + 7 = 0 admet au moins une racine réelle. Plus
généralement, montrer que toute équation polynomiale de degré impair admet au moins une
racine réelle. Qu’en est-il si le degré est pair ?
17. Déterminer le nombre et des valeurs approchées des solutions de l’équation :
1°) x5 – x3 + 1 = 0 ; 2°) x3 – x2 – x – 2 = 0.
18. (extrait de edhec 2000) 1) Déterminer l'ensemble D des réels x tels que ex – e–x > 0.
On définit la fonction f par : x  D f(x) = ln(ex – e–x).
On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (0, i, j).
2) a. Etudier les variations de f et donner les limites de f aux bornes de D.
b. En déduire l'existence d'un unique réel  vérifiant f() = 0, puis donner la valeur
exacte de .
c. Montrer que le coefficient directeur de la tangente (T) à la courbe (C) au point
d'abscisse  vaut
5
.
3) a. Calculer
lim( ( ) )
xf x x
b. En déduire l'équation de l'asymptote () à la courbe (C) au voisinage de +.
c. Donner la position relative de () et (C).
4) Donner l'allure de la courbe (C) en faisant figurer les droites () et (T).
On admettra que   0,5 et que
5
 2,2.
19. (extrait de esc 2003 ; voir chapitre VII) On pose pour a réel strictement positif la fonction
a
f
définie sur
]a;0[
par : Pour tout
)xa(a xa
)x(f,]a;0[x a
.
(a) Justifier la dérivabilité de
a
f
sur [0 ; a] et calculer sa dérivée. En déduire le tableau des
variations de
a
f
en précisant les valeurs aux bornes.
(b)Montrer que
a
f
réalise une bijection de
]a;0[
sur
]
a
1
;0[
. On note
1
a
f
sa bijection
réciproque. Donner le tableau des variations de
1
a
f
en précisant les valeurs aux bornes.
(c) Montrer que
1
a
f
=
a
1
f
.

4
20. (extrait de ecricome 2003 ; voir chapitre IV)
On considère les fonctions ch et sh définies sur R par :
2ee
)x(sh,
2ee
)x(ch xxxx  
ainsi que la fonction f définie sur R par :
1)0(f
0xsi
)x(shx
)x(f
1. Etudier la parité des fonctions ch et sh.
2. Dresser le tableau de variations de la fonction sh puis en déduire le signe de sh(x) pour x
appartenant à R.
3. Déterminer un équivalent en + de shx. En déduire l’allure de la courbe représentative de
la fonction sh en +.
4. Montrer que la fonction sh réalise une bijection de R sur R .
5. Etudier les variations de la fonction ch.
6. Montrer que : x  R , ch(x) > sh(x).
7. Donner, sur un même graphique, l’allure des courbes représentatives des fonctions ch et
sh.
8. Etudier la parité de la fonction f.
9. Déterminer un développement limité d’ordre 3 en 0 de la fonction sh.
10. En déduire que la fonction f est continue en, dérivable en 0 et déterminer f ’(0).
11. Justifier que f est dérivable sur R+* et sur R-* et calculer f’(x) pour x  R*.
12. On pose : x  R+, h(x) = sh(x) – xchx.
Etudier les variations de h, puis en déduire le signe de h(x).
13. Déterminer les variations de f sur R+ et donner l’allure de la courbe représentative de la
fonction f. (On ne cherchera pas les points d’inflexion).
Calcul différentiel
21. Soit f(x) = (x + 1).e–1/x si x > 0, f(0) = 0. Etudier la continuité de f sur ]0, +[. Etudier la
dérivabilité de f sur ]0, +[, puis en 0. f est-elle de classe C1 sur [0, +[ ?
22. Soit E = R+ \ {1} et f définie sur E par : f(0) = 0 et f(x) =
ln(x)
1
si x > 0 , x 1.
1°) Etudier la dérivabilité de f sur E.
2°) Donner le tableau de variation de f.
3°)Etudier la concavité de f : préciser sur quels intervalles f est concave, convexe.Donner
les coordonnées du point d’inflexion de C(f) et une équation de la tangente à C(f) en ce
point.
4°) Tracer la courbe C(f).
23. Etablir les inégalités : ex  1 + x (x  R) ; ex  1 + x +
2
x2
(x  0) ;
ex  1 + x +
2
x2
+ . . . +
n!
xn
(x  0, n  N*) ;
x –
6
x3
 sin(x)  x (x  0 ; étudier le cas x  0) :
1 –
2
x2
 cos(x)  1 (x  0 ; étudier le cas x  0).

5
24. Montrer que pour tout x dans [0, 1] : x  ex – 1  e.x (utiliser la formule des accroissements
finis).
25. Montrer que pour tout n dans N* :
n
1
ln(n) - 1) n ln(
1 n 1
En déduire :
1 -n 1
...
2
1
1 ln(n)
n
1
.. .
3
1
2
1
( n  2 ),
puis : ln(n + 1) 
1 ln(n)
n
1
.. .
3
1
2
1
1
Déterminer la limite quand n tend vers + de
n
1
.. .
3
1
2
1
1
(série harmonique, résultat
à retenir).
26. Démontrer que pour tout réel x > 1 :
1x1 1xx
ln
x
1
.
En déduire, pour tout n  N \ {0 ; 1} :
1)nln(
k
1
1)ln(n : puis ,
k
1
)nln(
k
1n
1k
1n
1k
n
2k
.
En déduire que la série de terme général 1/n, n  N*, est divergente, et donner un équivalent
de sa somme partielle Sn =
n
1k k
1
.
27. Montrer que pour tout couple (x, y) de nombres réels de [1 ; +[ :
xy
4
1
1yln1xln 
28. Soit f(x) = ln(x). Ecrire la formule des accroissements finis pour f sur [n, n + 1] pour n  1.
En déduire que la suite (un) définie par un =
)nln(
k
1
n
1k
est monotone bornée.
29. Soit
)u( n
la suite définie par u0 =
2
1
et
2ue
u,n
n
u
1n
n
N
. a. Etude de
2xe
x:f x
:
Calculer
f,f 
. Construire le tableau de variation de f ; préciser
1,0f
.
b. Justifier :
3
2
)x(f
4
1
,1,0x 
.
c. Etablir que l’équation
x)x(f 
admet sur [0,1] une unique solution .
d. Etude de
)u( n
: Montrer que : n  N, un  [0, 1]. En déduire que si
)u( n
converge, sa
limite est .
Justifier :
 n1n u
3
2
u ,n N
, en déduire : n  N,
n
n3
2
u
, conclure.
e. Ecrire un programme en turbo-pascal qui affiche une valeur approchée de  à moins de
106 près.
30. Soit f définie par f(x) = exp(–x2).
1°) Dire pourquoi f est indéfiniment dérivable sur R et déterminer les trois premières
fonctions dérivées f ', f '' , f '''
2°) Pour tout n élément de N, on définit la fonction Hn ainsi :
x  R, Hn(x) = exp(x2). f(n)(x), où f(n) est la dérivée n-ième de f ; rappel : f(0) = f.